1、摘 要魯棒控制一直是國際自控界的研究熱點，對于一個控制系統，若使得閉環系統是穩定的，則有必要在設計穩定化控制器的時候，考慮可能出現的不確定因素以及時間滯后因素，這就是線性不確定時滯系統的魯棒控制器設計問題。本文的主要研究內容包括：首先綜述了魯棒控制理論的發展和線性矩陣不等式方法的發展現狀；然后針對線性不確定系統和線性不確定時滯系統，研究這些系統的狀態反饋魯棒控制器的設計方法,基于線性矩陣不等式(LMI)和Lyapunov穩定性理論，研究線性不確定系統、線性不確定時滯無關系統以及線性不確定時滯相關系統的漸近穩定的充分條件，得到它們的魯棒控制器設計方法，并根據設計實例進行了仿真研究，結果表明系統穩

2、定。關鍵詞：魯棒控制；不確定性；線性時滯系統；狀態反饋AbstractRobust control is the focus in the research of Internationally controlled sector，for a control system, if makes its closed-loop system is stable, it will be necessary to consider the possible uncertain and time-delay factors when we design stability controllers. Th

3、is is design problem of linear uncertain time-delay systems robust controller.Summarily the contents of this paper are outlined as follows: first, it summarize the development of robust control theory and linear matrix inequality approach; then,for the linear uncertain system and the linear uncertai

4、n time-delay systems research the robust stability conditions and design technique of robust controller for these systems, base on the linear matrix inequality(LMI) and Lyapunov stability theory, a sufficient condition for linear uncertain system, linear uncertain delay-independent system and linear

5、 uncertain delay-dependent system to be asymptotically stable is presented, getting the design technique of their controller, and according to design examples and the simulation study ,the results show that the system is stable.Key words: robust control; uncertainty; linear time-delay system; state

6、feedback 目 錄第1章 概 述11.1 時滯系統概述11.2 魯棒控制理論概述21.3 本文研究的主要內容5第2章 預備知識62.1 線性矩陣不等式基礎62.2 一些常用的基本引理102.3 本章小結11第3章 線性時滯系統時滯無關的狀態反饋控制123.1 引言123.2 線性不確定系統的魯棒控制器設計123.3 線性不確定時滯系統時滯無關魯棒控制器設計153.4 具有時滯項不確定的線性時滯系統時滯無關魯棒控制器設計193.5 本章小結23第4章 線性時滯系統時滯相關的狀態反饋控制244.1 引言244.2 線性不確定時滯系統時滯相關魯棒控制器設計244.3 本章小結30結 論31參考

7、文獻32致 謝33附 錄34第1章 概 述1.1 時滯系統概述時滯是客觀世界和工程技術中普遍存在的問題。近年來對時滯系統的研究得到了眾多學者的廣泛關注，并取得了豐碩的成果。在實際系統如電子網絡、微波振蕩器、核反應堆、化學過程、手動控制、水力遠程傳送等過程中均存在時滯。引起時滯的主要因素：系統變量的測量、系統設備的物理性質、物質及信號的傳遞等。時滯的存在使得系統的分析和綜合變得更加復雜和困難，且時滯的存在往往是系統不穩定和系統性能變差的根源。正是由于時滯系統在實際中的大量存在，以及時滯系統分析和控制的困難性，使得時滯系統的分析和綜合一直是控制理論和控制工程領域中研究的一個熱點問題1。目前關于時滯

8、系統的研究成果從結論的角度可分為兩類：依賴于時滯的和不依賴于時滯的。在20世紀80年代以前，提出的關于時滯系統的結論基本上都是與時滯的大小無關的，也就是說在進行系統穩定性或其它性能研究時，不考慮時滯的大小，即對時滯不作任何限制，這樣所得到的結論顯然對于任意的時滯都是成立的。然而，許多實際系統中的時滯一般都是有界的，無窮時滯很少出現，當時滯有界時，或者時滯比較小時，是相當保守的，這類不考慮時滯大小的條件被稱之為時滯無關條件。與之相對應，考慮了時滯大小對系統穩定性和性能的影響的條件，就稱為時滯有關條件。研究時滯系統通常使用的工具主要有Riccati矩陣方程與線性矩陣不等式2。特別是線性矩陣不等式方

9、法的廣泛應用，使得有關線性時滯系統的控制問題的研究得到了飛速發展。縱觀時滯系統的研究和發展，有兩條主要研究途徑，即時域方法和頻域方法兩大類，采用頻域法設計時滯系統的控制器隨著系統維數的提高，系統特征方程的處理變得非常復雜，因此問題的處理的難度變得相當大，且對于時變時滯系統這類方法難于應用，因此近年來有關不確定時滯系統的結論基本上都是用時域的分析方法取得的。本論文也用時域的方法來研究不確定時滯系統的魯棒穩定性分析和魯棒控制器的綜合問題。時域方法用的最多的是Lyapunov直接設計方法。從20世紀60年代開始，Lyapunov第二方法開始被用來處理線性系統的控制問題，接著該方法也很快被引入到時滯系

