1、精選文檔奧數長方體和正方體長方體和正方體 習題六班級奧數上冊：第五講 長方體和正方體 習題解答28.正方體的開放圖把一個正方體的各面開放放在桌面上，下圖就是正方體的一個開放圖形，試問，一個正方體有幾種開放圖。28.正方體的開放圖共有11種：把四個面排成一排的有6種29.長方體的體積阿強做一道求長方體體積的數學題。當他算完長乘以寬以后，發覺寬厚30.長方體和正方體一個棱長 5 厘米的立方體是由棱長 1 厘米的小立方體若干個堆砌而成的。假如小立方體增加3個，可以堆砌出多少種長、寬、高都不相同的長方體？假如小立方體削減5個，可以堆砌出多少種長、寬、高都不相同的長方體？30.長方體和正方體解：555=

2、1251253128271125-51202331511依據約數個數公式，128有（71）8個約數它們是1，2，4，8，16，2，64，128。120有（31）（11）（11）=16個約數，它們是：1，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120。有大、中、小三個正方形水池，它們的內邊長分別為4米、3米、2米，把兩堆碎石分別沉沒在中、小水池的水中，兩個水池的水面分別上升了4厘米和11厘米假如將這兩堆碎石都沉沒在大水池中，大水池水面將上升多少厘米？解：水池中水面上升部分水的體積就是投入水中的碎石體積沉入中、小水池中的碎石的體積分別是：330.040.36立方米，22

3、0.110.44立方米它們的和是：0.360.440.8立方米把它們都沉入大池里，大池水面上升部分水的體積也應當是0.8立方米，而大池的底面面積是4416平方米，所以，大水池的水面上升：六班級奧數上冊：第五講 長方體和正方體 習題六班級奧數上冊：第五講 長方體和正方體 習題解答第五講 長方體和正方體長方體和正方體在立體圖形中是較為簡潔的，也是我們較為生疏的立體圖形如下圖，長方體共有六個面（每個面都是長方形），八個頂點，十二條棱。 在六個面中，兩個對面是全等的，即三組對面兩兩全等（疊放在一起能夠完全重合的兩個圖形稱為全等圖形兩個全等圖形的面積相等，對應邊也相等）長方體的表面積和體積的計算公式是：

4、長方體的表面積：S長方體2（abbcac）；長方體的體積：V長方體abc正方體是各棱相等的長方體，它是長方體的特例，它的六個面都是正方形假如它的棱長為a，那么：=6，=例1 有一個長方體，它的底面是一個正方形，它的表面積是190平方厘米，假如用一個平行于底面的平面將它截成兩個長方體，則兩個長方體表面積的和為240平方厘米，求原來長方體的體積解：設原來長方體的底面邊長為a厘米，高為h厘米，則它被截成兩個長方體后，兩個截面的面積和為2平方厘米，而這也就是原長方體被截成兩個長方體的表面積的和比原長方體的表面積所增加的數值，因此，依據題意有：1902240，可知，25，故a5（厘米）又由于24ah19

5、0， 解得 =7（厘米）所以，原來長方體的體積為：Vh257175（立方厘米）例2 如下圖，一個邊長為3a厘米的正方體，分別在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一個截口是邊長為a厘米的正方形的長方體（都和對面打通）假如這個鏤空的物體的表面積為2592平方厘米，試求正方形截口的邊長。 解：原來正方體的表面積為：63a3a69（平方厘米）六個邊長為a的小正方形的面積為：6aa6（平方厘米）；挖成的每個長方體空洞的側面積為：3aa412（平方厘米）；三個長方體空洞重疊部分的校長為a的小正方體空洞的表面積為：aa44（平方厘米）依據題意：6963（124）2592，化簡得：546242592，解得

