1、解析不等式恒成立問題 縱觀近年來各地高考數學試題， 有關不等式恒成立問題屢 見不鮮，這類問題既含參數又含變量，往往與函數、數列、方 程、幾何有機結合起來，具有形式靈活、思維性強、知識交匯 點多等特點 . 考題通常有兩種設計方式：一是證明某個不等式 恒成立， 二是某個不等式恒成立， 求其中的參數的值或取 值范圍 . 解決這類問題的關鍵是轉化，通過等價轉化能使問題 起到“柳暗花明的成效.而等價轉化過程往往滲透著換元、化歸、數形結合、分類討論、函數與方程等數學思想方法，其 常用方法主要有：更換主元法、別離參數法、數形結合法、最 值法等，筆者試圖通過本文能對學生突破這一難點有所啟迪 .一、更換主元法在

2、解決不等式恒成立問題時，一種最重要的思想方法就是 構造適當的函數， 利用函數的圖象和性質解決問題， 同時注意 在一個含多個變量的數學問題中，需要確定適宜的變量和參 數，從而揭示函數關系，使問題更加明朗化，一般地，存 在范圍的量為變量，而待求范圍的量為參數 .2x 1 m(x2 1)對滿足m 2,2的一切實數m恒成立，求x的取 值范圍 .解：設 f(m) (x2 1)m (2x 1 ) ,那么不等式 2x 1 m(x2 1)對滿足2,2的一切實數 m恒成立 f(m) 0對m 2,22 m 2時，f (m)0f(2) f( 2)2(x2 1) (2x 1) 0 即 2x22(x2 1) (2x 1

3、) 0， 2x22x 102x 30解得x1 .31 、3x2 2或x2 2，故x的取值范圍是(寧,專).注：此類問題常因思維定勢，學生易把它看成關于x的不等式討論，此種解法因計算繁瑣易出錯；假設變換一個角度， 以m為變量，使f (m) (x2 1)m (2x 1),那么問題轉化為求一次函數或常數函數f(m)的值在2,2內恒為負時，參數x應滿足的 條件一一“換位思考優勢明顯 .二、別離參數法當不等式中的參數或關于參數的代數式能夠與其它變 量完全別離出來，且別離后不等式另一邊的函數或代數式 的最值可求時，常用別離參數法 .f(x) ln(ex a) a為常數是實數集 R上的奇函數，函數g(x)

4、x COSX在區間上是減函數.33都有g(x) t 1在孑233I求a的值與的范圍；H假設對I中的任意實數上恒成立，求實數t的取值范圍川假設m 0 ,試討論關于f(x)x2 2ex m的根解：I、川略口由題意知，函數g(x) x cosx在區間 -3上是減函33g(x) t 1 在上恒成立1), t注：此類問題可把要求的參變量別離出來，單獨放在不等式的一側，將另一側看成新函數，于是將問題轉化成新函數的 最值問題：假設對于x取值范圍內的任一個數都有f (x) g(a)恒成立，那么g(a) f(X)min ；假設對于x取值范圍內的任一個數都有 f(x) g(a)恒成立，那么 g(a) f(x)ma

5、x.三、數形結合法如果不等式中涉及的函數、代數式對應的圖象、圖形較易畫出時，可通過圖象、圖形的位置關系建立不等式求得參數范 圍y f(x) 3x :X 2假設不等式f(x) 2x m恒成立，那么實數6 3x,x 2m的取值范圍是.解：在同一個平面直角坐標系中分別作出函數y 2x m及y f(x)的圖象，由于不等式f (x) 2x m恒成立，所以函數 y 2x m的圖象應總在函數y f(x)的圖象下方，因此，當 x 2注：解決不等式問題經常要結合函數的圖象，根據不等式中量的特點，選擇適當的兩個函數， 利用函數圖像的上、 下位 置關系來確定參數的范圍利用數形結合解決不等式問題關鍵 是構造函數，準確

6、做出函數的圖象.如：不等式x2 logax 0，在x (0,1)時恒成立，求a的取值范圍.此不等式為超越不等式，求解時一般使用數形結合法，設f(x) x2,g(x) logaX,然后在同一坐標系下準確做出這兩個函數的圖象，借助圖象觀察便可求解四、最值法當不等式一邊的函數 或代數式的最值較易求出時， 可 直接求出這個最值最值可能含有參數，然后建立關于參數的不等式求解f (x) x(lnx m), g (x) fx3 x.I當m 2時，求f(x)的單調區間；口假設m 3時，不等式g(x) f(x)恒成立，求實數a的取值范圍.解：I略h(x)口當 m3時，不等式 g(x) f(x)即刖 x x(ln

7、x f)x 0，a 2lx 1 In x -21|(| nx -)小 占，貝U h(x) x即lx21彳l(lnx -)In x -, 所以 a2r2 .令2x學，由h(x) 0得x 1.且當0 x 1時， xh(x)0 ；當x 1時，h(x) 0,即h(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,)上單調遞減，所以h(x)在x 1處取得極大值h(1) | ,也就是函數l(lnx -)33h(x)a 占 恒成立，需要a °，所以a的取值范圍為 2.x22注：恒成立問題多與參數的取值范圍問題聯系在一起，是近幾年高考的一個熱門題型，它以“參數處理為主要特征， 以“導數為主要解題工具 .往往與函數的單調性、極值、最 值等有關，所以解題時要善于將這類問題與函數最值聯系起 來，通過函數最值求解相關問題 .不等式恒成立問題，因題目涉及知識面廣， 解題方法靈活 多樣，技巧性強，難度大等特點，要求有較強的思維靈活性和 創造性、較高的解題能力，