1、1 第三章、運算方法與運算器Outlineo 定點補碼加/減法運算o 定點乘法運算o 浮點運算o 運算器組織o 運算器部件舉例2 3.1 定點補碼加/減法運算o定點補碼的加減法運算 X補+ Y補= X + Y補 X補 - Y補= X補+ -Y補=X-Y補 - Y補補= -Y補補（規則來源于補碼的特點，也即模運算的特點。存在模運算與溢出的關（規則來源于補碼的特點，也即模運算的特點。存在模運算與溢出的關系問題）系問題）3 0.111+1.100=10.011 （0.875-0.5=0.375） （多出一位（多出一位丟掉）丟掉） 0.111+0.010 =1.001 （0.875+0.25=1.12

2、5） （機器得到（機器得到- 0.875） 1.001+1.100 =10.101 （-0.875-0.5= -1.325） （機器得到（機器得到+0.625） 結論：結論： 運算的運算的實際結果實際結果沒有超出字長可以表示的數值范圍，取模的結果是正確。沒有超出字長可以表示的數值范圍，取模的結果是正確。 超出范圍則溢出，出現錯誤。判斷方法：超出范圍則溢出，出現錯誤。判斷方法：正正 + 正正 得得負負 或或 負負 + 負負 得得正正注意：注意： 模運算與溢出的關系模運算與溢出的關系(例如例如, 4位位2進制運算器進制運算器)：4補碼加法的幾種情況及其溢出檢測 正正得負，正溢出負負得正，負溢出正常

3、結果符號位進位舍去，正常結果計算機如何識別運算結果是否溢出Cf = 0，C1 = 0Cf = 1，C1 = 1Cf = 0，C1 = 1Cf = 1，C1 = 0符號位進位Cf （C0） ，最高位進位C15CfC1V000110101011單符號數溢出檢測溢出信號V對應的真值表V=CV=Cf fC C1 16雙符號數溢出檢測 非正常符號位，溢出符號位進位舍去，正常結果正常結果非正常符號位，溢出f1 f2Sf1 Sf2 V V S Sf1f1 S Sf2 f2 7加法運算的邏輯實現 多位加法運算依賴于各位逐位相加的運算，所以我們先討論一位全加器8一位全加器輸入: 加數Ai 、Bi 、低位進位輸入

4、Ci+1輸出: 和數Si ，進位輸出CiAiBiCi+1SiCi00000001100101001101100101010111001111119一位加法器邏輯表達式注意：邏輯表達式可以變形，故電路形式不是唯一的。i+1iiiiiCBABAC)(+=i+1iiiCBAS=10典型門 電路 &AB1AB1AB1A&AB1AB1AB與非或非非與或異或異或非11一位全加器邏輯電路實現FASiAi BiCi+1Ci一位全加器一位全加器時間延遲i+1iiiiiCBABAC)(+=Ci+1 Ai BiSiCiFA12CCn+1CnC2C1C0 x0 y0 x1 y1 xn-1 yn-1 x

5、n yns0 s1 sn-1 snCn-1001n-1nV雙符號補碼加/減器電路實現MM由匯編語言中的加法指令add,以及sub等產生1、N個合起來； 2、M控制加減；3、 串行行波加法器13快速加法器o 能否提前產生各位的進位輸入o 使得各位的加法運算能并行起來o 提高多位加法器運算速度14并行加法器進位鏈o Si=XiYiCi+1o Ci=Ci+1(XiYi)+XiYio Gi = XiYi o Pi=XiYiGi 進位產生函數/本地進位Pi進位傳遞i函數,進位傳遞條件o Ci = Gi+PiCi+115并行加法器進位鏈oCn = XnYn+(XnYn)Cn+1=Gn+PnCn+1oCn-

6、1 = Xn-1Yn-1+(Xn-1Yn-1)Cn=Gn-1+Pn-1CnoCn-2 = Xn-2Yn-2+(Xn-2Yn-2)Cn-1=Gn-2+Pn-2Cn-1oC2 = X2Y2+(X2Y2)C3=G2+P2C3ooC1 = X1Y1+(X1Y1)C2=G1+P1C2高位的運算依賴于低位運算進位的產生，計算不能并行16并行加法器進位鏈oCn = XnYn+(XnYn)Cn+1=Gn+PnCn+1oCn-1 = Gn-1+Pn-1Cn = Gn-1+Pn-1 (Gn+PnCn+1) = Gn-1+Pn-1 Gn+Pn-1PnCn+1oCn-2 =Gn-2+Pn-2Cn-1= Gn-2+Pn

