1、第十一章全等三角形綜合復(fù)習(xí)切記：“有三個角對應(yīng)相等”和“有兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等”的兩個三角形不一定全等。例1.如圖，A,F,E,B四點共線，ACCE,BDDF,AEBF,ACBD。求證:ACFBDEo例2.如圖，在ABC中，BE是NABC的平分線，ADBE,垂足為D。求證:21Co例3.如圖，在ABC中，ABBC,ABC90。F為AB延長線上一點，點E在BC上,BEBF,連接AE,EF和CF。求證：AECF。例4.如圖，ABCD,ADBC，求證：ABCD。例5.如圖，AP,CP分別是ABC外角MAC和NCA的平分線，它們交于點P。求證:BP為MBN的平分線。AP例6.如圖，D是ABC的

2、邊BC上的點，且CDAB,ADBBAD,AEABD的中線。求證：AC2AEo例7.如圖，在ABC中，ABAC,12,P為AD上任意一點。求證:ABACPBPCo、選擇題:1.能使兩個直角三角形全等的條件是A.兩直角邊對應(yīng)相等C.兩銳角對應(yīng)相等同步練習(xí)B.一銳角對應(yīng)相等D.斜邊相等2.根據(jù)下列條件，能畫出唯一ABC的是（）A.AB3,BC4,CA8B.AB4,BCC.C60°,B45°,AB4D,C90°，AB3.C如圖，已知1D；BA.4個2,ACADEo其中能使B.3個，增加下列條件：ABABCAED的條件有（C.2個3,A30°AE)；BCED；D.

3、l個4.如圖,A.c.DAECBEDEA不全等于CBE5.如圖，已矢口ABA.67°CD,BC二、填空題：6.如圖，在CD:AD2:3,ABC中，AC10cm7.如圖，已知ABDC,AD，AC,BD交于E點，下列不正確的是0B.CEDED.EAB是等腰三角形AD，B23°,則D等于(B.4cABC的平分線BD交AC于點D,且，則點D到AB的距離等于cmBC，E,F是BD上的兩點，且BEAEB100°,ADB30°,貝ijBCF8.將一張正方形紙片按如圖的方式折疊，BC,BD為折痕，則CBD的大小為9.如圖，在等腰RtABC中，C90°,ACBC

4、,AD平分BAC交BC于D,DE10 .如圖，點D,E,F,B在同一條直線上,BD10,BF2，貝ijEF；ABZCD,AE/CF，且AECF,若三、解答題：11 .如圖，ABC為等邊三角形，點M,N分別在BC,AC上，且BM交于Q點。求AQN的度數(shù)。CN,AM與BNBM12.如圖，ACB90°,ACBC,D為AB上一點，AECD,BFCD,交CD延長線于F點。求證：BFCEoB答案吃JU例i.思路分析：從結(jié)論acfBDE入手，全等條件只有ACBD；由AEBF同時減去EF得到AFBE，又得到一個全等條件。還缺少一個全等條件，可以是CFDE,也可以是ABo由條件ACCE,BDDF可得A

5、CEBDF90。，再加上AEBF,ACBD,可以證明ACEBDF,從而得到AB。解答過程：QACCE,BDDFACEBDF90°在RtACE與RtBDF中AEBFQACBDARtACERtBDF(HL)ABQAEBFAEEFBFEF,即AFBE在ACF與BDE中AFBEQABACBDACFBDESAS)解題后的思考：本題的分析方法實際上是“兩頭湊”的思想方法：一方面從問題或結(jié)論入手,看還需要什么條件；另一方面從條件入手，看可以得出什么結(jié)論。再對比“所需條件”和“得出結(jié)論”之間是否吻合或具有明顯的聯(lián)系，從而得出解題思路。小結(jié)：本題不僅告訴我們?nèi)绾稳ふ胰热切渭捌淙葪l件，而且告訴我

