1、精選文檔風箏飛行中的數學力學原理摘要 紙花如雪滿天飛，嬌女秋千打四圍。 五色羅裙風搖擺，好將蝴蝶斗春歸。放風箏是一項古老而有意義的消遣活動，它的飛行也帶給了人們不少遐想，激發我們探究其中的數學力學原理。 風箏上升時一個動態過程我們首先爭辯了讓風箏上升的力學原理，風箏在空中時，空氣會分為上下流層，此時通過風箏下層的空氣受風箏面的堵塞，空氣的流速減低，氣壓上升，風箏就上揚，上層的空氣流通舒適，流速增加，致使氣壓降低，把風箏吸揚上去。 風箏的飛行是要受到風的推力，這就讓我們想到了思考風力的特征。通過空氣動力學的爭辯，進行與飛機的類比，我們得到風箏所受風力的特征是受空氣密度、升力系數、風箏的橫截面積、

2、風速的影響。并通過擬合得到了升力曲線。發覺在隨著迎角的增大，升力系數越大，但達到肯定程度后，升力系數趨于常數。之后，我們對風箏和風箏線分別進行了受力分析，爭辯其平衡狀態時的受力，認為風箏在平衡時水平方向為勻加速運動，經過分析，得到了高度和風箏的受風角度之間的函數關系，更加受力圖動態分析，發覺存在最大高度，使得假如連續放線，而幾乎不轉變風箏的高度，只是在水平距離上越來越遠，并且當受風角度趨于水平常風箏達到了最大高度，我們通過極限求解得到了最大高度h。風箏的穩定不僅僅是質心運動的穩定，還有運動方向的穩定。所以我們又考慮了力矩平衡，對風箏的穩定狀態做進一步的分析。發覺風箏受力的作用點的變化規律為迎角

3、增加時升力增量的作用點。關鍵詞：風箏飛行 受力平衡 升力系數 參數檢驗 一、問題重述風箏是我國最古老的一種民間藝術，是深受大家寵愛的消遣活動之一。在風箏展翅于藍天之上時，激發我們思考風箏飛行的原理，探究其中的奇特。隨著線放出的越來越長，線的自身重量的加大會使得風箏為了保持平衡而轉變其受風角度，線的重量和受風角度有著明顯的關系，這使得我們思考其關系并探究是否存在一個最大的高度（或線長），使得假如連續放線，而幾乎不轉變風箏的高度，只是在水平距離上越來越遠。二、問題分析風箏受到風的推動才能飛起來，而物體的運動轉變我們主要想通過考察風箏其瞬時的平衡狀態下的受力狀況和力矩狀況，查找風箏的受風角度與線長的

4、關系。首先，我們爭辯風箏上升的原理，再假定每一個瞬時其豎直方向都處于平衡狀態，通過對風箏和風箏線的受力分析，以及通過空氣動力學理論得到風力的表達式，最終得到拉力與受風角度以及線與水平方向夾角的關系，依據線性模型處理參數，將該函數關系具體化，來推導是否存在一個最大的高度，使若連續放線，風箏的高度幾乎保持不變，而只是在水平方向上越走越遠。三、模型假設1.假定風箏在各個時刻都在豎直方向近似處于平衡態。2.假定風速恒定。3.假定風箏的不同外形對該問題無較大影響。4.風箏與線之間無摩擦力。5.忽視風箏速度對空氣壓力的影響。6.假定重力加速度不隨高度變化。7.風箏在達到穩定狀態后水平方向為勻加速運動8.升

5、力系數為常數四、符號說明F空氣空氣總動力F拉繩對風箏的拉力空氣動力與豎直線的夾角線與水平線的夾角空氣密度s風箏橫截面積v風速F人人的拉力m風箏風箏的質量m線風箏線的質量GL 升力系數迎角五、模型的建立與求解5.1 風箏上升的原理風箏有各種各樣的秀麗外形，經過爭辯發覺，雖然風箏的外形對風箏的受力和力矩平衡有影響，但各類風箏的上升原理都是不變的，我們以平板狀的方形風箏為例進行爭辯。風箏升空，主要是靠風的推力升揚于空中。風箏的重量會使它往地面降落，之所以可以在空中漂移飛行，是受空氣的力氣支撐向上，這種力氣稱為揚力。風箏在空中時，空氣會分為上下流層，此時通過風箏下層的空氣受風箏面的堵塞，空氣的流速減低

