1、勾股定理的證明方法勾股定理是初等幾何中的一個基本定理。這個定理有十分悠久的歷史，兩千多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，因為這個定理太貼近人們的生活實際，以至于古往今來，下至平民百姓，上至帝王總統都愿意探討和研究它的證明下面結合幾種圖形來進行證明。      一、傳說中畢達哥拉斯的證法（圖1） 左邊的正方形是由1個邊長為的正方形和1個邊長為的正方形以及4個直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。右邊的正方形是由1個邊長為的正方形和4個直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。因為這兩個正方形的面積相等(邊長都是)，所以可以列出等式

2、，化簡得。 在西方，人們認為是畢達哥拉斯最早發現并證明這一定理的，但遺憾的是，他的證明方法已經失傳，這是傳說中的證明方法，這種證明方法簡單、直觀、易懂。 二、趙爽弦圖的證法（圖2） 第一種方法：邊長為的正方形可以看作是由4個直角邊分別為、，斜邊為 的直 角三角形圍在外面形成的。因為邊長為的正方形面積加上4個直角三角形的面積等于外圍正方形的面積，所以可以列出等式，化簡得。 第二種方法：邊長為的正方形可以看作是由4個直角邊分別為、，斜邊為 的 角三角形拼接形成的（虛線表示），不過中間缺出一個邊長為的正方形“小洞”。 因為邊長為的

3、正方形面積等于4個直角三角形的面積加上正方形“小洞”的面積，所以可以列出等式，化簡得。     這種證明方法很簡明，很直觀，它表現了我國古代數學家趙爽高超的證題思想和對數學的鉆研精神，是我們中華民族的驕傲。 三、美國第20任總統茄菲爾德的證法（圖3） 這個直角梯形是由2個直角邊分別為、，斜邊為 的直角三角形和1個直角邊為 的等腰直角三角形拼成的。因為3個直角三角形的面積之和等于梯形的面積，所以可以列出等式，化簡得。 這種證明方法由于用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明更加簡潔，它在數學史上被傳為佳話。古希臘

4、數學的偉大成就：1、 使數學成為抽象性的一門科學；2、 建立了演繹證明體系，希臘成為論證數學發祥地；3、 創立了幾何學、三角學，奠定了數論基礎等；4、 萌芽了一些高等數學，如數論、極限等；5、 希臘人發現定理及證明，邏輯結構嚴密，論證認真細致，為后世樹立了樣板等；不足：如，重幾何輕代數，認為幾何方法是數學證明唯一方法，畏于無理數的存在，而不將算術應用于幾何；幾何作圖嚴格限制規尺。古希臘的數學方法論泰勒斯最先提出數學方法論，數學命題要加以演繹證明，在數學中要建立一般的原理好人規則，數學命題的證明就是要借助一些公理或真實性已經確定的命題來論證某一命題真實性的思想過程。演繹證明的方法即演繹推理的方法

5、，指從一般到特殊的推理方法，其核心是三段論法，即有兩個已知判斷，推出第三個判斷，例如，平行四邊形的對角線互相平分（第一個已知一般判斷成為大前提），矩形是平行四邊形（另一個已知較特殊的判斷，成為小前提），則矩形的對角線互相平分（推出新判斷，即結論）。用演繹法證明命題使幾何由實驗階段，過渡到一門抽象的理論科學，使人類對自然的認識由感性（或經驗）認識上升到理性認識，因此這是一個劃時代的貢獻。后來亞里士多德（公元前384前322）推出邏輯方法論，創建公理方法和數學證明原理，使演繹推理的方法系統化，建立了邏輯學。歐幾里得則在數學中實現了公理化，他的幾何原本奠定了古希臘數學方法論的基礎：采用公理法構建數學

6、理論體系，邏輯證明是數學的基本方法。因此， 數學中的方法、發明與創新表現為提出新命題、證明未證的命題，改進已證命題的證明，由命題構成新的公理體系等。例如：小學三年級的搭配問題1、某女士外出旅行時帶了2件不同顏色的上衣和3條不同顏色的裙子，問：共有多少種不同的搭配方法？教師鼓勵學生用“實驗”的方法去解決問題：學生拿出了紙和筆，開始在紙上“實際地”畫出各種可能的組合。實驗表明，大多數學生都可以憑借自己的努力，單獨或合作地得出正確答案。進而，教師又要求學生對自己的結論的正確性作出“說明”當然，并非嚴格的論證，而主要是一種樸素的說明。作為“問題解決”的一次實踐活動，該節課較好地體現了“學數學就是做數學

7、”這樣一個思想，更使學生實際地體會到了“實驗”在數學發現中的作用。然而，我們都這一教學活動進行反思，學生通過這一活動學到了說明？他表示，我們能否認為學生已經掌握了相關的數學知識？因此，作為一種較好的檢驗方法，可以要求學生進一步解決類似的問題：1、 某男士外出旅行時帶了2件不套不同的西裝和3條不同顏色的領帶，問：共有多少種不同的搭配方法？2、 有2個軍官和3個士兵。現由1個軍官和1個士兵組成巡邏隊，問：共有多少種不同的組成方式？再例如：1、 某女士外出旅行時帶了3件不同顏色的上衣和4條不同顏色的裙子，問：共有多少種不同的搭配方法？2、 有4個軍官和5個士兵。現由1個軍官和1個士兵組成巡邏隊，問：

8、共有多少種不同的組成方式？顯然，在此還是允許學生繼續采取“實驗”方法，但是，如果某個學生始終停留在“實驗和歸納”的水平，我們就不能認為這個學生已經掌握了相應的數學知識。因為，數學是模式的科學。與上面的教學實例十分相似，就數學在古埃及、巴比倫等地的早期發展而言，人們主要通過觀察或實驗以及對于經驗事實的簡單歸納獲得了關于真實事物或現象量性屬性的某些知識，但從現今的觀點看，這只能說是經驗的知識而不能被看成真正的數學知識，因為，真正的數學知識是關于抽象的數學對象的研究，而非對于真實事物或現象量性屬性的直接研究。例如，就幾何的研究而言，這也就是指，“三角形”具有什么性質？“圓”具有什么性質？而不是指，某些“三角形的事物”具有什么性質？某些“圓形的事物”具有什么性質？從歷史的角度看