6、36（平方厘米），故a6厘米即正方形截口的邊長為6厘米例3 有一些相同尺寸的正方體積木，預備在積木的各面上粘貼玩耍所需的字母和數目字但全部積木的表面總面積不夠用，還需增加一倍，請你想方法，在不另添積木的狀況下，把積木的各面面積的總和增加一倍。 解：把每一塊積木鋸三次，鋸成8塊小立方體（如上圖）這樣，每鋸一次便得到兩個大截面，使表面積增加（倍），鋸三次使截面增加3=1（倍），因此全部小積木的表面總面積就比原積木表面總面積增加了一倍。例4 有大、中、小三個正方形水池，它們的內邊長分別為4米、3米、2米，把兩堆碎石分別沉沒在中、小水池的水中，兩個水池的水面分別上升了4厘米和11厘米假如將這兩堆碎石都

7、沉沒在大水池中，大水池水面將上升多少厘米？解：水池中水面上升部分水的體積就是投入水中的碎石體積。沉入中、小水池中的碎石的體積分別是：330.040.36立方米，220.110.44立方米它們的和是：0.360.440.8立方米把它們都沉入大池里，大池水面上升部分水的體積也應當是0.8立方米，而大池的底面面積是4416平方米，所以，大水池的水面上升： 0.816=5（厘米）例5 下圖是正方體的開放圖之一，當用它組成立方體時，圖中的哪一邊與帶記號的邊相接觸呢？ 解：對于這個問題，考慮將各面拼湊成正方體是一種方法，但如只考慮邊的連接會更簡潔：首先和G連接，其次H和I連接，且X、Y、Z三點重合為正方體

8、的一個頂點，因此與連接的是K邊例6 下圖是正方體的11種開放圖和2種偽裝圖（即它們不是正方體的開放圖）請你指出偽裝圖是哪兩個？ 解：無論哪一個圖中都有六個小正方形，都好像有道理，但當我們把相鄰兩邊逐一拼合后，不能變成正方體的是（10）和（12），這兩個圖形，都是有五面在拼合時不成問題，但是最終一面總是擠在外面而成不了正方體例7 如下面的各圖中均有若干個六面體，每小題圖中的幾個六面體上A、B、C、D、E、F六個字母的排列挨次完全相同（即每個小題中六面體上刻字母的方式是完全一樣的）試推斷各小題的圖中A、B、C三個字母的對面依次是哪幾個字母？ 解：（1）由圖中可知，A與B、C、E、F都相鄰，故A的對

9、面是D。E、F的位置可按右手關系得出，伸出右手，伸直大拇指按（1）中右圖所示，讓四指方向從A轉動而指向F，此時大拇指正好指向E（向上）。假如，推斷為F在C對面，由（1）中左圖所示，讓四指的方向從A向F，此時大拇指指向B，與（1）中右圖沖突，故F在B的對面，E在C的對面。（2）（6）按A、B、C挨次給出對面的字母：（2）E、D、F；（3）F、E、D；（4）D、F、E；（5）E、D、F；（6）F、E、D例8 有一塊正方體的蛋糕用刀子將它一刀切成兩半，為了使切口成正六邊形，應當怎樣切呢？解： 一般地，依據平常習慣的切法切下去，得到的切口成為上圖中（1）的正方形或者像（2）、（3）那樣的長方形假如斜切

10、下去時樣子就不一樣了，比如像（4）那樣，以打算切的頂點作一方，將不相鄰的某一邊的中點作另一方，沿它的連接線來切，切口變成菱形假如再進一步，連接相鄰邊的中點，沿著它的連線來切，如上圖中（5）所示，由于切口的各邊都是連接邊和邊的中點的直線，所以長度都相等，相鄰邊夾角也相等，邊數是六，故是正六邊形。習題五一、填空題：1一塊矩形紙板，長8厘米，寬6厘米，把它折成底面為正方形的長方體的側面，則這個長方體的底面面積為_平方厘米2有一個棱長為6厘米的正方體木塊，假如把它鋸成棱長是2厘米的正方體若干塊，表面積增加了_平方厘米3把一根2米長的方木鋸成兩段，表面積增加 288平方厘米，原來這根方木的體積是_立方厘