7、-2(Gn-1+Pn-1 Gn+Pn-1PnCn+1) = Gn-2+Pn-2Gn-1+Pn-2Pn-1 Gn+Pn-2Pn-1PnCn+1oC2 = G2+P2G3+P2P3G4 +P2 P3 PnCn+1C1 = G1+P1G2+P1P2G3 +P1P2P3G4+P1 P2 PnCn+117X4 Y4G4 P4X3 Y3G3 P3X2 Y2G2 P2X1 Y1G1 P1C1C2C3C4C518先行進位電路CLA74182 先行進位的多功能算術/邏輯運算單元ALU74181G1 P1G2 P2G3 P3G4 P4與門異或門電路CLA74182G1 P1G2 P2G3 P3G4 P4C1 C2

8、 C3 C4 X1 Y1X2 Y2X3 Y3X4 Y4C5 S1 S2 S3 S4 Si=Xi Yi Ci+119C516位組內先行進位，組間串行進位 ALU74181 X1Y1X2Y2X3Y3X4Y4C5P1* G1*C1S1S2S3 S4 ALU74181 X1Y1X4Y4P1* G1*C1S1 S4 ALU74181 X5Y5X8Y8C9P2* G2*S5 S8 ALU74181 X9Y9X12Y12C13P3* G3*S9 S12 ALU74181 X13Y13X16Y16C17P4* G4*S13 S16C1 = G1+P1G2+P1P2G3 +P1P2P3G4+P1 P2 PnCn

9、+1成組進位發生輸出G1* ,成組進位傳送輸出P1*2016位組內先行進位，組間先行進位 P* G* P1 G1 C2 P2 G2 C3 P3 G3 C4 P4 G4 CLA （74182）C5C1C5 ALU74181 X1Y1X4Y4P1* G1*S1 S4 ALU74181 X5Y5X8Y8C9P2* G2*S5 S8 ALU74181 X9Y9X12Y12P3* G3*S9 S12 ALU74181 X13Y13X16Y16C17P4* G4*S13 S16C1332/64位?21Outlineo 定點補碼加/減法運算o 定點乘法運算o 浮點運算o 運算器組織o 運算器部件舉例223.

10、2 定點乘法運算o 原碼乘法運算方法o 原碼乘法運算實現o 補碼乘法運算方法o 補碼乘法運算實現23a3b1a2b1a1b1a0b1a4b1a3b2a2b2a1b2a0b2a4b2a3b3a2b3a1b3a0b3a4b3a3b4a2b4a1b4a0b4a4b4a4b0a3b0a2b0a1b0a0b0p9p8 p7 p6p5p4 p3 p2 p1p0p 多位乘法必須先計算一位乘法，然后累加求和24乘法運算實現方法o 執行乘法運算子程序實現乘法運算o 設置專用乘法器實現乘法運算o 借助加法器配置相應部件實現乘法運算25乘法器 一位乘法電路實現S=X*YiiYXOutput=一個與門就可以實現一位乘

11、法111001010000OutputYiXi26o 符號位直接異或即可得到乘積的符號o 僅僅需要考慮其數值部分的計算o 以定點小數為例進行討論多位原碼乘法27相加數產生部件a4b4a1b0a0b0 A = 0. a4 a3 a2 a1 a0 B = 0. b4 b3 b2 b1 b0p 經過一級門電路延遲，即可得到所有的相加數28a3b2a2b2a1b2a0b2a4b2a3b3a2b3a1b3a0b3a4b3a3b4a2b4a1b4a0b4a4b4a4b0a3b0a2b0a1b0a0b0p8 p2 p1p05位無符號數陣列乘法器電路00a1b1a0b1a3b1a2b1a4b1 p6 p7 p

12、30p40p50COUT COUT COUT p9COUT29p8 p2 p1p05位無符號數陣列乘法器電路a3b2a2b2a1b2a0b2a4b2a3b3a2b3a1b3a0b3a4b3a4b0a3b0a2b0a1b0a0b0a1b1a0b1a3b1a2b1a4b1 p6 p7 p3p4p5p900a3b4a2b4a0b4a4b4a1b400030nn位原碼乘法器框圖相加數產生部件A = af. an1 an2a1 a0B = bf. bn1 bn2b1 b0nn乘法陣列an1bn1a1b0a0b0Pf=1.P2n1P2n2P2n3P1P031p8 p2 p1p0a3b2a2b2a1b2a0