10、統的分析設計中來，逐漸成為人們手中處理時滯系統的有力武器。因此，Lyapunov方法在工業實際中有著廣闊的應用前景。1.2 魯棒控制理論概述 魯棒控制基本概念控制系統就是使控制對象按照預期目標運行的系統，當今的自動控制技術都是基于反饋的概念。反饋理論的要素包括三個部分：測量、比較和執行。這個理論和應用自動控制的關鍵是，做出正確的測量和比較后，如何才能更好地糾正系統。80年代以來，反饋控制理論獲得了驚人的發展，已經變得更加嚴密，更加符合實際，由此發展起來的魯棒控制理論為處理不確定性提供了有效的手段。魯棒控制方面的研究始于20世紀60年代。在過去的20年中，魯棒控制一直是國際自控界的研究熱點3-4

11、。魯棒控制方法適用于穩定性和可靠性作為首要目標的應用，同時過程的動態特性已知且不確定因素的變化范圍可以預估。飛機和空間飛行器的控制是這類系統的例子。所謂“魯棒性”，是指控制系統在一定的參數攝動下，維持某些性能的特性。根據對性能的不同定義，可分為穩定魯棒性和性能魯棒性。以閉環系統的魯棒性作為目標設計得到的固定控制器稱為魯棒控制器。由于工作狀況變動、外部干擾以及建模誤差的緣故，實際工業過程的精確模型很難得到，而系統的各種故障也將導致模型的不確定性，因此可以說模型的不確定性在控制系統中廣泛存在。如何設計一個固定的控制器，使具有不確定性的對象滿足控制品質，也就是魯棒控制，成為國內外科研人員的研究課題。

12、魯棒控制的早期研究，主要針對單變量系統(SISO)在微小攝動下的不確定性，具有代表性的是Zames提出的微分靈敏度分析5。然而，實際工業過程中故障導致系統中參數的變化，這種變化是有界攝動而不是無窮小攝動。因此產生了以討論參數在有界攝動下系統性能保持和控制為內容的現代魯棒控制。現代魯棒控制是一個著重控制算法可靠性研究的控制器設計方法。其設計目標是找到在實際環境中為保證安全要求控制系統最小的必須滿足的要求，一旦設計好這個控制器，它的參數不能改變而且控制性能能夠保證。魯棒控制理論所要研究的問題不外乎兩大方面，即分析和綜合。在分析方面要研究的是：當系統存在各種不確定性及外加干擾時，系統性能變化的分析，

13、包括系統的動態性能和穩定性等。在綜合方面要研究的是：采用什么控制結構、用什么設計方法可保證控制系統具有更強的魯棒性，包括如何對付系統中存在的不確定性和外加干擾的影響，并且魯棒穩定性是一類具有非常重要的實用價值的穩定特性。大量的實際應用要求即使在如上所述的條件下控制律依然可以保證系統的穩定，即所謂的魯棒鎮定。因此，線性不確定系統的魯棒控制研究具有較高的實用價值，對于實際控制系統的設計和應用更具有指導意義。除了不確定性，時滯也是系統設計分析中需要注意的一個重要因素。任何系統中，物質和能量的傳輸都需要時間，因此時滯是過程的固有特性，是不可避免和普遍存在的6。而它所產生的一個后果就是，當控制參數已經變

14、化時，被控量并不立即變化，而是要延遲一段時間才開始變化。隨著控制系統變得越來越復雜，控制精度的要求越來越高，時滯已經不能在分析設計時加以忽略，而是要建立明確的時滯微分方程以作為更為精確的數學模型。因而時滯系統的研究不僅僅在于理論上巨大意義，還在于實際控制系統設計和應用的迫切需要。 魯棒控制理論的歷史和發展控制系統在其特性或參數發生攝動時仍可使品質指標保持不變的性能。魯棒性原是統計學中的一個專門術語，20世紀70年代初開始在控制理論的研究中流行起來，用以表征控制系統對特性或參數攝動的不敏感性。在實際問題中，系統特性或參數的攝動常常是不可避免的。產生攝動的原因主要有兩個方面，一個是由于量測的不精確

15、使得特性或參數的實際值會偏離它的設計值(標稱值)，另一個是系統運行過程中受環境因素的影響而引起特性或參數的緩慢漂移。因此，魯棒性已成為控制理論中的一個重要的研究課題，也是一切類型的控制系統的設計中所必須考慮的一個基本問題。對魯棒性的研究主要限于線性定常控制系統，所涉及的領域包括穩定性、無靜差性、適應控制等。魯棒性問題與控制系統的相對穩定性(頻率域內表征控制系統穩定性裕量的一種性能指標)和不變性原理(自動控制理論中研究扼制和消除擾動對控制系統影響的理論)有著密切的聯系，內模原理(把外部作用信號的動力學模型植入控制器來構成高精度反饋控制系統的一種設計原理)的建立則對魯棒性問題的研究起了重要的推動作

16、用。當系統中存在模型攝動或隨機干擾等不確定性因素時能保持其滿意功能品質的控制理論和方法稱為魯棒控制。早期的魯棒控制主要研究單回路系統頻率特性的某些特征，或基于小攝動分析上的靈敏度問題。在經典控制理論中，被控對象的頻率特性是設計控制系統的主要依據，整個系統的性能指標也是通過引入控制器來整定開環系統頻率特性的方法而實現的。由于被控對象的頻率特性通常是靠實驗測試等手段獲得的，因此，不可避免地帶有不確定性。這就導致經典控制理論設計的控制器，在很大程度上必須依靠現場調試，才能獲得滿意的控制性能。而基于狀態方程等數學模型為主要設計依據的現代控制理論，則依靠線性代數、微分幾何以及最優化方法等嚴謹的數學工具，