6、，氣壓上升，風箏就上揚，上層的空氣流通舒適，流速增加，致使氣壓降低，把風箏吸揚上去，揚力即是由這種氣壓之差才產生的。風箏除受空氣的揚力之外，同時亦受到空氣往下壓的壓力，此壓力稱之為抗力，若抗力小于揚力時，風箏才能飛行于空中所以風箏提線的角度若放置下方時，抗力增加，風箏只會往遠處飛揚，若放置上方時，揚力增加，抗力削減，風箏才會往高處飄翔。圖2是平板狀的方形風箏在空中穩定時的受力示意圖。風吹在風箏表面上，產生一個垂直于風箏面的力F空氣，這個力可以分解為水平方向的分力F2和豎直方向的分力F1。F2的作用是使風箏遠離，F1即為揚力，同理，風箏線的拉力T也可以分解為水平和豎直兩個分力F拉1、F拉2。G為

7、風箏的重力。當風速較大時，力F較大，豎直方向滿足F1F拉2+G風箏上升。此時應當將風箏線放出，使水平方向滿足F2T1，風箏遠離。風箏上升到肯定高度和距離，風箏線重力大大增加，使得拉力F拉大大增加，而且風箏和豎直方向的角度減小，使得分力T2大大增加，當達到F1-F拉2-G0時風箏就不再上升，而是穩定在空中。風箏剛放飛時，地面四周風速經常較小，往往需要人為助跑來加大空氣動力F以滿足上升的條件，這里應用了相對運動的原理。5.2 風箏平衡的原理5.2.1受力平衡的分析當風箏飛行一段時間后，隨著風力影響下風箏飛行角度的變化，風箏的風行有漸漸趨向平衡的趨勢。下面想就這一趨勢進行數學力學原理上的爭辯。圖 1

8、風箏線的受力首先我們對風箏進行受力分析，在風箏平衡時，其在豎直方向的加速度為0，依據牛頓其次定律：F人G繩F拉F拉G風箏F 空氣圖 2風箏的受力（1）F空氣cos=F拉sin+m風箏gF空氣sin-F拉cos=m風箏a1（2）對風箏線進行受力分析 F拉cos-F人cos=m繩a2F拉sin-F人sin=m繩g由于風箏與風箏線在本過程中為整體的，他們的加速度相等，所以a1=a2（3）將（1）（2）方程組解出得到tan=F 拉 sin-m繩 gF拉cos-m繩a（4）將a代人后，可得tan=m風箏F 拉 sin-m風箏m繩 g（m繩+m風箏）F拉cos-m繩F空sin 對于空氣對風箏的力，我們運用

9、空氣動力學的原理進行簡潔爭辯，我們可以認為在空中飛行的風箏是不動的，而空氣以同樣的速度流過風箏。圖 3我們把風箏飛行速度在參考平面上的投影與水平線之間的夾角，稱為迎角，用表示。類比于飛機的機翼進行分析，由上圖可知，機翼的壓強分布與迎角有關。在迎角為零時，上下表面雖然都受到吸力，但總的空氣動力合力F空氣并不等于零。隨著迎角的增加，上表面吸力漸漸變大，下表面由吸力變為壓力，于是空氣動力合力F空氣快速上升，與此同時，翼型上表面后緣的渦流區也漸漸擴大。在肯定迎角范圍內，F空氣是隨著迎角的增加而上升的。但當大到某一程度，再增加迎角，升力不但不增加反而快速下降，這種現象我們叫做“失速”。失速對應的迎角就叫

