1、3.1.1數系的擴充和復數的概念（人教版）華南師范大學 陳栩林（僅供參考）、教學內容數系的三次擴充過程，復數的引入過程，復數概念的知識、教學目標知識與技能1、了解數系擴充的過程及引入復數的需要2、掌握復數的有美概念和代數符號形式、復數的分類方法及復數相等的充要條件過程與方法1、通過數系擴充的介紹，讓學生體會數系擴充的一般規律2、通過具體到抽象的過程，讓學生形成復數的一般形式情感態度與 價值觀1、體會數系的擴充過程中蘊含的創新精神與實踐精神，感受人類理性 思維的作用2、體會類比、分類討論、等價轉化的數學思想方法三、教學重點引入復數的必要性與復數的相關概念、復數的分類，復數相等的充要條件四、教學難

2、點虛數單位i的引進和復數的概念五、學生分析學生在本章之前已經學習了推理與證明的內容，有了一定的推理與證明能 力，有利于本節課運用類比思想對實數集進行擴充。六、教學方法及教學用具啟發引導、類比探究并運用多媒體課件展示相關知識七、教學過程（一）問題引入 問題：若x2 + y2 = 3 , xy = 3 ,求（1） x+y的值； （2）求x和y的值生（獨立完成）：求出 x+y=3或-3師：既然和能夠求出來，那能不能求出x和y的值呢？生： = -30,由于 C3的存在，我們求不了 x、y的值師：事實上在實數范圍內 x和y確實不存在？為什么會這樣呢？假設 x和y是 存在的，那么就肯定是一些不是實數的數，

3、那么，這些數是什么呢？我們 能不能解決這個問題呢？這就是我們今天要學習的內容數系的擴充和復 數的引入（二）回顧數系的擴充歷程師：其實對于這種“數不夠用”的情況，我們并不陌生。大家記得嗎？從小學 到現在，我們一直在經歷著數的不斷擴充。現在就讓我們來回顧一下，看 看我們以前是怎么解決“數不夠用”的問題的。原因1原因2規律自然數（N）計數1、實際需要、運算矛盾2、引入新數解 決問題，運算 保持，運算律/、艾整數（Z）具有相反意義的量減法在N不能完全運算有理數（Q）測量，分配除法在Z不能完全運算實數（R）單位正方形對角 線長開平方在Q不能完全運算（三）類比，引入新數，將實數集擴充1、類比數系的擴充規律

4、，引導學生找出解決“實數不夠用”這個問題的辦法生：引入新數，使得平方為負數師：我們希望引入的數的平方為負數，但是負數有無窮多個，我們不肯能一下子 引入那么多，只要引入平方為多少就行呢？（引導學生找到-1,因為任何一個負數都可以寫成正數與 -1的乘積）2、歷史重現：在歷史上數學家們碰到我們前面這個問題的時候一開始是解決不了的，導致在此問題上徘徊了百年之久，直到 18世紀末，數學家才認識到解決 x2 = -1的重要性，于是他們就像我們一樣引入新的數，使得引入的數的平方等于 數記為英文字母i ,就是虛構、想象的意思。3、探究復數的一般形式：首先，我們有：（1） i2 = -1（2） i與實數可以做運

5、算、并且運算律不變師：我們不妨把i添加到實數集里面成為一個新的集合A,根據i的性質，我們拿兩個實數a和b與i任意的做加法、乘法運算，可以得到哪些數呢？生：ai,bi,a+bi,b+ai,ab+bi,ab + ai。（引導學生觀察得到以上這些數都可以看成實數+實數父i ）師：那我們原來的實數和i能不能也看成這種形式？生：能?？梢詫懗蓪崝凳?和0十14師總結：所有 實數+實數 形式的都應該在新的數集里面，并且新的數集里面的 數都可以寫成這種形式，我們不妨把這種形式寫成a + bi,aWR,bWR,這就是我們把實數集進行擴充后得到的數所具有的一般形式。（四）新的數集一一復數集1、形如a+bi（aw

6、R,bWR）的數叫做復數，用字母 z表示，其中a叫做復數的實部，b叫做復數的虛部，i稱為虛數單位，所有復數所成的集合叫做復數集，記為C,即C =a+bi|aWR,bW R。那么，我們現在就把實數集擴充到了復數集了，而負數也就可以開平方了，至此，我們有N-Z=Q=R=C判斷：（2 +3i）i是復數嗎，它的實部是什么？虛部是什么？總結：實部和虛部都是實數；通常把一個復數化簡到實數+實數父i才可以進行判斷。2、復數的應用：復數在數學、力學、電學及其他學科中都有廣泛的應用，復數與向 量、平面解析幾何、三角函數等都有密切的聯系，是進一步學習數學的基礎。（五）復數的分類師：既然實數集是復數集的真子集，那么

7、復數z=a+bi在什么條件下退化為實數呢？（引出復數的分類）實數（b=0）星域z虛數（b，0）（當a=0時為純虛數）例1.實數m分別取什么值時，復數z=m+什（m-1）i是 實數？（2）虛數？（3） 純虛數？分析：因為mC R,所以m+1, m-1都是實數，由復數z = a+bi是實、虛數、純 虛數與零的條件可以確定實數 m的值.解（1）當m -1 = 0,即m = 1時，z為實數；（2）當m-1 # 0,即m #1時，z為虛數;當嚴+1 =0，即m = 1時,z*純虛數.m -1 0總結：前提是m為實數，否則必須化成 實數+實數4的形式（六）復數相等的充要條件問1 ： a +bi什么時候等于

8、0? （ a = 0且b = 0 ,由此得出兩個復數相等的充要條件）問2：如何根據第一問推導出兩個復數 a +bi與c +di相等的充要條件？總結：a+bi=c+diu a = c且b=d例 2 已知（2x 1） +i = y （3 y）i ,其中，x,y w R,求 x 與 y.分析：因為x, yCR,所以由兩個復數相等白定義，可列出關于 x, y的方程 組，解這個方程組，可求出 x, y的值.解：由復數相等可知12x-1=y 解得x=3y=4J73-y）2 總結：復數相等的充要條件可以把復數相等的問題轉化為求方程組的解的問題，是一種轉化的思想。（七）課堂小結1、由于實際的需要，我們總結數的三次擴充過程的規律，運用類比的方法，我們引進了新的數i,并將實數集擴充到了復數集，認識到了復數的代數形式z = a + bi ,并討論了復數的分類及復數相等的充要條件，并且利用相等的條件把復數問題轉化為