1、11.5.3 1.5.3 定積分的概念定積分的概念2一、定積分的定義一、定積分的定義 11( )( )nniiiibafxfn 小矩形面積和S=如果當如果當n時，時，S 的無限接近某個常數，的無限接近某個常數，這個常數為函數這個常數為函數f(x)在區間在區間a, b上的上的定積分定積分，記作，記作 ba (x)dx，即f (x)dx f ( i)xi。 從求曲邊梯形面積從求曲邊梯形面積S的過程中可以看出的過程中可以看出,通過通過“四步四步曲曲”:分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取極限得到解決取極限得到解決.1( )lim( )ninibaf x dxfnba即3定積分的定義：定積分的相關

2、名稱：定積分的相關名稱： 叫做積分號，叫做積分號， f(x) 叫做被積函數，叫做被積函數， f(x)dx 叫做被積表達式，叫做被積表達式， x 叫做積分變量，叫做積分變量， a 叫做積分下限，叫做積分下限， b 叫做積分上限，叫做積分上限， a, b 叫做積分區間。叫做積分區間。1( )lim( )ninibaf x dxfnba即Oabxy)(xfy 4 baIdxxf)(iinixf )(lim10 被積函數被積函數被積表達式被積表達式積分變量積分變量積分下限積分下限積分上限積分上限5baf(x)dx f (t)dt f(u)du。 說明：說明：(1) 定積分是一個數值定積分是一個數值,它

3、只與被積函數及積分它只與被積函數及積分 區間有關，而與積分變量的記法無關，即區間有關，而與積分變量的記法無關，即baf(x)dx baf (x)dx -(3)6二、定積分的幾何意義：二、定積分的幾何意義：Ox yab yf (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 xa、xb與 x軸所圍成的曲邊梯形的面積。 當 f(x)0 時，積分dxxfba)(在幾何上表示由 y=f (x)、 特別地，當 ab 時，有baf (x)dx0。 7 當當f(x) 0時，由時，由y f (x)、x a、x b 與與 x 軸所圍成的軸所圍成的曲邊梯形位于曲邊梯形位于 x 軸的下方，軸的下方，x yO

4、dxxfSba)(，dxxfba)(ab yf (x) yf (x)dxxfSba)(baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 S上述曲邊梯形面積的負值。上述曲邊梯形面積的負值。 定積分的幾何意義：定積分的幾何意義：積分 b ba af f ( (x x) )d dx x 在在幾幾何何上上表表示示 b ba af f ( (x x) )d dx x f f ( (x x) )d dx x f f ( (x x) )d dx x。 S S8ab yf (x)Ox y( )yg x探究探究:根據定積分的幾何意義根據定積分的幾何意義,如何用定積分表示圖中陰影部分的如何用定積分表示圖中陰影部

5、分的面積面積?ab yf (x)Ox y1()baSfx dx( )yg x12( )( )bbaaS S Sf xdxg xdx 2( )baSg x dx9三、 定積分的基本性質定積分的基本性質 性質性質1. 1. dx)x(g)x(fba babadx)x(gdx)x(f性質性質2. 2. badx)x(kf badx)x(fk10三三: : 定積分的基本性質定積分的基本性質 定積分關于積分區間具有定積分關于積分區間具有可加性可加性 bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f 性質性質3. 3. 2121 ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fOx yab

6、 yf (x)11性質性質 3 不論不論a，b，c的相對位置如何都有的相對位置如何都有ab y=f(x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx f (x)dxf (x)dx。 cOx ybaf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 12 例例1：利用定積分的定義：利用定積分的定義,計算計算 的值的值. 130 x d x解：令3xxf）（1）分割在區間【0，1】上等間隔地插入n-1個點，把區間等分成n個小區間).,2, 1(,1ninini每個區間長度.11xnnini13（2）近似代替、作和則取), 2 , 1(niniinSdxx103nnixnifnini1.)().(311224134) 1(41.11nnninni2)11 (41n14（3）取極限41n1141nlimnlimdxx2n103）（Sdxxx2102）（dxxxdx2