11、米4把棱長為a厘米的兩個正方體拼成一個長方體，長方體的表面積是5把棱長1厘米的正方體2100個，堆成一個實心的長方體，它的高是10厘米，長和寬都大于高，這個長方體的長與寬的和是_厘米二、選擇題：1一個正方體的體積是343立方厘米，它的全面積是_平方厘米（A）42 （B）196 （C）294 （D）3922把棱長為3分米的正方體鋸成兩個長方體，這兩個長方體表面積的和是_平方分米（A）54 （B）72 （C）108 （D）以上都不對3如下圖，一個木制的正方體的棱長為2分米，每個面的正中有一個正方形的孔通到對邊，邊長為1分米，孔的各棱平行于正方體相對的棱，那么這個鏤空幾何體的總表面積的平方分米數是_

12、 （A）24 （B）30 （C）36 （D）424如下頁圖立方體的每個角都被切下去（圖中僅畫了兩個）問所得到的幾何體有_條棱？ （A）24（B）30 （C）36 （D）425立方體各面上的數字是連續的整數（如圖）假如每對對面上的兩個數的和相等，那么，這三對數的和是_。 （A）75 （B）76 （C）78 （D）81三、解答題：1一個木盒從外面量長10厘米，寬8厘米，高5厘米，木板厚1厘米問做這個木盒最少需要1厘米厚的木板多少平方厘米？這個木盒的容積是多少立方厘米？2將一個長9厘米，寬8厘米，高3厘米的長方體木塊鋸成若干個小正方體（鋸痕寬度忽視不計），然后再拼成一個大正方體，求這個大正方體的表面

13、積3一個邊長為6厘米的正方體鐵盒裝滿了水，將水倒入一個長9厘米，寬8厘米的長方形水槽內，若鐵皮厚度不計，求水深4把19個邊長為2厘米的正方體重疊起來，作成如下圖那樣的組合形體，求這個組合形體的表面積 5將表面積為54平方厘米、96平方厘米、150平方厘米的三個鐵質正方體熔鑄成一個大正方體（不計損耗）求這個大正方體的體積和表面積6用字母標出一個正方體的各面，下圖中是三個不同方位的這一個正方體，問字母A、B、C的對面是什么字母？ 7下圖是一個正方體及其兩個開放圖這個正方體還有九種不同的開放圖（下圖），請把這九個開放圖填上相應的數字（留意數字的方向） 8下左圖中的立方體，被兩個平面所截，你能在這個正

14、方體的開放圖中畫出相應的截線嗎？（下右圖） 9在下頁圖所示的12個開放圖中，哪些可以做成沒有頂蓋的五個面的小方盒？ 10下頁圖是一張35的方格紙，在保持每個方格完整的條件下，將它剪成三部分，使每部分都可以折成一個棱長為1的沒有頂蓋的小方盒，怎樣剪？ 1、一個長方體木塊，從下部和上部分別截去高為3厘米和2厘米的長方體后， 便成為一個正方體，表面積削減了120平方厘米，原來長方體的體積是（）立方厘米 2、（1）有一個正方體，假如高增加4cm，就成為一個長方體，這個長方體的表面積正好比原正方體的表面積增加80平方cm，求原正方體的體積。（2）一個長方體的高假如增加2cm，就成為一個正方體，這時表面積

15、就比原來增加了48平方cm。原來長方體的體積是多少？ 3、一個長方體的各條棱長的和是48厘米，并且它的長是寬的2倍，高與寬相等，那么這個長方體的體積是_ 立方厘米 4、一個長方體的表面積是33.66平方分米，其中一個面的長是2.3分米，寬是2.1分米，它的體積是_立方分米.（結果以分數形式消滅） 5、在棱長為3cm的正方體木塊的每個面的中心上打一個直穿木塊的洞，洞口呈邊長為1cm的正方形，求挖洞后木塊的體積。 6、假如從長為13厘米，寬為9厘米的長方形硬紙板的四角去掉邊長為2厘米的正方形，然后沿虛線折疊成長方體容器這個容器的體積是多少立方厘米? 7、一個長方體的棱長總和是48cm，己知長是寬的

