1、精選文檔平面對量全章復習與鞏固編稿：孫永釗審稿：王靜偉【學習目標】1.平面對量的實際背景及基本概念通過力和力的分析等實例，了解向量的實際背景，理解平面對量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示；2.向量的線性運算（1）通過實例，把握向量加、減法的運算，并理解其幾何意義；（2）通過實例，把握向量數乘的運算，并理解其幾何意義，以及兩個向量共線的含義；（3）了解向量的線性運算性質及其幾何意義.3.平面對量的基本定理及坐標表示（1）了解平面對量的基本定理及其意義；（2）把握平面對量的正交分解及其坐標表示；（3）會用坐標表示平面對量的加、減與數乘運算；（4）理解用坐標表示的平面對量共線的條件.4.平面對量

2、的數量積（1）通過物理中"功"等實例，理解平面對量數量積的含義及其物理意義；（2）體會平面對量的數量積與向量投影的關系；（3）把握數量積的坐標表達式，會進行平面對量數量積的運算；（4）能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積推斷兩個平面對量的垂直關系.5.向量的應用經受用向量方法解決某些簡潔的平面幾何問題、力學問題與其他一些實際問題的過程，體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，進展運算力量和解決實際問題的力量.【學問網絡】【要點梳理】要點一：向量的有關概念1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用來表示向量的有向線段的長度).2.向量的

3、表示方法：(1)字母表示法：如等.(2)幾何表示法：用一條有向線段表示向量.如，等.(3)坐標表示法：在平面直角坐標系中，設向量的起點為在坐標原點，終點A坐標為，則稱為的坐標，記為=.3.相等向量：長度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移，平移前后的向量相等.兩向量與相等，記為.4.零向量：長度為零的向量叫零向量.零向量只有一個，其方向是任意的.5.單位向量：長度等于1個單位的向量.單位向量有很多個，每一個方向都有一個單位向量.6.共線向量：方向相同或相反的非零向量，叫共線向量.任一組共線向量都可以移到同始終線上.規定：與任一向量共線.注：共線向量又稱為平行向量.7.相反向量： 長度相等且方

4、向相反的向量.要點二、向量的運算1.運算定義運 算圖形語言符號語言坐標語言加法與減法+=記=(x1，y1)，=(x2，y2)則=(x1+x2，y1+y2)=(x2-x1，y2-y1)+=實數與向量的乘積記=(x，y)則兩個向量的數量積記則=x1x2+y1y22.運算律加法：(交換律)； (結合律)實數與向量的乘積：； ；兩個向量的數量積：·=·； ()·=·()=(·)；(+)·=·+·3.運算性質及重要結論(1)平面對量基本定理：假如是同一平面內兩個不共線的向量，那么對于這個平面內任一向量，有且只有一對實數，使，

5、稱為的線性組合.其中叫做表示這一平面內全部向量的基底；平面內任一向量都可以沿兩個不共線向量的方向分解為兩個向量的和，并且這種分解是唯一的.當基底是兩個相互垂直的單位向量時，就建立了平面直角坐標系，因此平面對量基本定理實際上是平面對量坐標表示的基礎. 向量坐標與點坐標的關系：當向量起點在原點時，定義向量坐標為終點坐標，即若A(x，y)，則=(x，y)；當向量起點不在原點時，向量坐標為終點坐標減去起點坐標，即若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則=(x2-x1，y2-y1)(2)兩個向量平行的充要條件符號語言：坐標語言為：設非零向量，則(x1，y1)=(x2，y2)，或x1y2-x2y1=0.(

6、3)兩個向量垂直的充要條件符號語言：坐標語言：設非零向量，則(4)兩個向量數量積的重要性質： 即 (求線段的長度)；(垂直的推斷)； (求角度).要點詮釋：1. 向量的線性運算(1)在正確把握向量加法減法運算法則的基礎上能結合圖形進行向量的計算，將數和形有機結合，并能利用向量運算完成簡潔的幾何證明；(2)向量的加法表示兩個向量可以合成，利用它可以解決有關平面幾何中的問題，減法的三角形法則應記住：連接兩端(兩向量的終點)，指向被減(箭頭指向被減數).記清法則是機敏運用的前提.2. 共線向量與三點共線問題向量共線的充要條件實質上是由實數與向量的積得到的.通常用來推斷三點在同一條直線上或兩直線平行.

