1、函數單調性、奇偶性、周期性和對稱性的綜合應用例1、設f(x)是定義在R上的奇函數，且的圖象關于直線對稱，則f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_0_.【考點分析】本題考查函數的周期性解析：得，假設因為點（，0）和點（）關于對稱，所以因此，對一切正整數都有：從而：。本題答案填寫：0例2、（2006福建卷）已知是周期為2的奇函數，當時，設則（A）（B）（C）（D）解：已知是周期為2的奇函數，當時，設，<0，選D.例3、（安徽卷理）函數對于任意實數滿足條件，若則_。【考點分析】本題考查函數的周期性與求函數值，中檔題。解析：由得，所以，則。【窺管之見】函數的周期性

2、在高考考查中除了在三角函數中較為直接考查外，一般都比較靈活。本題應直觀理解 “只要加2，則變倒數，加兩次則回原位” 則一通盡通也。例4、設是上的奇函數，當0x1時，則f（7.5）等于（ ）A.0.5 B.0.5 C.1.5 D.1.5解析：由，又是奇函數，故，故選擇B。例5、（福建卷）是定義在R上的以3為周期的偶函數，且，則方程=0在區間（0，6）內解的個數的最小值是 （ B ） A5B4C3D2解析：由的周期性知，即至少有根1，2，4，5。故選擇B。例6、（廣東卷）設函數在上滿足，且在閉區間0，7上，只有（）試判斷函數的奇偶性；（）試求方程=0在閉區間-2005，2005上的根的個數，并證明

3、你的結論解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函數的對稱軸為,從而知函數不是奇函數,由,從而知函數的周期為又,故函數是非奇非偶函數;(II)由(II) 又故f(x)在0,10和-10,0上均有有兩個解,從而可知函數在0,2005上有402個解,在-2005.0上有400個解,所以函數在-2005,2005上有802個解.例7、 若f（x）是偶函數，g（x）是奇函數，它們有相同的定義域，且，求f（x），g（x）的表達式。 解：，f（x）是偶函數，g（x）是奇函數，+得：，-得：。例8、已知函數（1）指出f（x）在定義域R的奇偶性與單調性；（只須寫出結論，無須證明）（2）若

4、a，b，cR，且a+b>0，b+c>0，c+a>0，證明：f（a）+f（b）+f（c）>0。（12分）解：（1）f（x）是定義域R上的奇函數且為增函數。（2）由a+b>0得a>-b，由增函數f(a)>f(-b)，且奇函數f（-b）=-f（b），得f（a）+f（b）>0。同理可得f（b）+f（c）>0，f（c）+f（a）>0。相加得：f（a）+f（b）+f（c）>0。例9、設函數f（x）的定義域關于原點對稱，且對于定義域內任意的，有，試判斷f（x）的奇偶性，并證明你的結論。（12分）解：，設，則，f（-x）=-f（x）；又f（x）

5、的定義域關于原點對稱，f（x）為奇函數。例10、設f（x）的定義域為（0，+），且在（0，+）是遞增的，（1）求證：f（1）=0，f（xy）=f（x）+f（y）；（2）設f（2）=1，解不等式。（12分）證明：（1），令x=y=1，則有：f（1）=f（1）-f（1）=0，。（2）解：，2=2×1=2f（2）=f（2）+f（2）=f（4），等價于：，且x>0，x-3>0由f（x）定義域為（0，+）可得。，4>0，又f（x）在（0，+）上為增函數，。又x>3，原不等式解集為：x|3<x4。例11、如圖1-3-1由A城運物到B城，先走一段水路AD，再走一段公路

6、DB，已知水路運費是公路運費的一半，AC=40公里，BC=30公里，問碼頭D建在何處才能使運費最省？（12分）解：設AD=x公里，則CD=40-x公里，公里。設每公里的水路費用m，則每公里的路費為2m，由A城到B城的貨物的總運費為：。令顯然要求M最小值，只要求y最小值即可。把整理得：，對方程或（舍去）。把代入解得（公里）。答：將碼頭建在離A城約23公里處，運費最省。例12、已知，且。（1）設g（x）=ff（x），求g（x）的解析式；（2）設，試問是否存在實數，使在（-，-1）遞減，且在（-1，0）上遞增？解：（1），。又，。（2），任取，則。在上遞減，且遞減<0，又，則：恒成立，。在（-1，0）上遞增。且遞增>0，又，則恒成立,，由、知。解題點撥 本題綜合性較強，考查的是復合函數解析式求法、恒等式成立的條件、復合函數單調性等知識點。對于第（2）問，通常可用函數單調性定義來求解，也可以從復合函數角度結合二次函數性質來求解。作業：1、為上的減函數，則 （ ） （A）（B）（C）（D）2、如果奇函數f(x)在區間3，7上是增函數，且最小值為5，那么在區間7，3上是（ ）A增函數且最小值為5B增函數且最大值為5C減函數且最小值為5D減函數且最大值為53、定義在上的函數是減函數，且是奇函數，若，求實數的范圍。4、已知二次函數滿足，且方程有兩個相等實根，