17、采用數學解析的手段來設計控制系統。同理，通常用機理推導和模型辨識等手段得到的數學模型同樣帶有不確定性。系統魯棒控制理論也可追溯到無窮小分析的思想，例如微分方程解在給定區間的任意小變化依賴于初值和方程系數的充分小變化，再如偏微分方程中的適定性研究、計算方法中關于誤差的靈敏性等。魯棒控制問題事實上最初在具有攝動的精確系統的大增益反饋器設計有所體現。這一思想最早研究可追溯到1927年Black針對具有攝動的精確系統的大增益反饋設計思想7。由于當時不知道反饋增益和控制系統穩定性之間的確切關系，基于上述思想設計的控制系統往往是動態不穩定的。1932年Nyquist提出了基于Nyquist曲線的頻域穩定性

18、判據，使得反饋增益和控制系統穩定性之間的關系明朗化。1945年Bode討論了單輸入單輸出(SISO)反饋系統的魯棒性。提出了利用幅值和相位穩定裕度來得到系統能容許的不確定性范圍，并引入微分靈敏度函數來衡量參數攝動下的系統性能。20世紀60年代初，Cruz和Perkins將單輸入單輸出系統的靈敏性分析思想推廣到多輸入多輸出(MIMO)系統，引入靈敏度矩陣來衡量系統的閉環和開環性能。這些關于魯棒控制的早期研究主要局限于系統的不確定性是微小的參數攝動情形，尚屬于靈敏度分析的范疇，并只是停留在理論上，尚不能在實際的生產過程中得以應用。在實際生產過程中，系統的參數攝動往往由于各種原因會在較大的范圍內發生

19、變化，早期的理論研究不能解決實際中出現的這種情況，為適應社會的發展和解決生產過程中出現的問題，現代魯棒控制理論得以應運而生。在魯棒控制理論建立過程中，Zames于1963年提出的小增益原理影響深遠，這一原理為魯棒穩定性分析莫定了基礎，至今仍是頻域分析非結構不確定性系統魯棒穩定性的基本工具。魯棒控制理論這一術語首次由Davsion在1972年提出，在20世紀70年代末和80年代初，人們從實際與理論兩個方面越來越深刻的認識到魯棒控制理論具有的特殊的實踐和理論意義，從而魯棒控制擴展到許多領域，得到迅速發展，并取得了令人矚目的成果。隨著科技的進步和社會的發展，微機的應用為控制論的飛速發展提供了極大的方

20、便，也正是微機的廣泛應用，現代控制理論才有今天可喜的成果。魯棒控制理論發展到今天，已經形成了很多引人注目的理論，其中控制理論是目前解決魯棒性問題最為成功且較完善的理論體系。如今，系統的分析方法和控制器的設計大多是基于數學模型而建立的，而且，各類方法已經趨于成熟和完善。然而，系統總是存在這樣或那樣的不確定性。在系統建模時，有時只考慮了工作點附近的情況，造成了數學模型的人為簡化；另一方面，執行部件與控制元件存在制造容差，系統運行過程也存在老化、磨損以及環境和運行條件惡化等現象，使得大多數系統存在結構或者參數的不確定性。這樣，用精確數學模型對系統的分析結果或設計出來的控制器常常不滿足工程要求。近些年

21、來，人們展開了對不確定系統魯棒控制問題的研究，并取得了一系列研究成果。 魯棒控制系統的設計基本思想一般的反饋控制系統設計的基本要求包括穩定性、漸近調節、動態特性和魯棒性等四個方面。(1) 穩定性：它是控制系統設計的最基本的要求，并意味著控制系統從工作點附近任意初始狀態出發的軌跡在時間趨于無窮時收斂于工作點。(2) 漸近調節：它意味著對于一類給定的目標輸入和外部擾動，一個反饋控制系統必須能夠保證即保證控制系統的穩態誤差為0。漸近調節的特性反映了控制系統的穩態性能。(3) 動態特性：它是指反饋控制系統的動態性能必須滿足一組給定的設計指標。(4) 魯棒性：它是指當不確定性在一組給定的范圍內發生變化時

22、，必須保證反饋控制系統的穩定性、漸近調節和動態特性不受影響。一個反饋控制系統是魯棒的，或者說一個反饋控制系統具有魯棒性，就是指這個反饋控制系統在某一類特定的不確定性條件下具有使穩定性、漸近調節和動態特性保持不變的特性，即這一反饋控制系統具有承受這一類不確定性影響的能力。魯棒性又可以分為魯棒穩定性、魯棒漸近調節和魯棒動態特性。(1) 魯棒穩定性是指在一組不確定性的作用下仍然能夠保證反饋控制系統的穩定性。(2) 魯棒漸近調節是指在一組不確定性的影響下仍然可以實現反饋控制系統的漸近調節功能。(3) 魯棒動態特性通常稱為靈敏度特性，即要求動態特性不受不確定性的影響。一個反饋控制系統的設計問題就是根據給