13、b2a4b2a3b3a2b3a1b3a0b3a4b3a4b0a3b0a2b0a1b0a0b0a4b1 p6 p7 p3p4p5p90a3b4a2b4a0b4a4b4a1b4a1b1a0b1a3b1a2b100004*5個全加器, 8個全加器延遲32原碼陣列乘法器時間延遲o n(n-1)個FAo 延遲時間n (n-1)FA +(n-1)FAn 每一個FA包含三級門電路延遲To 故總延遲為n 2(n-1)*3T T(相加數產生時間)33補碼乘法器原理圖 B補 = bf. bn1 b1 b0乘法陣列（同前nn陣列）2n位求補器數值同原碼相加數積絕對值P2n1P1P0（補碼乘積）Pf. A補 = af

14、. an1 a1 a0相加數產生電路（同前）n位求補器n位求補器34乘法運算實現方法o 執行乘法運算子程序實現乘法運算o 設置專用乘法器實現乘法運算o 借助加法器配置相應部件實現乘法運算n 原碼一位乘法的運算方法與邏輯實現n 補碼一位乘法的運算方法與邏輯實現35a3b2a2b2a1b2a0b2a4b2a3b3a2b3a1b3a0b3a4b3a3b4a2b4a1b4a0b4a4b4a4b0a3b0a2b0a1b0a0b0p8 p2 p1p05位無符號數陣列乘法器電路00a1b1a0b1a3b1a2b1a4b1 p6 p7 p30p40p50COUT COUT COUT p9COUT36a3a2a

15、1a0a400000a3a2a1a0a4a4a3a2a1a0p8 p2 p1p05位無符號數陣列乘法器電路0000000 p6 p7 p30p40p50COUT COUT p9COUT 0.p9p8p7p6p5p4p3p2p1p0 0.a4a3a2a1a0 x 0.1 0 1 0 1 COUT 37a3a2a1a0a400000a3a2a1a0a4a4a3a2a1a0p8 p2 p1p05位無符號數陣列乘法器電路0000000 p6 p7 p30p40p50COUT COUT COUT p9COUT=XYn +=XYn-1 右移一位+=XYn-2 右移一位+=XYn-3 右移一位38部分積累加

16、的數學表示部分積=XYn部分積=XYn-1+XYn 2-1部分積=XYn-2+(XYn-1+XYn*2-1)2-1 =XYn-2+XYn-12-1 + XYn2-2 =XY12-1+XY22-2+XYn2-nX*Y=XY12-1+Y22-2+Yn2-n39開始i = 0, 0Yn=1 + 0 + X Y右移一位i+1i i = nX0Y0P0結束YNNY40例子o 已知X=0.1101 Y=-0.1011o 計算X原Y原4100.000000.1101+00.110100.011000.1101部分積01.0011 100.1001 1100.000000.1001 1100.0100 111

17、00.110101.0001 11100.1000 1111乘數1Y0Y0.1011Y0.101Y0.10判斷位說明P0=0Y4=1,+|X|右移一位得P1Y4=1,+ |X|右移一位得P2Y4=0,+0右移一位得P3Y4=1,+ |X|右移一位得P4=|X|Y|+Y0.1+42原碼乘法邏輯結構 R0+1計數器移位控制加法器X0 被乘數XR2 R0 部分積計 數 器 R1 乘數Y Yn= +YnX控制電路430 1 0 1 1部分積R0乘數R1Yn 判斷位0 1 0 1 11 0 1 0 11 1 0 1 01 1 1 0 1 + + + + + + + + 1 1 1 1 00 0 0 0

18、00 1 1 0 10 1 1 0 10 0 1 1 00 1 1 0 11 0 0 1 10 1 0 0 10 0 0 0 00 1 0 0 10 0 1 0 00 1 1 0 11 0 0 0 10 1 0 0 044部分積累加的數學表示部分積=XYn部分積=XYn-1+XYn*2-1部分積=XYn-2+(XYn-1+XYn*2-1)2-1 =XYn-2+XYn-12-1 + XYn*2-2 =XY1*2-1+XY2*2-2+XYn*2-nX*Y= XY1*2-1+Y2*2-2+Yn*2-n45補碼一位乘法1) 被乘數X符號任意，乘數Y為正X補=X0.X1X2Xn Y補=0.Y1Y2Yn

