1、半角的正弦、余弦和正切（課堂教學實錄）廣西防城港市上思縣上思中學教者王春富點評凌旭球（中學特級教師）一、教學目標1、掌握半角公式及推導方法。2、理解公式的結構特點和內在聯系，能根據已知條件確定公式中的符號。3、能熟練、合理地運用公式。二、重點、難點分析1、重點：S,C,T公式的推導、識記及熟練運用。2222、難點：S_,C_公式中雙重符號的選擇、T_三個公式的靈活運用。222三、教學用具、準備電腦和投影設備，自制電腦課件。四、教學過程設計（一）復習引入帥：前面我們已經學習了二倍角的正弦、余弦和正切公式，現在讓我們一起回憶一下：tan22暨（師生合作回答，然后用投影顯示）1tan評：從復習與新知

2、相關的舊知入手，為探討新課題作鋪墊。下面，我們一起來看一道習題：cos2-,（0,），求cos4和cos254的值。（投影顯示）我們能利用已學的公式來解這道題嗎？生:師:能，用二倍角公式。那好，下面我們就一起來完成這道題：cos邑而（生集體回答，師板書）評：研究的作用帥：從上面的解題過程，我們可以知道，從單角函數求倍角函數，直接代入公式即可，不需要考慮值的符號；但是從倍角函數求單角函數，得到的是涉及開方運算的式子，這時就需要考慮函數值的符號了。現在，我們再來看另一道習題，已知：cos-,（0,）,求cos522的值。（投影顯示）我們還能利用已學的公式來直接求解呢？10這道習題的設計，既起到了鞏

3、固舊知，乂蘊含著準備將新知轉化為舊知去0評：用這道習題作引子，并用設疑式為新課引入作準備，可使學生明確探索目標，帶著任務學。生：不能。帥：但如果我們把看成上題的2角，那一角就變成了上題的什么角？2生：角。帥：所以，cos一的值是（稍作停頓）2生：旦J而。10帥：不錯，這就啟發我們：如果把二倍角公式中的2角換成角，把公式中的角換成一角，就得到用單角來表示半角的公式，即“半角公式”。2（帥板書課題）評：新課題以舊知識不能解決的問題來引入是一種好方法，它可激發學生探求新知的欲望與熱情。（二）新課講授1、公式推導帥：下面，我們一起來探討如何從“二倍角公式”導出“半角公式”。先探討如何將公式變形得出si

4、n一與角的三角函數關系。2r生：由sin2sincos2sin,-1sin2,從中解出sin。22222帥：不錯，但這個等式太麻煩了，不便丁解出sin,能否用更簡潔的方法來2求解呢？生：可以利用cos12sin2得出sin21,從而2221cossin22帥：（板書）對，但公式中“土”號的確定是關鍵，是不是兩個都要呢？生：（稍作討論后回答）不是，應根據一角所在的范圍中正弦的符號來選取。2帥：具體的說，就是一角在第一、二象限時取（稍作停頓）2生：“+”號。帥：當一角在第三、四象限時取（稍作停頓）2生：“-”號。帥：如果沒有指明一角的范圍呢？2生：“土”號都要。評：師生合作導出“半角正弦”公式，在

5、教師的“主導”下，讓學生積極主動地探索，依靠學生自己的思維去獲取知識，也順利地解決了“土”號的確定這一關鍵性問題。帥：很好。下面我們接著來研究一角的余弦。2生：利用cos2cos21得出cos2-C0S,從而cosJ_C0S2222*2帥：（板書）這里乂出現了“土”號，請大家參照剛才的方法總結一下。生：當一角在第一、四象限時取“+”，在第二、三象限時取“-”；如果沒2有指明一角的范圍時，“土”號兩個都要。2評：有了“半角正弦”的推導作樣板，“半角余弦”的導出自然水到渠成。帥：不錯。我們現在已導出了半角的正弦、余弦公式，如果利用同角三角函數關系式，你能馬上得出半角的正切公式嗎？sin生：能。由商

6、數關系得：tan2cos2評：點拔恰當，在此使學生感受到“聯想”帥：（板書）由丁分子、分母都有“土”差生：不能。帥：那么乂如何理解結果中的“土”號呢?生：是分子、分母的“土”號搭配的結果-分子、分母異號時取“-”。1cosV2;1cos1-1cos1cos.2的作用。,能否把“土”號約掉？當分子、分母同號時取“+”，師：由這一搭配的結果，你能根據一角所在的范圍說出如何選取正切符號嗎？2生：能。當亍角在第一、三象限時取“+”，在第二、四象限時取“-”；當沒有指明一角的取值范圍時，應該同時取“土”號。2帥：此外，還有沒有其它方法來處理這雙重符號呢？（生困惑，議論）評：問題提得好，將學生自然引導到對

7、“半角正切”公式的深層探討上sin帥：我們能不能利用乘除符號性質來判斷一2與sincos一是同號還是異號22cos2呢？生：能，是同號。帥：那么tan與sin呢？2生：也是同號。帥：根據這種思路，下面我們進一步來研究tan的公式，使它變得更簡單，2sinsin更便丁使用。由丁tan，將的分子、分母同時乘以2sincos222cos那么會得到什么結果呢?2或2cos，使sin變成sin,2一生:tan2sin2sin2cos22sin或tan2cos2sin2cos2cos2cos22sin2sin22cos2sin22cos1cossin（帥板書）2、公式識記帥：至此，我們已經把本節課要學習的