23、定的控制對象模型，尋找一個控制器，以保證反饋控制系統的穩定性，使反饋控制系統達到期望的性能，并對模型不確定性和擾動不確定性具有魯棒性。具有魯棒性的控制系統稱為魯棒控制系統。抓住不確定性變化的范圍界限，并在這個范圍內進行最壞情況下的控制系統設計，這就是魯棒控制系統設計的基本思想8。1.3 本文研究的主要內容本文主要研究的內容有：線性矩陣不等式基礎以及一些常用的基本引理；基于MATLAB中的LMI工具箱以及Lyapunov穩定性定理，分別對線性不確定系統、線性不確定時滯無關系統以及線性不確定時滯相關系統的魯棒控制器進行設計，然后根據設計實例，進行仿真研究。第2章 預備知識2.1 線性矩陣不等式基礎

24、在時間域中研究參數不確定系統的魯棒分析和綜合問題的主要理論基礎是Lyapunov穩定性理論，早期的一種主要方法是Riccati方程處理方法。它是通過將系統的魯棒分析和綜合問題轉化成一個Riccati型矩陣方程的可解性問題，進而應用求解Riccati方程的方法給出系統具有給定魯棒性能的條件和魯棒控制器的設計方法。盡管Riccati方程處理方法可以給出控制器的結構形式，便于進行一些理論分析，但是在實施這一方法之前，往往需要設計者事先確定一些待定參數，這些參數的選擇不僅影響到結論的好壞，而且還會影響到問題的可解性。但在現有的Riccati方程處理方法中，還缺乏尋找這些參數最佳值的方法，參數的這種人為

25、確定方法給分析和綜合結果帶來了很大的保守性。另一方面，Riccati型矩陣方程本身的求解也還存在一定的問題。目前存在很多求解Riccati型矩陣方程的方法，但多為迭代方法，這些方法的收斂性并不能得到保證。20世紀90年代初，隨著求解凸優化問題的內點法的提出，線性矩陣不等式再一次受到控制界的關注，并被應用到系統和控制的各個領域中。許多控制問題可以轉化為一個線性矩陣不等式系統的可行性問題，或者是一個具有線性矩陣不等式約束的凸優化問題。由于有了求解凸優化問題的內點法，使得這些問題可以得到有效的解決。1995年，MATLAB推出了求解線性矩陣不等式問題的LMI工具箱，從而使得人們能夠更加方便和有效地來

26、處理、求解線性矩陣不等式系統，進一步推動了線性矩陣不等式方法在系統和控制領域中的應用。線性矩陣不等式處理方法可以克服Riccati方程處理方法中存在的許多不足。線性矩陣不等式方法給出了問題可解的一個凸約束條件，因此，可以應用求解凸優化問題的有效方法來進行求解。正是這種凸約束條件，使得在控制器設計時，得到的不僅僅是一個滿足設計要求的控制器，而是從凸約束條件的任意一個可行解都可以得到一個控制器，即可以得到滿足設計要求的一組控制器。這一性能在求解系統的多目標控制問題時是特別有用的9-12。本章主要介紹線性矩陣不等式的一些基本概念、求解線性矩陣不等式的主要算法以及應用線性矩陣不等式來解決系統與控制問題

27、時要用到的一些基本結論。 線性矩陣不等式的表示式近10年來，線性矩陣不等式被廣泛用來解決系統與控制中的一些問題，隨著解決線性矩陣不等式的內點法的提出、MATLAB軟件中LMI工具箱的推出，線性矩陣不等式這一工具越來越受到人們的注意和重視，應用線性矩陣不等式來解決系統與控制問題已成為這些領域中的一大研究熱點。線性矩陣不等式(LMI)具有如下的一般形式 (2-1)其中：是個實數變量，稱為是線性矩陣不等式(2-1)的決策變量，是由決策變量構成的向量，稱為決策向量。，是一組給定的實對稱矩陣。式(2-1)中的不等號指的是矩陣是負定的，即對所有非零的向量，或的最大特征值小于零。所有滿足線性矩陣不等式(2-

28、1)的x的全體構成一個凸集。如果把看成是從到實對稱矩陣集的一個映射，則可以看出并不是一個線性函數，而只是一個仿射函數。因此，更確切地說，不等式(2-1)應該稱為一個仿射矩陣不等式。但由于歷史原因，目前線性矩陣不等式這一名稱已被廣泛接受和使用。如果在(2-1)式中用“”代替“<”，則相應的矩陣不等式稱為非嚴格的線性矩陣不等式。顯然，多個LMI可用一個LMI表示，即等價于對二次非線性矩陣不等式，通過Schur補引理13可以轉化為LMI，從而推廣LMI在控制理論研究中應用范圍，其基本思想是：若，則，等價于 一些標準的線性矩陣不等式問題本節介紹三類標準的線性矩陣不等式問題14。在MATLAB的L

29、MI工具箱中給出了這三類問題的求解器。假定其中的、和是對稱的矩陣值仿射函數，是一個給定的常數向量。 (1) 可行性問題(LMIP)：對給定的線性矩陣不等式，檢驗是否存在，使得成立的問題稱為一個線性矩陣不等式的可行性問題。如果存在這樣的，則該線性矩陣不等式問題是可行的，否則這個線性矩陣不等式就是不可行的。(2) 特征值問題(EVP)：該問題是在個線性矩陣不等式約束下，求矩陣的最大特征值的最小化問題或確定問題的約束是不可行的。它的一般形式是： 這樣一個問題也可以轉化成以下的一個等價問題： 這也是LMI工具箱中特征值問題求解器所要處理問題的標準形式。(3) 廣義特征值問題(GEVP)：在一個線性矩陣