10、做“臨界迎角”或“失速迎角”將其類比于風箏，我們可以認為由于F空氣隨的變化而變化，它在垂直于迎面氣流方向上的分力F升也隨的變化而（5）F升=12GL0v2s 升力系數CL隨迎角變化的曲線稱為升力曲線（圖2.3.9）。（6）將其帶入（3）式，得到風箏受風角度與線的長度的初步函數關系tan=m風箏F 拉 sin-m風箏m繩 g（m繩+m風箏）F拉cos-m繩12GLv2sin 圖 4升力系數曲線圖 5升力系數曲線（5）tan=F空氣cos-m風箏g-m線gF空氣sin-m線a-m風箏a 整理（4）式，將 m線 移到一邊，得到：（6）m線=tanF空氣sin-tanm風箏a-F空氣cosatan-g

11、其中，m線= sl，為風箏線的密度，s為線的橫截面積，l為線的長度。所以，又得到：l = tanF空氣sin-tanm風箏a-F空氣coss（atan-g） （7） 5.2.2參數處理的用線性模型我們進行微元，假設每一t 時間內的與是恒定的，成線性關系，水平加速度a隨時間不變的，即+=a=a0（7）可以將（6）式換成如下形式：l=msm繩=tanF空氣sin-tanm風箏a-F空氣cosatan-g （8）=-m線=tan-F空氣sin-tan(-)m風箏a-F空氣cosatan-g （9）sl=shsin(-) （10）h=sin(-)sm線 （11）將h和a0代入，可得到，h=sin(-)

12、stan-F空氣sin-tan(-)m風箏a0-F空氣cosa0tan-g （12）當趨于0時，h可能達到一個最大值，使得風箏處于一個幾乎平衡的狀態。（13）hmax=lim0sin(-)stan-F空氣sin-tan(-)m風箏a0-F空氣cosa0tan-g =sin(-tanm風箏a0-F空氣+m風箏g）s(a0tan-g) 若有相應的數據，我們可以通過檢驗模擬出參數，并利用另一部分數據進行靈敏性分析 5.2.3力矩平衡的分析還有利用類似于飛機垂直尾翼的原理，增加與風箏平面垂直方向的投影面積的方法，其做法一般都實行使風箏面翹起成孤形，如圖6所示，S1為風箏有效的迎風面積，S2為等效的垂直

13、尾翼面積。圖 6風箏受力示意圖當風箏面以拉線方向為轉動軸順時針或逆時針方向轉動或搖擺時，兩側空氣將通過等效垂直尾翼面積產生對搖擺運動的阻力，同時迎面氣流也將產生對垂直尾翼面積的壓力，前者使搖擺減緩，后者產生回復力矩。當風箏在放飛時受到風力后風箏面會彎曲成弧形或用線將風箏面事先拉成弧形，都是利用上述原理使風箏姿勢穩定。 圖 7當氣流流過風箏時，可以把作用在風箏上的空氣動力F空氣分解為垂直其的法向力F空氣1和平行于翼弦的切向力F空氣2 (圖2.3.10)。我們規定使翼型抬頭的力矩為正，則空氣動力對F點的力矩可寫為（14）MyPF空氣1(xP-xF)F空氣 (xP-xF) 改用力矩系數的形式表示為（

14、15）cm=Myp12v2sc=F空氣12v2sxP-xFc=-cL(xP-xF) 式中和分別是壓力中心和任意點F到翼型前緣距離與弦長比的百分數不但影響F空氣的大小，同時還轉變其作用點(壓力中心)。為此，變換不同的迎角作試驗，求出各個迎角下對應的升力系數CL和力矩系數Cm，畫出Cm與CL曲線，如圖7所示。由該圖可見，當CL不太大時曲線近似呈直線，不同的F可得到不同的斜率。因此總能找到一點，其Cm幾乎不隨CL而變化，這樣的點在空氣動力學中稱之為焦點(或空氣動力中心)。由于升力增加時，升力對焦點的力矩不變，因此，焦點實質上是迎角增加時升力增量的作用點。（16）（17） 可見壓力中心并非焦點，它是隨CL的增大而前移，并漸漸接近焦點。 六、模型的評價與推廣6.1模型的評價優點1.我們運用空氣動力學，考慮了風箏和飛機模型之間的聯系，使空氣對風箏的影響更為精確，模型應用更為廣泛。 2.考慮了受力平衡對風箏水平運動的影響，和力矩對風箏轉動平衡的影響，使飛機平衡的分析有多個維度。缺點：很多參數缺乏數據支撐，無法進行精確猜測。