1、尺柜作圖知識梳理尺規作圖是指用無刻度的直尺和圓規作圖.尺規作圖是起源于古希臘的數學課題.只使用圓規和直尺,并且只準許使用有限次,來解決不同的平面幾何作圖題.尺規作圖使用的直尺和圓規帶有想像性質,跟現實中的并非完全相同：1、直尺必須沒有刻度,無限長,且只能使用直尺的固定一側.只可以用它來將兩個點連在一起,不可以在上畫刻度；2、圓規可以開至無限寬,但上面亦不能有刻度.它只可以拉開成之前構造過的長度.1,每次的操作只能是公認允許的五項根本操作(稱為五項作圖公法)之"o2,每次操作之前,操作者為決定是否操作和進行哪種操作可以進行的邏輯判斷,也只能是幾何學中公認允許的幾種.基于作圖公法的定義如

2、下：成認以下五項前提,有限次運用以下五項公法而完成的作圖方法,就是合法的尺規作圖：五項前提是：(1)允許在平面上、直線上、圓弧線上已確定的范圍內任意選定一點(所謂確定范圍：依下面四條的規那么).(2)可以判斷同一直線上不同點的位置次序.(3)可以判斷同一圓弧線上不同點的位置次序.(4)可以判斷平面上一點在直線的哪一側.(5)可以判斷平面上一點在圓的內部還是外部.五項公法是：(1)根據兩個已經確定的點作出經過這兩個點的直線.(2)以一個已經確定的點為圓心,以兩個已經確定的點之間的距離為半徑作圓.(3)確定兩個已經做出的相交直線的交點.(4)確定已經做出的相交的圓和直線的交點.(5)確定已經做出的

3、相交的兩個圓的交點.也有些資料上給出的五項公法的后兩條中的交點'改為公共點.這兩種表達差異在于后者多包括了切點.但是,由于確定切點即使不算根本操作,也是可以用其它根本操作組合實現的.所以,兩種表達的定義并無本質不同.中國古代規就是圓規,是用來畫圓的工具,在我國古代甲骨文中就有規這個字.矩就像木工使用的角尺,由長短兩尺相交成直角而成,兩者間用木杠連接以使其牢固,其中短尺叫勾,長尺叫股.矩的使用是我國古代的一個創造,山東歷城武梁祠石室造像中就有伏羲氏手執矩,女蝸氏手執規之圖形.矩不僅可以畫直線、直角,加上刻度可以測量,還可以代替圓規.甲骨文中也有矩字,這可追溯到大禹治水公元前2000年前.

4、?史記?卷二記載大禹治水時左準繩,右規矩趙爽注?周髀算經?中有禹治洪水,望山川之形,定高低之勢,乃勾股之所由生也.意即禹治洪水,要先測量地勢的上下,就必定要用勾股的道理.這也說明矩起源于很遠的中國古代.春秋時代也有不少著作涉及規矩的論述,?墨子?卷七中說輪匠制造車子的工匠執其規矩,以度天下之方圓.?孟子?卷四中說離婁傳說中目力非常強的人之明,公輸子即魯班,傳說木匠的祖師之巧,不以規矩,不能成方圓.可見,在春秋戰國時期,規矩已被廣泛地用于作圖、制作器具了.由于我國古代的矩上已有刻度,因此使用范圍較廣,具有較大的實用性.古希臘古代希臘人較重視規、矩在數學中練習思維和智力的作用,而無視規矩的實用價值

5、.因此,在作圖中對規、矩的使用方法加以很多限制,提出了尺規作圖問題.所謂尺規作圖,就是只有限次地使用沒有刻度的直尺和圓規進行作圖.古希臘的安那薩哥拉斯首先提出作圖要有尺寸限制.他因政治上的糾葛,被關進監獄,并被判處死刑.在監獄里,他思考改圓成方以及其他有關問題,用來打發令人苦惱的無所事事的生活.他不可能有標準的作圖工具,只能用一根繩子畫圓,用隨便找來的破木棍作直尺,當然這些尺子上不可能有刻度.另外,對他來說,時間是不多了,因此他很自然地想到要有限次地使用尺規解決問題.后來以理論形式具體明確這個規定的是歐幾里德的?幾何原本?.格W尚甲J.qqfl由于?幾何原本?的巨大影響,希臘人所崇尚的尺規作圖