7、該定理主要用于證明點共線、求系數、證直線平行等題型問題.(1)用向量證明幾何問題的一般思路：先選擇一組基底，并運用平面對量基本定理將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來證明.(2)向量在幾何中的應用：證明線段平行問題，包括相像問題，常用向量平行(共線)的充要條件(x1，y1)=(x2，y2)證明垂直問題，常用垂直的充要條件求夾角問題，利用求線段的長度，可以利用或【典型例題】類型一：平面對量的概念例1.給出下列命題：若|=|，則=；若A，B，C，D是不共線的四點，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若=，=，則=；=的充要條件是|=|且/； 若/，/，則/；其中正確的序號是 .(

8、2)設為單位向量，(1)若為平面內的某個向量，則；(2)若與平行，則；(3)若與平行且，則.上述命題中，假命題個數是( )A.0B.1C.2D.3【思路點撥】利用平面對量的相關基本概念和基本學問進行推斷。【解析】(1)不正確.兩個向量的長度相等，但它們的方向不肯定相同；正確； ， 且，又 A，B，C，D是不共線的四點， 四邊形 ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則且，因此，.正確； =， ，的長度相等且方向相同；又=， ，的長度相等且方向相同， ，的長度相等且方向相同，故=.不正確；當/且方向相反時，即使|=|，也不能得到=，故|=|且/不是=的充要條件，而是必要不充分

9、條件；不正確；考慮=這種特殊狀況；綜上所述，正確命題的序號是.(2)向量是既有大小又有方向的量，與模相同，但方向不肯定相同，故(1)是假命題；若與平行，則與方向有兩種狀況：一是同向二是反向，反向時，故(2)、(3)也是假命題.綜上所述，答案選D.【總結升華】本例主要復習向量的基本概念.向量的基本概念較多，因而簡潔遺忘.為此，復習時一方面要構建良好的學問結構，另一方面要擅長與物理中、生活中的模型進行類比和聯想.向量的概念較多，且簡潔混淆，故在學習中要分清，理解各概念的實質，留意區分共線向量、平行向量、同向向量等概念.舉一反三：【變式】推斷下列各命題正確與否：(1)；(2)；(3)若，則；(4)若

10、，則當且僅當時成立；(5)對任意向量都成立；(6)對任意向量，有.【解析】(1)錯；(2)對；(3)錯；(4)錯；(5)錯；(6)對.【總結升華】通過該題我們清楚了向量的數乘與數量積之間的區分與聯系，重點清楚為零向量，而為零.類型二：平面對量的運算法則例2.如圖所示，已知正六邊形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，試用，將向量，表示出來.【思路點撥】依據向量加法的平行四邊形法則和減法的三角形法則，用向量，來表示其他向量，只要考慮它們是哪些平行四邊形或三角形的邊即可.【解析】由于六邊形ABCDEF是正六邊形，所以它的中心O及頂點A，B，C四點構成平行四邊形ABCO，所以，=，= =+，由于A，

11、B，O，F四點也構成平行四邊形ABOF，所以=+=+=2+，同樣在平行四邊形BCDO中，=()=2，=-.【總結升華】其實在以A，B，C，D，E，F及O七點中，任兩點為起點和終點，均可用 ，表示，且可用規定其中任兩個向量為，另外任取兩點為起點和終點，也可用，表示.舉一反三：【變式1】設A、B、C、D、O是平面上的任意五點，試化簡：，.【解析】原式= ；原式= ；原式= .【變式2】設為未知向量，、為已知向量，解方程2-(5+3-4)+-3=0【解析】原方程可化為：(2-3)+(-5+)+(4-3)=0，=+.【總結升華】平面對量的數乘運算類似于代數中實數與未知數的運算法則，求解時兼顧到向量的性

12、質.類型三：平面對量的坐標及運算例3.已知點，試用向量方法求直線和(為坐標原點)交點的坐標.【解析】設，則由于是與的交點，所以在直線上，也在直線上.即得，由點得，.得方程組，解之得.故直線與的交點的坐標為.例4.已知，按下列條件求實數的值.(1)；(2)；.【解析】(1)；(2)；.【總結升華】此例呈現了向量在坐標形式下的平行、垂直、模的基本運算.舉一反三：【變式】平面內給定三個向量，回答下列問題：(1)求滿足的實數m，n；(2)若，求實數k；(3)若滿足，且，求.【解析】(1)由題意得，所以，得.(2)，；(3)由題意得，得或.例5.已知(1)求；(2)當為何實數時，與平行， 平行時它們是同