30、不等式約束下，求兩個仿射矩陣函數的最大廣義特征值的最小化問題。對給定的兩個相同階數的對稱矩陣和，對標量，如果存在非零向量，使得,則稱為矩陣和的廣義特征值。矩陣和的最大廣義特征值的計算問題可以轉化成一個具有線性矩陣不等式約束的優化問題。事實上，假定矩陣是正定的，則對充分大的標量，有。隨著減小，并在某個適當的值，將變為奇異的。因此，存在非零向量，使得。這樣的一個就是矩陣和的廣義特征值。根據這樣的思想，矩陣和的最大廣義特征值可以通過求解以下的優化問題得到： 當矩陣和是的一個仿射函數時，在一個線性矩陣不等式約束下，求矩陣函數和的最大廣義特征值的最小化問題的一般形式如下： 通常，在控制理論研究中所遇到的

31、二次非線性矩陣不等式，通過下面Schur補引理可以轉化為線性矩陣不等式，這也是線性矩陣不等式在控制理論研究中能得到廣泛應用的主要原因之一。下面給出Schur引理的具體描述。 引理 (Schur補引理)假設對稱矩陣，并且可以進行以下分塊其中是維的，假定非奇異，則稱為是在中的Schur補，那么以下三個結論等價： 上述結論中的所有不等式都是嚴格不等式，如果遇有非嚴格的不等式，則用到下列推廣了的Schur補引理： 引理2.1.2 假設對稱矩陣，并且可以進行以下分塊分塊定義同引理2.1.1，則等價于下述三個約束條件： 注意到引理2.1.1的(2)式和(3)式中的第二個不等式以及式后兩個不等式均為非線性矩

32、陣不等式，因此以上的等價關系說明了應用矩陣的Schur補性質，一些非線性矩陣不等式可以轉化成線性矩陣不等式，從而利用現有的軟件MATLAB中的LMI工具箱可以直接對問題求解。 線性矩陣不等式處理方法可以克服Riccati方程處理方法中存在的許多不足。線性矩陣不等式方法給出了問題可解的一個凸約束條件，因此，可以應用求解凸優化問題的有效方法來進行求解。正是這種凸約束條件，使得在控制器設計時得到的不僅僅是一個滿足設計方法的控制器，而且是從凸約束條件的任意一個可行解都可以得到的一個控制器，即可以得到滿足設計要求的一組控制器。 LMI工具箱簡介線性矩陣不等式(LMI)工具箱是求解一般線性矩陣不等式問題的

33、一個高性能軟件包。由于其面向結構的線性矩陣不等式表示方式，使得各種線性矩陣不等式能夠以自然塊矩陣的形式加以描述。一個線性矩陣不等式問題一旦確定，就可以通過調用適當的線性矩陣不等式求解器來對這個問題進行數值求解。LMI工具箱提供了確定、處理和數值求解線性矩陣不等式的一些工具，它們主要用于：(1) 以自然塊矩陣形式來直接描述線性矩陣不等式；(2) 獲取關于現有的線性矩陣不等式系統的信息；(3) 修改現有的線性矩陣不等式系統；(4) 求解三個一般的線性矩陣不等式問題；(5) 驗證結果。LMI工具箱可以處理具有以下一般形式的線性矩陣不等式：式中，是具有一定結構的矩陣變量，左、右外因子和是具有相同維數的

34、給定矩陣，左、右內因子和是具有相同分塊結構的對稱塊矩陣。LMI工具箱提供了用于求解如下三個標準問題的線性矩陣不等式求解器：(1) 可行性問題(LMIP)，對應的求解器函數feasp( )的一般表達式如下：tmin,xfeas=feasp(lmisys,options,target)求解器feasp( )是通過求解如下的一個輔助凸優化問題 來求解線性矩陣不等式系統limisys的可行性問題；(2) 特征值問題(EVP)，對應的求解器函數Mincx( )的一般表達式如下：copt,xopt=mincx(lmisys,options,xinit,target)求解器Mincx( )求解的優化問題如下

35、這是一個具有線性矩陣不等式約束的線性目標函數的最小化優化問題；(3) 廣義特征值問題(GEVP)，對應的求解器函數gevp( )的一半表達式如下：lopt,xopt=gevp(lmisys,nlfc,options,linit,xinit,target)對于給定的兩個相同階數的對稱矩陣、和標量，如果存在非零向量，使得，則稱為是矩陣和的廣義特征值。求解器gevp( )給出了優化問題的全局最小值lopt和決策向量的最優解xopt。控制系統中的一些性能指標、穩定性判據可以轉化為LMI的以上三類標準問題，其原因是：一方面Lyapunov方法易得到凸的或擬凸的條件；另一方面LMI本身能表示范圍廣泛的不同

36、類凸約束。2.2 一些常用的基本引理引理 為適維的常數矩陣，并且，是適維的單位矩陣，則存在，使得下式成立：引理 給定適當維數的矩陣、和，其中對稱的，則對所有滿足的矩陣成立，當且僅當存在一個常數，使得引理2.2.3 對給定的對稱矩陣，其中是rxr維的。以下三個條件是等價的：(1) ；(2) ；(3) 在一些控制問題中，經常遇到二次型矩陣不等式： 其中：是給定的適當維數的常數矩陣，是對稱矩陣變量，則應用引理2.2.3，可以將該二次型矩陣不等式可行性問題轉化成一個等價的矩陣不等式引理2.2.4 是適維矩陣，是適維單位陣，是同維向量，則下式成立：，其中引理2.2.5 在引理2.2.4中，如果令則：2.