8、“半角公式”全部推導出來了。下面,我們一起來探討對這組公式的初步理解與記憶。（投影顯示公式）sin2tan2S_2cos2（T_）2（C_）21cossin師：首先明確公式成立的條件，即角的取值范圍，先看、。生：公式、的條件是R。帥：再看公式、。生：對丁公式、，需滿足左、右兩式均有意義，即：k,且221 cos0,所以（2k1）,kZ。帥：那么公式的條件呢？生：一一k,且sin0,即：（2k1）,kZ，且k,所以2k,kZ。sin帥：公式、都是從式子tan推出的，為什么成立的條件不相同2cos2呢？生：（稍作議論后回答）因為同乘以2sin時，不能保證它一定不為零，為了保證變形的等價性，需添上條

9、件一k,即2k,所以增加了公2cos1sin式的使用條件。師：現在我們將公式成立的條件總結如圖所示，希望大家在使用時加以注意（投影顯示圖表）公式左端取值范圍右端取值范圍從左到右取值變化未變未變未變變小，縮小范圍為2k帥：下面我們一起探討對公式如何記憶。請大家先仔細觀察半角的正切公式，然后對下列這四個式子，1皿,1sin,-coscoscos1sin（投影顯示）進行判斷，是否是tan一公式的表達式?2生：都不是。帥：對，在tan一的表達式中，只含有三種不同的式子：1cos,1cos2和sin，而1cos若出現一定會在分母上，如、；若1cos出現則一定出現出分子上，如、；而、兩個公式，一旦分子或分

10、sin母確定下來，另一個位置肯定就是sin。同時，根據tan的性2cos2質，我們就可以很容易地建立起1cos與sin1cos與cos一的聯2,2系。當然，最好的記憶方法還應該是在公式的應用中熟悉、并掌握下來。評：揭示公式成立的條件及內在聯系，理活其結構形式，不僅使學生改變死記硬背公式的習慣，而且掌握了公式的本質達到識記作用。這樣做可拓展學生的思維領域，提高學生分析問題和解決問題的能力。3、鞏固練習師：下面，請大家應用半角公式來解題，看投影：例：已知sin4,根據下歹0條件求sincostan一的值。52,2,2(,2)；為第四象限的角。2師：我們應該用什么方法來解這道題呢？生：用半角公式。帥

11、：還需要什么條件嗎？生:師:生:還需要知道cos和一角的范圍。2那好，我們現在請一位同學上來具體計算一下。(板書)解：(,2)22(34cos帥：做得很好。特別值得肯定的是對一角范圍的指出，因為公式中“土”號2的選擇要看一角的范圍。2評：恰當的課內練習，起著鞏固新知的作用，而對學生練習作實事求是的評價，非常重要，可使學生感受成功的樂趣。帥：下面，我們來做。由丁時間關系，我們只要求指出各值的符號即可。生:為第四象限，2k2k,即kk,（kZ）。242當k為偶數時，為第四象限的角；當k為奇數時，為第二象限的角。帥：疑問嗎?當為第二象限時，cos為正，sin芬為正，當一為第四象限時,cos為正，si

12、n一為負，不錯，下面大家比較一下這兩道小題的計算，你們有何發現，或有什么cos為負,2cos一為正,2tan為負。2tan為負。23生：中的（一,2）是第四象限的角，中的角也是第四象限的角，為2什么只有一組解，而卻有兩組解呢？師：問題提得好。這是因為中的角是區間角，只是第四象限角中的一部分，一角只有一種可能；而中的是象限角，一角有兩種可能。所以22我們要在解題時一定要注意區分區問角和象限角這兩個不同的概念。（三）歸納小結這節課我們一起導出了“半角公式”，并做了初步的理解與應用。在這里我們要注意以下幾點：半角與倍角是相對的，也是緊密聯系的，是同一種關系的不同表現形式。對公式的記憶要采取合成記憶的

13、方法，即對比記憶（求同）結合特例記憶（求異）來進行。要處理好公式中雙重符號的選擇。（投影顯示以上三點）至丁對半角公式的進一步綜合應用將在下節課繼續研究。評：必要的歸納、總結，起到將知識升華及遷移運用，使之轉化為能力的作用。則對公式的靈活運用，有待后續課程的強化。（四）布置作業：課本題P2241、2、3題五、課堂設計說明本節課沒有直接給出公式，而是采用啟發式教學，注重學生的參與度，通過提問、板演、投影、討論等多種形式引導學生對公式的內容、推導進行獨立思考、探索，培養學生聯系轉化的辯證思想。六、板書設計半角的正弦、余弦、正切1、二倍角公式（略）2、半角公式（略）作業：P22412、3倍角公式復習題半角公式推導例題（略）總評：本課教者從與新知相關的舊知“二倍角公式”復習入手，設計了兩道習題作為探求新知的引子，將所學新知識轉化為用舊知識去研究解決，即符合認識規律，乂為探求新知起到前期測診及掃活障礙的作用。在講授中，采用師生對話、合作討論的啟發式教學方法，全程圍繞教學目標開展，從舊知自然引申到新知，有層次地引導學生向深層探索，逐步展開，充分顯示了教師的主導作用。而學生始終直接參與到學習新知