19、X補Y補=(2+X) Y =(2n+1+X) Y =2n+1Y+XY =2 2n 0.Y1Y2Yn+XY =2(Y1Y2Yn)+XY =2+XY =X Y補X Y補= X補Y補46補碼一位乘法1) 被乘數X符號任意，乘數Y為負數X補=X0.X1X2Xn Y補=1.Y1Y2Yn Y補=2+Y Y= Y補-2 =0.Y1Y2Yn-1X Y補=X (0.Y1Y2Yn - 1) 補 =X 0.Y1Y2Yn - X 補 =X 0.Y1Y2Yn補- X補 =X補 0.Y1Y2Yn- X補 =X補 0.Y1Y2Yn - Y0X 補47補碼一位乘法X Y補=X補 0.Y1Y2Yn-Y0 X 補 =X補(-Y0

20、+0.Y1Y2Yn) =X補(-Y0+Y12-1+Y22-2+Yn 2-n) =X補-Y0+(Y1-Y12-1)+(Y22-1-Y22-2)+(Yn2-n+1-Yn2-n) = X補Y1-Y0+(Y2-Y1)2-1+(Y3-Y2)2-2+(0-Yn)2-noXY= X Y12-1 + Y22-2 + Yn2-n原碼乘法 48開始i = 0, 0 Yn Yn+1=? + X補 + X補結束011000或11YN不變、Y補右移一位i + 1i=n+149例子o 已知X=1.0101 Y=1.0011計算X補Y補解： -X補=0.10115000.000000.1011+00.101100.0101

21、00.0000部分積00.0101 100.0010 1111.010111. 0111 1111.1011 11100.000011.1011 11111.1101 111100.1011乘數11.01.001101.00111.001判斷位說明Yn+1=0YnYn+1=10,加X補右移一位得P1末2位為11,+ 0右移一位得P2末2位為01 +X補右移一位得P3末2位為00 +0右移一位得P4末2位為10 -X補+1.00+00.1000 111151補碼一位乘法邏輯結構移位控制 R1乘數Y補YnYn+100/11 0110&1=1YnYn+1R2 被乘數X補加法器CR0部分積=2

22、-1 +(Yn+1-Yn) X補52o 定點補碼加/減法運算o 定點乘法運算o 浮點運算o 運算器組織o 運算器部件舉例Outline53浮點加減法運算計算X+Y=? 求解： 如：Ex=Ey S=2Ex (Mx+My) 如：ExEy ?假設：54對階o 對階(使得小數部分可以按位權值按位相加)o 大階對小階還是小階對大階？210*(0.11000)+28*(0.00110)大階對小階 210*(0.11000)-28*(11.000) 11.000+0.00110 ? 小階對大階 28*(0.00110)-210*(0.00001) 0.00001+0.11000=0.11001o 對階過程應

23、該是小階對大階 尾數右移55尾數運算Ex=Ey 滿足后 S=2Ex(Mx+My)56運算結果規格化o 210*(0.11000) 也可表示為 211*(0.01100)o 為提高精度，尾數不為零的時，要求其絕對值大于1/2，即尾數最高有效位為1，否則要以修改階碼的方式同時左右移小數點，使其變成這一要求的表示形式，這個過程稱為浮點數的規格化o 同一個浮點數的編碼唯一o 將運算結果右移以實現規格化表示稱為向右規格化，右歸o 將運算結果左移以實現規格化表示稱為向左規格化，左歸57規格化形式o 規格化數形式 0.1XXXX -0.1XXXXo 補碼規格化形式 00.1XXXX 11.0XXXXo 補碼

24、非規格化數 00.0XXXX 11.1XXXX 01.XXXXX 10.XXXXX58o00.0XXXX - 00.1XXX0 左規o11.1XXXX - 11.0XXX0 左規o01.XXXXX - 00.1XXXX 右規o10.XXXXX - 11.0XXXX 右規 規格化方法59向左規格化1 1 1 0 0 0 0 11 1 1 0 0 0 0 11 1 0 0 0 0 1 00 0 0 0 1 0 0 10 0 0 0 1 0 0 10 0 1 0 0 1 0 0600 1 1 0 0 0 1 10 1 1 0 0 0 1 10 0 1 1 0 0 0 11 0 1 0 0 0 1 1

25、1 0 1 0 0 0 1 11 1 0 1 0 0 0 1向右規格化61規格化規則小結o 運算結果產生溢出時，必須進行右歸o 如出現10.XX或者01.XXXo 如結果出現00.0XXX或11.1XX必須左歸o 左歸時最低數據有效位補0o 右歸時連同符號位進位位一起右移o 左歸時，階碼作減法，右歸時，階碼作加法62舍入處理0 1 1 0 0 0 1 10 0 1 1 0 0 0 1 163溢出處理o 尾數上溢 右歸o 尾數下溢 左歸o 階碼上溢 正無窮和負無窮o 階碼下溢 064浮點數加減法o 五個基本步驟n 對階n 尾數求和n 規格化（左規，右規）n 舍入（截去、0舍1入）n 檢查溢出65