37、3 本章小結本章主要介紹了線性矩陣不等式的一些基礎知識以及MATLAB LMI工具箱。在本章中，列出了一些常用的引理，也對文中要用的矩陣不等式做了歸納總結并給出了證明。第3章 線性時滯系統時滯無關的狀態反饋控制3.1 引言近年來，不確定系統的研究涌現出許多的成果。在實際控制系統中，不確定性和時滯性是不可避免的，它們的存在往往是導致整個系統不穩定的內在因素。這類問題的本質是帶攝動的無窮維問題，所以不確定性的滯后控制系統的鎮定研究就比較困難，而實際系統設計時通常又不能無條件地用無滯后的不確定系統。線性系統的攝動抑制及時滯抑制是系統魯棒性研究中一類很重要的問題，在實際系統分析及綜合中具有重要意義。因

38、此，下面分別對不確定系統和具有時滯的不確定系統的魯棒控制器設計進行研究。3.2 線性不確定系統的魯棒控制器設計在魯棒控制中，不確定動態系統的概念是相當重要的。為了進行有效的控制系統設計，一個復雜的動態系統必須用一個相對簡單的模型來描述，而這樣一個簡化模型和實際對象之間的差距稱為模型不確定性。除了在模型簡化中可能帶來模型的不確定性外，對系統某些特性或環節缺乏足夠的了解(即難以建模的部分)，由于系統環境的變化、元器件的老化、某些物理參數的漂移或隨時間的未知變化等因素所帶來的系統行為的變化也可能導致模型不確定性的產生，因此就要設計一個控制器使不確定系統具有穩定性。本節主要是在系統的狀態反饋中加入了不

39、確定的系數，從簡單的線性不確定系統著手，來進行理論的推導和驗證，推導出來的理論又通過一個實際的例子進行了驗證與仿真。不僅證明了定理的正確性，而且通過理論分析和實例表明，設計的狀態反饋控制器還具有一定的魯棒性，即在受到一定的不確定干擾時系統仍是穩定的。 問題描述考慮具有如下形式的線性不確定系統 (3-1)其中：是系統的狀態向量，是系統的控制輸入，是具有適當維數的已知常數矩陣，是適當維數的不確定矩陣函數，表示了系統模型中的參數不確定性。假定所考慮的參數不確定性是參數有界的，且具有以下的形式：其中，是適當維常數矩陣，為未知的Lebesgue可測矩陣函數，且滿足取狀態反饋控制律如下： (3-2)在狀態

40、反饋控制律(3-2)的作用下得到閉環系統如下所示： 主要結果和推導過程定理3.2.1：對于給定線性不確定無時滯系統(3-1)，存在線性狀態反饋(3-2)，使得閉環系統是二次穩定的充分條件是存在適當的正數，正定對稱矩陣以及矩陣，使得如下線性矩陣不等式成立： (3-3)證明：定義如下Lyapunov函數 函數兩邊同時對求導，有下式成立： 令，則因為則由引理2.2.1得：應用Schur補引理得： (3-4)比較可知，線性矩陣不等式(3-4)與不等式(3-3)等價，因此，系統(3-1)是穩定的，且具有一定的魯棒性。 仿真實例考慮系統(3-1)具有如下的各矩陣參數：，已知矩陣已經給定，要求設計一個狀態反

41、饋控制器，使得被控系統穩定并且具有一定的魯棒性，且仿真出來系統的狀態階躍響應圖。解：利用MATLAB的LMITOOL工具可以解得未知矩陣(即lmiedit函數)，所編程序如附錄中的(附錄1)所示。運行程序解得：(即附錄1中ew值)，由MATLAB的SIMULINK工具箱在狀態反饋控制律的作用下的系統的方塊圖：圖3-1 狀態反饋控制系統的方塊圖由附錄1中所計算得的增益值輸入在圖中的Matrix Gain中，選取一定值運行即得如下所示的系統狀態階躍響應圖：圖3-2 系統的狀態階躍響應從仿真圖3-2中可以看到系統的響應隨著時間的增大而逐漸趨近于穩定，這就說明由本方法得到的狀態反饋控制律能保證閉環系統

42、具有一定的魯棒性。3.3 線性不確定時滯系統時滯無關魯棒控制器設計由于時滯現象在實際工程中是普遍存在的，同時，它又是使系統不穩定的重要因素，因此，對于時滯控制系統的穩定性研究一直受到國內外眾多學者的極大關注。對于時滯控制系統穩定性的研究結果主要有兩類:一類是與時滯大小無關的系統穩定條件；另一類是系統時滯相關穩定的判別準則。時滯無關的穩定判別準則的主要特點是簡潔實用。本節的主要工作是提出線性時滯系統的一些與時滯無關的穩定設計，理論分析和實例表明，研究結果具有十分重要的理論意義和實用價值。 問題描述考慮具有如下形式的線性不確定系統 (3-5)其中：是系統的狀態向量，是系統的控制輸入，是具有適當維數

