1、用不動點法求數列的通項定義：方程f(x) x的根稱為函數f(x)的不動點利用遞推數列f (x)的不動點，可將某些遞推關系anf (an 1)所確定的數列化為等比數列或較易求通項的數列，這種方法稱為不動點法1：若f(x) ax b(a 0,a1), p是f(x)的不動點，an滿足遞推關系anf (an 1), (n 1)，則 anpa(an 1 p)，即an p是公比為a的等比數列.證明:因為p是f(x)的不動點ap 由 ana an 1 b 得 an p aan 1 b p a(an 1 p)所以anp是公比為a的等比數列.定理2:設 f(x) axbcx 詐 0，ad bc 0)，an滿足遞

2、推關系an f (an1), n 1，初值條件aif(ai )(i)：若af (x)有兩個相異的不動點p, q，則anan 1an 1p(這里qa pc)a qc(2)：若f (x)只有唯一不動點 p，則(這里k2c證明:f(x) x得f(x) cx4(1)因為p,q是不動點，所以2cp2cqan(d(d所以2 cx(da)xananaan 1 b can 1 d b daan icanpc a qc則並an(2)(apc)ana)p ba)q bb pd(a qc)an 1 b qdkan 1pan 1qanpca qcan因為p是方程cx2 (da)x b 0的唯一解，所以cp2pd b

3、a pc qd b a qcpd1a pc qd b1a qc(d a)p所以pc a. 1 p a qc a. 1 q所以b2pd cpap ,p 電丄所以2canaan 1 b can 1 d(a cp)an 1 b pdC3n 1(a cp)an 1 cp2 apcan 1 d(a cp)(an 1 p)dC3n 1所以ana cpcan 1an 1上乞，則a d an pan設an滿足a11,an 1例2:數列an滿足下列關系:定理23:設函數f(x) 仝a cpexc(an 1 P)an 1 Pd cpcpan 2,nana1 2a, anbx c (a，求數列22a ana cpa

4、 cpan 1 P2can 1 P a dan的通項公式,a 0，求數列an的通項公式0,e0)有兩個不同的不動點x1,x2 ,且由b 0,e證明：xk是f (x)的兩個不動點axkbXkXk-£-即cXkf(e a)Xk2bXk (k1,2)exk fUn 1x-!aUn2 bUn cX(eUnf)aUn2 (bex) Uc x faUn2 (bex)Un(ea)x12bx.(Un 1X2 aUn2 bUn c%2仙f)aUn2 (bexDUc x? faUn2 (bexUn(ea)x22bx2f (Un)確定著數列Un,那么當且僅當Un 1Un 1 x-j2a時，亠 1Un 1

5、X2嚴為JUnX2于是,1 %0方程組有唯一解b 0,e 2a1 X2a 2 2 *例3：已知數列an中,a1 2,an 1 n ,n N，求數列an的通項2an，還可以解決如下問題：其實不動點法除了解決上面所考慮的求數列通項的幾種情形例4：已知a10, a11且an 142,an6a n 1- 才，求數列an的通項4an (an1)解：作函數為f(x)x4 6x24x(x21)1，解方程f (X) X得f (X)的不動點為Xi1, X21,X3AX。込取p331,q1 ,作如下代換:逐次迭代后，得:an4n 14n 1 1)4(a1 1)444n 1(a1 1)(a1 1)已知曲線 Cn :

6、x2 2nx y20(n1,2,K ).從點P( 1,0)向曲線Cn引斜率為 厶(心 0)的切線In，切點為 巳(Xn°n) (1)求數列Xn與丫.的通項公式;(2)證明:Xi X3 X5X2n 11Xn1 Xn2s in'Yn設P,q為實數,是方程X2 pxq 0的兩個實根，數列 Xn滿足X12X2p q,XnpXnqXn 2 ( n 3,4,).(1)證明:q ； (2)求1若p 1, q，求xn的前n項和Sn .4已知函數f(x) X2 X 1 , 是方程f (x)0的兩個根(嚴召n 1,2,L ).f (an)數列Xn的通項公式；(3)導數，設 a11, an 1an(1)(2)求，的值；證明：對任意的正整數n，都有an),f (X)是 f (x)的(3)記 bnIn an(nan1,2,L )，求數列bn的前n項和Sn13陜西文 21 .(題滿分12分)已知數列an滿足，an an 1a1=1>a22，% 尸 a，n令bn an 1 an ,證明:bn是等比數列;(n)求an的通項公式。山東文20.(本小題滿分12 分)等比數列 an