26、例1 兩浮點數x = 21010.11011011，y = 2111(-0.10101100)。假設尾數在計算機中以補碼表示，可存儲10位尾數，2位符號位，階碼以補碼表示，雙符號位,求x+y。解：將x,y轉換成浮點數據格式 x浮 = 00 101, 00.11011011 Y浮 = 00 111, 11.01010011+1 00 111, 11.01010100步驟1：對階，階差為Ex-Ey -Ey=11000111001 Ex-Ey0010111001111102 0 Ex-Ey0 ExEy 小階對大階， X階碼加2 X尾數右移2位66 x浮 = 00 111, 00.00110110(1

27、1) 步驟2：尾數求和 X+Y浮 = 00 111, 00.00110110(11) + 00 111, 11.01010100 = 00 111, 11.10001010(11)67步驟3：計算結果規格化 X+Y浮 為非規格化數，左歸一位, 階碼減一， 00110, 11.00010101(1)步驟4：舍入處理 X+Y浮 = 00 110, 11.00010110 (0舍1如法) X+Y浮 = 00 110, 11.00010101 (截去法) 步驟5：溢出判斷 無溢出 X+Y浮 = 2110 x (-00.11101011)68浮點數乘法運算如：X=2m Mx Y=2n My X Y=2m

28、 Mx ( 2n My ) =2m+n (Mx My)69浮點數乘法運算(1) 階碼相加階碼相加可能產生溢出，若產生溢出，則給出溢出指示，計算機進行溢出處理。(2) 尾數相乘尾數部分相乘可得積的尾數，尾數相乘可按定點乘法運算的方法進行運算。(3) 結果規格化當運算結果需要進行規格化操作時，可按浮點加/減法運算規格化方式處理，舍入方式也與加/減法方式中的相同。70Outlineo 定點補碼加/減法運算o 定點乘法運算o 浮點運算o 運算器組織o 運算器部件舉例71運算器功能o 數據進行算術運算和邏輯運算o 暫存參加運算的數據及運算的中間結果o 選取相應部件中的數據參與運算o 反映運算處理的狀態7

29、2算術邏輯運算單元ALUALUResultOverflowabALU operation73寄存器組 Q D Q D Q D R0 Q D Q D Q D R1 Q D Q D Q D Rn LDR0 LDR1 LDRn 74 多路選擇電路 OUT(i) R0(i) R1(i) R2(i) R3(i) R3OUT R2OUT R1OUT R0OUT &175CLAADD 30STA 40NOPJMP 21000 006000 00420212223243040ALU運算器結構PSWAXBXCXDXDR左路開關選擇右路開關選擇數據總線DBUS移位器操作數X操作數Y76ALUSRBUS狀態

30、寄存器ABALUBUS鎖存器LA鎖存器LB選擇電路R0R1RnBUSbusLDLALDLBLbusRiLLDR0LDRnbusLBUSbusbusBUS77Outlineo 定點補碼加/減法運算o 定點乘法運算o 浮點運算o 運算器組織o 運算器部件舉例78o 先行進位的多功能算術/邏輯運算單元運算部件舉例ALU74181Cn+4S3S2S1S0A3A2A1A0B3B2B1B0CnMA=BPGSN741814位ALUF3F2F1F018 20 22 119 21 23 2781415171311109163456C079先行進位電路CLA74182先行進位電路74182P4G4 P3G3 P2

31、G2 P1G1C0 C4 C3 C2 C1P*G*80是否可以如下連接? 16位組內先行進位，組間先行進位 ALU74181 X16Y16X15Y15X14Y14X13Y13C12P16 * G16 * ALU74181 X12Y12 X11Y11 X10Y10X9Y9C8P12 * G12 * ALU74181 X8Y8X7Y7X6Y6 X5Y5C4P8 * G8 * ALU74181 X4Y4X3Y3X2Y2 X1Y1C0P4* G4 * P* G* P4 G4 C3 P3 G3 C2 P2 G2 C1 P1 G1 CLA （74182）C0C481成組進位o C4 = G4+P4G3+P4P3G2+P4P3P2G1+P4P3P2P1C0o G4 *= G4+P4G3+P4P3G2+P4P3P2G1n 成組進位發生輸出o P4 *= P4P3P2P1n 成組進位傳遞函數o C4 = G4*+P4*C0 82兩