13、向還是反向？【解析】(1)由于所以，則(2)，由于與平行，所以即得.此時，則，即此時向量與方向相反.【總結升華】上面兩個例子重點解析了平面對量的性質在坐標運算中的體現，重點把握平面對量的共線的判定以及平面對量模的計算方法.舉一反三：【變式】已知=(3，4)，=(4，3)，求x，y的值使(x+y)，且x+y=1.【解析】由=(3，4)，=(4，3)，有x+y=(3x+4y，4x+3y)；又(x+y)(x+y)·=3(3x+4y)+4(4x+3y)=0；即25x+24y= ；又x+y=1x+y=；(x+4y)(x+3y)=；整理得25x48xy+25y=即x(25x+24y)+24xy+

14、25y= ；由有24xy+25y= ；將變形代入可得：y=±；再代回得：.【總結升華】這里兩個條件相互制約，留意體現方程組思想.類型四：平面對量的夾角問題 例6.|=1，|=2，= + ，且，則向量與的夾角為( )A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C【解析】設所求兩向量的夾角為，即：所以【總結升華】解決向量的夾角問題時要借助于公式，要把握向量坐標形式的運算.向量的模的求法和向量間的乘法計算可見一斑.對于這個公式的變形應用應當做到嫻熟，另外向量垂直(平行)的充要條件必需把握.舉一反三：【變式】與向量的夾角相等，且模為1的向量是

15、( )(A) (B) 或(C) (D)或【解析】設所求平面對量為，由或時，當時，；當時，故平面對量與向量的夾角相等.故選B.例7.設向量與的夾角為，且，則=_.【思路點撥】本題主要考查平面對量的坐標運算和平面對量的數量積，以及用平面對量的數量積處理有關角度的問題.【解析】設，由得，故填.例8.已知兩單位向量與的夾角為，若，試求與的夾角.【解析】由題意，且與的夾角為，所以，同理可得.而，設為與的夾角，則.例9.已知、都是非零向量，且+3與垂直，與垂直，求與的夾角。【思路點撥】把向量垂直轉化為數量積為0聯立求與的關系應用夾角公式求結果。【解析】例10.已知向量，（1）求證：;（2）若存在不等于0的

16、實數k和t，使滿足試求此時的最小值。【思路點撥】（1）可通過求證明;（2）由得，即求出關于k，t的一個方程，從而求出的代數表達式，消去一個量k，得出關于t的函數，從而求出最小值。【解析】（1）（2）由得，即舉一反三：【變式】已知，其中.(1)求證：與相互垂直；(2)若與()的長度相等，求.【解析】(1)由于所以與相互垂直.(2)，所以， ，由于，所以，有，由于，故，又由于，所以.【總結升華】平面對量與三角函數在“角”之間存在著親密的聯系.假如在平面對量與三角函數的交匯處設計考題，其形式多樣，解法機敏，極富思維性和挑戰性.若依據所給的三角式的結構及向量間的相互關系進行處理.可使解題過程得到簡化，

17、從而提高解題的速度.類型五：平面對量綜合問題例11.已知向量與的對應關系用表示.(1)證明：對于任意向量及常數m，n恒有成立；(2)設，求向量及的坐標；(3)求使，(p，q為常數)的向量的坐標.【解析】(1)設，則，故，(2)由已知得=(1，1)，=(0，-1)(3)設=(x，y)，則，y=p，x=2p-q，即=(2p-q，p).例12.求證：起點相同的三個非零向量，3-2的終點在同一條直線上.證明：設起點為O，=，=，=3-2，則=2(-)，=-， 共線且有公共點A，因此，A，B，C三點共線，即向量，3-2的終點在同始終線上.【總結升華】(1)利用向量平行證明三點共線，需分兩步完成： 證明向

18、量平行； 說明兩個向量有公共點；(2)用向量平行證明兩線段平行也需分兩步完成：證明向量平行；說明兩向量無公共點.例13.已知.【思路點撥】，可以看作向量的模的平方，而則是、的數量積，從而運用數量積的性質證出該不等式.【證明】設則.【總結升華】在向量這部分內容的學習過程中，我們接觸了不少含不等式結構的式子，如等.例14. 已知=(cosx+sinx,sinx), =(cosx-sinx,2cosx).（1）記f(x)= ·,若x0,，求f(x)的值域；（2）求證：向量與向量不行能平行.【解析】（1）f(x)=(cosx+sinx)(cosx-sinx)+2sinxcosx=cos2x-sin2x+sin2x=cos2x+sin2x又f(x)的值域為-1，.（2）假設則2c