43、的已知常數矩陣，為時滯參數值。是反映系統模型中參數不確定性的未知實矩陣，假定所考慮的參數不確定性是參數有界的，且具有以下的形式：其中，是適當維常數矩陣，為未知的Lebesgue可測矩陣函數，且滿足取狀態反饋控制律如下： (3-6)在狀態反饋控制律(3-6)的作用下得到閉環系統如下所示： 主要結果和推導過程定理3.3.1：對于給定線性不確定時滯系統(3-5)，存在線性狀態反饋(3-6)，使得閉環系統是二次穩定的充分條件是存在適當的正數，正定對稱矩陣以及矩陣，使得如下線性矩陣不等式成立： (3-7)證明：定義如下Lyapunov函數函數兩邊同時對求導，有下式成立： 因為則由引理得：將其代入，則變成

44、：我們可以令：即得要證明，只需要證明即可。在的左右兩邊同時乘以，再令，可以得到： (3-8)對于不等式(3-8)應用Schur補引理即得： (3-9)比較可知，線性矩陣不等式(3-9)與不等式(3-7)等價，因此，系統(3-5)是穩定的，且具有一定的魯棒性。證畢。 仿真實例考慮系統(3-5)具有如下的各矩陣參數：， ，已知矩陣已經給定，要求設計一個狀態反饋控制器，使得被控系統穩定并且具有一定的魯棒性，且仿真出來系統的狀態階躍響應圖。解：利用MATLAB的LMITOOL工具可以解得未知矩陣(即lmiedit函數)，所編程序如附錄中的(附錄2)所示。運行程序解得：(即附錄2中ew值)，由MATLA

45、B的SIMULINK工具箱在狀態反饋控制律的作用下的系統的方塊圖：圖3-3 狀態反饋控制系統的方塊圖由附錄2中所計算得的增益值輸入在圖中的Matrix Gain和Matrix Gain1中，選取一定值運行即得如下所示的系統狀態階躍響應圖：圖3-4 系統的狀態階躍響應（時滯d=0.5）圖3-5 系統的狀態階躍響應（時滯d=1.0）在系統取不同的時滯常數值的情況下，從仿真圖3-4和3-5中可以看到系統的響應隨著時間的增大而趨近于穩定，并且穩定時間基本相同，這就說明由本方法得到的狀態反饋控制律能保證閉環系統具有一定的魯棒性。3.4 具有時滯項不確定的線性時滯系統時滯無關魯棒控制器設計 問題描述考慮具

46、有如下形式的線性不確定時滯系統 (3-10)其中：是系統的狀態向量，是系統的控制輸入，是具有適當維數的已知常數矩陣，為時滯參數值。，是反映系統模型中參數不確定性的未知實矩陣，假定所考慮的參數不確定性是參數有界的，且具有以下的形式：其中，是適當維常數矩陣，為未知的Lebesgue可測矩陣函數，且滿足取狀態反饋控制律如下： (3-11)在狀態反饋控制律(3-11)的作用下得到閉環系統如下所示： 主要結果和推導過程定理3.4.1：對于給定線性不確定時滯系統(3-10)，存在線性狀態反饋(3-11)，使得閉環系統是二次穩定的充分條件是存在適當的正數，正定對稱矩陣以及矩陣，使得如下線性矩陣不等式成立：

47、(3-12)證明：定義如下Lyapunov函數函數兩邊同時對求導，有下式成立：因為則由引理2.2.1得：將其代入，則變成：=可以令：即得要證明0，只需要證明即可。在的左右兩邊同時乘以，再令，可以得到： (3-13)對于不等式(3-13)應用Schur補引理即得： (3-14)比較可知，線性矩陣不等式(3-14)與不等式(3-12)等價，因此，系統(3-10)是穩定的，且具有一定的魯棒性。證畢。 仿真實例考慮系統(3-10)具有如下的各矩陣參數：，已知矩陣已經給定，要求設計一個狀態反饋控制器，使得被控系統穩定并且具有一定的魯棒性，且仿真出來系統的狀態階躍響應圖。解：第一步：利用MATLAB的LM

48、ITOOL工具可以解得未知矩陣(即lmiedit函數)，所編程序如附錄中的(附錄3)所示。運行程序解得：(即附錄3中ew值)， 由MATLAB的SIMULINK工具箱在狀態反饋控制規律的作用下的系統的方塊圖：圖3-6 狀態反饋控制系統的方塊圖由附錄3中所計算得的增益值加在圖中的Matrix Gain和Matrix Gain1中，選取一定的時滯值即得如下所示的系統狀態階躍響應圖：圖3-7 系統的狀態階躍響應（時滯d=0.5）圖3-8 系統的狀態階躍響應（時滯d=1.0）在系統取不同的時滯常數值的情況下，從仿真圖3-7和3-8中可以看到系統的響應隨著時間的增大而趨近于穩定，并且穩定時間基本相同，這