6、也一直被遵守并流傳下來.近代西方由于對尺規作圖的限制,使得一些貌似簡單的幾何作圖問題無法解決.最著名的是被稱為幾何三大問題的三個古希臘古典作圖難題：立方倍積問題、三等分任意角問題和化圓為方問題.當時很多有名的希臘數學家,都曾著力于研究這三大問題,雖然借助于其他工具或曲線,這三大難題都可以解決,但由于尺規作圖的限制,卻一直未能如愿以償.以后兩千年來,無數數學家為之絞盡腦汁,都以失敗而告終.直到1637年笛卡爾創立了解析幾何,關于尺規作圖的可能性問題才有了準那么.到了1837年萬芝爾首先證實立方倍積問題和三等分任意角問題都屬于尺規作圖不可能問題.1882年林德曼證實了兀是超越數,化圓為方問題不可能

7、用尺規作圖解決,這才結束了歷時兩千年的數學難題公案.幾何三大問題如果不限制作圖工具,便很容易解決.從歷史上看,好些數學結果是為解決三大問題而得出的副產品,特別是開創了對圓錐曲線的研究,發現了一批著名的曲線,等等.不僅如此,三大問題還和近代的方程論、群論等數學分支發生了關系.1 .尺規作圖著名問題尺規作圖不能問題就是不可能用尺規作圖完成的作圖問題.其中最著名的是被稱為幾何三大問題的古典難題： 倍立方問題：作一個立方體,使它的體積是立方體的體積的兩倍； 化圓為方問題：作一個正方形,使它的面積等于圓的面積. 三等分角：作一個角,將其分為三個相等的局部.以上三個問題在2400年前的古希臘已提出這些問題

8、,但在歐幾里得幾何學的限制下,以上三個問題都不可能解決的.直至1837年,法國數學家萬芝爾才首先證實“三等分角和“倍立方為尺規作圖不能問題.而后在1882年德國數學家林德曼證實兀是超越數后,“化圓為方也被證實為尺規作圖不能問題.還有另外兩個著名問題:只使用直尺和圓規,作正五邊形.只使用直尺和圓規,作正六邊形.乍正多邊形只使用直尺和圓規,作正七邊形一一這個看上去非常簡單的題目,曾經使許多著名數學家都束手無策,由于正七邊形是不能由尺規作出的.只使用直尺和圓規,作正九邊形,此圖也不能作出來,由于單用直尺和圓規,是缺乏以把一個角分成三等份的.問題的解決：高斯,大學二年級時得出正十七邊形的尺規作圖法,并

9、給出了可用尺規作圖的正多邊形的條件：尺規作圖正多邊形的邊數目必須是2的非負整數次方和不同的費馬素數的積,解決了兩千年來懸而未決的難題.四等分圓周只準許使用圓規,將一個圓心的圓周4等分.這個問題傳言是拿破侖波拿巴出的,向全法國數學家的挑戰.尺規作圖知識拓展在建筑工程圖中,任何圖形都可以分解為一些根本圖形元素,如點、線、矩形、圓等.任何復雜幾何圖形都是有最根本的尺規作圖為根底,掌握最基本的尺規作圖的技能和技巧也是一切圖學的根底.能獨立完成線段等分、圓周等分、四心法橢圓、和圓弧連接等根本作圖.2.1.1尺規作圖根本方法尺規作圖中可用的根本方法,也稱為作圖公法,任何尺規作圖的步驟均可分解為以下五種方法

10、：1、通過兩個點可作一直線.2、圓心和半徑可作一個圓.3、假設兩直線相交,可求其交點.4、假設直線和一圓相交,可求其交點.5、假設兩圓相交,可求其交點.2.2.2八種根本作圖1、作一條線段等于線段2、作一個魚等于角3、作線段的垂直平分線4、作角的角平分線5、過一點作直線的垂線6、三邊作三角形7、兩角、一邊作三角形8、一角、兩邊作三角形(1)任意等分線段以最根本的尺規作圖為根底等分線段.【例2.1-1等分線段常采用輔助線法,圖的作圖方法.2.1-1為三等分線段ABC(c)連工耳艮分別由點八1愧戰早杼%與戰交用等分點I,2tb)過點作位-宜物&觸勾圖2.1-1等分線段(2)等分兩平行線間的

11、距離以最根本的尺規作圖為根底三等分平行線間的距離【例2.1-2繪制圖2.1-2,開始一張新圖.tc位置裁尺和用刷上的0點券在CD鰻上.齡動rue,更亢尺上的出落在/!腳上.取等分立MNCb)出AN點分別作比期段必,門前平行城圖2.1-2等分兩平行線間的距離(c)調理里面,加譚留撥,即得所求的：等分疝f燈UU上何的和甫拘平打線敬再奔等好點.法精備等分點以K點為陽心同陽半褥畫孤交削于上百,過A作半程酬的承撥交OHJQ,胭即為七邊席的邊隹.以八點內圈心.燉為半徑而狐交圃用丁日、G.隊以上為起分戒次畫菰即可以用匕等分回冏.(3)等分圓周工程中在不考慮精度的前提下,還有一些近似作圖的方法.【例2.1-3