16、1.5倍，寬是高的2倍，求它的體積。 8、一個正方體木塊的表面積是96平方cm，把它鋸成體積相等的8個正方體小木塊，每個小木塊的表面積是多少？六班級奧數題及答案 1、解答：所成立方體的棱長為：120(3+2)4=6(厘米)，所以原長方體的體積為：66(6+3+2)=396(立方厘米)。 2、（1）解答：設原正方體的邊長為A，依據題意得：4x4*A=80，解得：A=5，所以原體積為A*A*A=125立方厘米。（2）解：設成了正方體后的棱長為A；則原來的長方體的高為A-2，長為A，寬為A。依據題意6*A*A4*（A-2）*A+2*A*A=48解得：A=6（或者這樣理解：增加的表面積為四個側面的，所

17、以四個增加的側面積為：4x2xA=48，所以A=6）所以原長方體的長為6，寬為6，高為6-2=4，所以體積為6x6x4=144立方厘米。 3、解答：依題意，這個長方體的長、寬、高之和是484=12(厘米)，于是它的寬與高都等于12(2+1+1)=3(厘米)，它的長是32=6厘米所以這個長方體的體積是633=54(立方厘米) 4、解答：長方體的高是：(33.66-2.12.32)2(2.1+2.3)= 30/11(分米)，長方體的體積是2.12.3 =(立方分米) 5、解答：33 -12 33+213 =20cm3 。 6、解答：容器的底面積是：(134)(94)=45(平方厘米)，高為2厘米，

18、所以容器的體積是：452=90(立方厘米)。 7、解答：設高為A，所以寬為2A，長是1.5*2A=3A依據題意可得：4x（A+2A+3A）=48，得：A=2，所以，高=A=2，寬=2A=4，長=3A=6所以原體積為：2*4*6=48立方厘米。 8、解答：設原正方體的棱長為A，所以得：6xAxA=96 ，解得A=4厘米，所以棱長為4厘米。則體積為4x4x4=64立方厘米。鋸成了8個相等的體積后，每個為64/8=8立方厘米。設小正方體的棱長為B，所以BxBxB=8，解得：B=2厘米。所以每個小方體的表面積為：6xAxA=6x2x2=24平方厘米。此類題目的關鍵抓住底面積不變，變的只是四個側面）1.

19、在平行四邊形ABCD中，三角形AOD的面積為12平方厘米，三角形BOC的面積是平行四邊形面積的1/5，求平行四邊形的面積 考點：平行四邊形的面積分析：依據題意可知，三角形BOC和三角形AOD的高等于平行四邊形ABCD的高，三角形的面積等于與它等底等高的平行四邊形的面積的一半，所以可用1/2平行四邊形的面積減去1/5平行四邊形的面積等于三角形AOD的面積，列式解答即可得到答案解答：解：設平行四邊形ABCD的面積為x平方厘米， 答：平行四邊的面積是40平方厘米點評：解答此題的關鍵是依據三角形BOC和三角形AOD的高等于平行四邊形ABCD的高確定三角形BOC和三角形AOD的面積等于平行四邊形ABCD

20、的面積的一半，然后再列式計算即可長方形ABCD的邊上有兩點EF，線段AF、BF、CE、BE把長方形分成若干塊，其中三個小木塊的面積標注在圖上，陰影部分的面積是多少平方米？ 考點：組合圖形的面積分析：所求的影陰部分，恰好是三角形ABF與三角形CBE的公共部分，而S1，S2，S3這三塊是長方形中沒有被三角形ABF與三角形CBE蓋住的部分因此，ABF面積+CBE面積+（S1+S2+S3）=長方形面積+陰影部分面積而ABF的底是長方形的長，高是長方形的寬；CBE的底是長方形的寬，高是長方形的長因此，三角形ABF面積與三角形CBE面積，都是長方形面積的一半解答：解：設長方形的面積為S，則SCBE=SABF=(1/2)S，由圖形可知，S+S陰影=SCBE+SABF+15+46