49、就說明由本方法得到的狀態反饋控制律能保證閉環系統具有一定的魯棒性。3.5 本章小結本節針對一類不確定線性時滯系統，即在系統矩陣具有不確定性且具有時滯環節的系統中，給出了使與時滯無關的系統穩定的充分條件。通過求解線性矩陣不等式，獲得了使閉環系統穩定的狀態反饋控制器，為解決實際應用提供了一種可行的設計方案，并且通過仿真驗證了結論的正確性，具有一定的理論意義及實際價值。在3.2，3.3，3.4節中對于線性不確定系統和不確定時滯無關系統進行狀態反饋魯棒控制器的設計，基于Lyapunov穩定的直接法給出了狀態反饋控制律作用下的閉環系統穩定的充分條件，并且通過實際的仿真實例對所設計的控制器進行了驗證，結果

50、表明設計的狀態反饋控制器具有很好的魯棒性。第4章 線性時滯系統時滯相關的狀態反饋控制4.1 引言在眾多的工業過程中，時滯現象是大量存在的，因此，對不確定時滯系統魯棒鎮定問題的研究不僅具有理論意義，也是控制工程實踐的需要。近年來，利用Riccati方程方法來研究線性不確定時滯系統的魯棒鎮定問題正受到越來越多的關注，但在很多實際系統中，我們可能無法得知時滯變化率的情況，而只知道系統的時滯范圍，在這種情況下，以上結果就無法適用或過于保守。正是由于不依賴時滯的結果在某些情況下存在局限性，一些學者提出了時滯依賴的魯棒穩定判據和鎮定方法。時滯依賴魯棒穩定性判據基于一個Riccati方程，求解時涉及到多個標

51、量參數和對稱正定矩陣的整定問題，但目前還沒有有效的整定方法。由于線性矩陣不等式(LMI)存在有效數值求解方法，容易對參數進行優化等優點而受到廣泛重視。針對上述問題本節將對線性不確定時滯系統的時滯相關魯棒鎮定問題進行研究。4.2 線性不確定時滯系統時滯相關魯棒控制器設計時滯系統在化工處理、柔性機器人、神經網絡、最優控制等領域具有廣泛的背景，時滯的存在使得穩定性的檢驗變得更加復雜，經過國內外許多學者的努力，迄今為止，已有很多檢驗穩定性的方法。現有的穩定性準則大致可分為兩類：其一為時滯獨立準則，它不含時滯的任何消息；其二為時滯相關準則，它與滯后的大小有關。由于缺少了時滯的信息，時滯獨立準則必然會使其

52、穩定性準則具有保守性，尤其是滯后量較小的情況。因此，下面將對線性不確定時滯系統的時滯相關魯棒鎮定問題進行研究。 問題描述考慮具有如下形式的線性不確定時滯系統 (4-1)其中：是系統的狀態向量，是系統的控制輸入，是具有適當維數的已知常數矩陣，為時滯參數值。，是反映系統模型中參數不確定性的未知實矩陣，假定所考慮的參數不確定性是參數有界的，且具有以下的形式：其中，是適當維常數矩陣，為未知的Lebesgue可測矩陣函數，且滿足取狀態反饋控制律如下： (4-2)在狀態反饋控制律(4-2)的作用下得到閉環系統如下所示： 主要結果和推導過程定理4.2.1：對于給定線性不確定時滯系統(4-1)，存在線性狀態反

53、饋(4-2)，使得閉環系統是二次穩定的充分條件是存在適當的正數，正定對稱矩陣，矩陣以及，使得如下線性矩陣不等式成立： (4-3)其中：證明：由于即：將其代入系統(4-1)，則系統可表示成： 定義如下Lyapunov函數：，分別對進行求導，有如下形式：對求導：根據引理2.2.5，得：對求導：對求導：則得： 其中：則：等價于：上式等價于： (4-4)其中：若式(4-4)成立，則存在不為零的適維向量使得下式成立： (4-5)不等式(4-5)與下式等價： (4-6)其中：在矩陣不等式(4-6)的兩邊分別左乘和右乘，假設，并利用Schur補引理，不等式(4-7)與線性矩陣不等式(4-3)等價，有如下形式

54、：(4-7)其中： 證畢。 仿真實例考慮系統(4-1)具有如下的各矩陣參數：，已知矩陣已經給定，要求設計一個狀態反饋控制器，使得被控系統穩定并且具有一定的魯棒性，且仿真出來系統的狀態階躍響應圖。解：第一步：利用MATLAB的LMITOOL工具可以解得未知矩陣(即lmiedit函數)，所編程序如附錄中的(附錄4)所示。運行程序解得：，由MATLAB的SIMULINK工具箱在狀態反饋控制律的作用下的系統的方塊圖：圖4-1 狀態反饋控制系統的方塊圖由附錄4中所計算得的增益值輸入在圖中的Matrix Gain和Matrix Gain1中，選取一定時滯值運行即得如下所示的系統狀態階躍響應圖：圖4-2 系統的狀態階躍響應從仿真圖4-2中可以看到系統的響應隨著時間的增大而逐漸趨近于穩定，這就說明由本方法得到的狀態控制反饋能保證閉環系統具有一定的魯棒性。4.3 本章小結本節針對線性不確定時滯系統的時滯相關魯棒鎮定問題進行研究，并且通過實際的仿真實例對所設計的控制器進行了驗證，結果表明設計的狀態反饋控制器具有很好的魯棒性。結