12、外接圓作圓內接正五邊形.作圖過程如圖2.1-3所示【例2.1-4外接圓作圓內接正七邊形.作圖過程如圖2.1-4所示iI二十、圖2.1-4方法2:方法3:(略)圖2.1-3作正五邊形【例2.1-5】外接圓作圓內接正九邊形.作圖過程如圖2.1-5所示圖2.1-5(4)圓弧連接在零件上,經常會遇到由一外表(平面或曲面)光滑地過渡到另一外表的情況,這種過渡稱為面面相切,而反映到投影圖上,一般為線段(曲線與直線、曲線與曲線)相切.在制圖中將這種相切稱為連接,常見的連接形式有：一圓弧與直線連接、圓弧與圓弧連接,如圖2.1-5所示.從圖形可以看出,圓弧連接的實質是幾何要素間相切的關系.圓弧連接的實質：就是要

13、使連接圓弧與相鄰線段相切,以到達光滑連接的目的.圓弧連接的根本原理(軌跡法)為保證連接光滑,必須準確地求出連接弧的圓心和切點的位置.圓弧連接的作圖方法.由圖2.1-5可知,圓弧連接的作圖步驟一般為:(1)求連接圓弧的圓心；(2)找出連接點即切點的位置；(3)在兩連接點之間作出連接圓弧.各種圓弧連接的作圖方法舉例如下;【例2.1-4用半徑為作圖步驟：R的圓弧連接兩直線AB和CD如圖2.1-6所示.圖2.1-5扳手的連接圖&知以掛接貝華如為間距.分別柞兩百線的平療黑交于.點.2洶口點作,在線的重線.圣足E.F點即為切點,以.為國心,口力半徑,過艮即為所求.M直域8、逢接弧半徑圖2.1-6圓

14、弧連接兩直線也可以看作是用圓弧連接銳角的兩邊,當用圓弧連接鈍角的兩邊或用圓弧連接直角的兩邊時,作法如下列圖所示.【例2.1-5用半徑為R的圓弧連接直線AB和圓弧半徑R1,如圖2-7所示作圖步驟：略5匕如fOMfi,卡科有營的璘8.崖椎鼻gw?力阿距葉純食糊的¥ir與口q為心,史io,.即為祈求法耀式的心,F如畦足,以.為心,R為幸依比耳F點作»所求.圖2.1-9圓弧連接直線和圓弧連接弧與圓內切5圓孤連接鐘例的兩邊圓弧連接直苑的兩邊圖2.1-7圓弧連接兩直線【例2.1-6用圓弧連接直線和圓弧的方法和步驟如圖2.1-8和2.1-9所示.圓弧與圓弧外切連接的方法和步驟如圖2.1-

15、10所示.俗以府力何和.快苴線的平行竣后以口力圓心,啟+馬力半it所作的弧史于Oh0即為所求連接遍留心.邙或8l交圓于F點.過口作O垂直比那么.F為垂足+以口為闕心,/?為半桂,過&F柞弧.印為所求.«a分別以白'口劃網心.慰知即用為半柱件芥空千點口,.即為市轄颯回心.as網.,d.t銃分別內J?|X星.迷債巾羋柱為1心姐選整ocv8r4兩國的財峨.立國心-啟力骨捶,自因用知那交于E,F點,切點E、F柞,即內斯聿.尻F點即角0點.圖2.1-10圓弧連接圓弧和圓弧連接圖2.1-8圓弧連接直線和圓弧連接弧與圓外切作圖實例5、過一點作直線的垂線7、兩角、一邊作三角形6、三邊作三角形8、一角、兩邊作三角形姓名過三點作圓【】不共線的A、B、C三點過三點作【求作】過該三點之圓【作法】連接AB,連接AC;分別作出線段AB、AC的中點D、E;過D作AB的垂線,過E作AC的垂線,兩垂線相交于O;以O為圓心OA長為半徑作圓,即為求作之圓.作頂點分別在三平行線上的正三角形【】平行直線L1、L2、L3o【求作】正ABC,使三個頂點分別落在三條平行線上.【作法一】L1上任取一點D為頂點,作正三角形ADBE,使B、E落在L2三頂點在三平行上圖中虛線為正三角形簡易作法；