6、們?nèi)绾稳シ治鲆粋€題目，得出解題思路。例2.思路分析：直接證明21C比較困難，我們可以間接證明，即找到，證明2且1C。也可以看成將2“轉(zhuǎn)移”至ijo那么在哪里呢？角的對稱性提示我們將AD延長交BC于F,則構(gòu)造了4FBD,可以通過證明三角形全等來證明N2=ZDFB,可以由三角形外角定理得NDFB=Zl+ZC。解答過程：延長AD交BC于F在ABD與FBD中ABDFBDQBDBDABDFBD(ASA2DFBADBFDB90°又QDFB1C解題后的思考：由于角是軸對稱圖形，所以我們可以利用翻折來構(gòu)造或發(fā)現(xiàn)全等三角形。例3.思路分析：可以利用全等三角形來證明這兩條線段相等，關(guān)鍵是要找到這兩個三角

7、形。以線段AE為邊的ABE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90。到CBF的位置，而線段CF正好是CBF的邊，故只要證明它們?nèi)燃纯伞＝獯疬^程：QABC90°,F為AB延長線上一點ABCCBF90°在ABE與CBF中ABBCQABCCBFBEBFABECBFSAS)AECFo解題后的思考：利用旋轉(zhuǎn)的觀點，不但有利于尋找全等三角形，而且有利于找對應(yīng)邊和對應(yīng)角。小結(jié)：利用三角形全等證明線段或角相等是重要的方法，但有時不容易找到需證明的三角形。這時我們就可以根據(jù)需要利用平移、翻折和旋轉(zhuǎn)等圖形變換的觀點來尋找或利用輔助線構(gòu)造全等三角形。例4.思路分析：關(guān)于四邊形我們知之甚少，通過連接四邊形的對角線，

8、可以把原問題轉(zhuǎn)化為全等三角形的問題。解答過程：連接ACQABAD,ADBC12,34在ABC與CDA中12QACCA43ABCCDA(ASA)ABCDo解題后的思考：連接四邊形的對角線，是構(gòu)造全等三角形的常用方法。例5.思路分析：要證明“BP為MBN的平分線”，可以利用點P到BM,BN的距離相等來證明，故應(yīng)過點P向BM,BN作垂線；另一方面，為了利用已知條件“AP,CP分別是MAC和NCA的平分線”，也需要作出點P到兩外角兩邊的距離。解答過程：過P作PDBM于D,PEAC于E,PFBN于FQAP平分MAC,PDBM于D,PEAC于EPDPEQCP平分NCA,PEAC于E,PFBN于FPEPFQ

9、PDPE,PEPFPDPFQPDPF,且PDBM于D,PFBN于FBP為MBN的平分線。常過解題后的思考：題目已知中有角平分線的條件，或者有要證明角平分線的結(jié)論時,角平分線上的一點向角的兩邊作垂線，利用角平分線的性質(zhì)或判定來解答問題。例6.思路分析：要證明“AC2AE”，不妨構(gòu)造出一條等于2AE的線段，然后證其等于ACo因此，延長AE至F,使EFAE。解答過程：延長AE至點F，使EFAE,連接DF在ABE與FDE中AEFEQAEBFEDBEDEABEFDE(SAS)BEDFQADFADBEDF,ADCBADB又QADBBADADFADCQABDF,ABCDDFDC在ADF與ADC中ADADQA

10、DFADCDFDCADFADCSAS)AFAC又QAF2AEAC2AEo解題后的思考：三角形中倍長中線，可以構(gòu)造全等三角形，繼而得出一些線段和角相等，甚至可以證明兩條直線平行。例7.思路分析：欲證ABACPBPC,不難想到利用三角形中三邊的不等關(guān)系來證明。由于結(jié)論中是差，故用兩邊之差小于第三邊來證明，從而想到構(gòu)造線段ABACo而構(gòu)造ABAC可以采用“截長”和“補短”兩種方法。解答過程：法一：在AB上截取ANAC,連接PN在APN與APC中ANACQ12APAPAPNAPCGAS)PNPCQ在BPN中，PBPNBNPBPCABAC,即AB-AOPB-PC。法二：延長AC至M,使AMAB,連接PM

11、在ABP與AMP中ABAMQ12APAPABPAMP(SAS)PBPMQ在PCM中，CMPMPCABACPBPCo解題后的思考：當(dāng)已知或求證中涉及線段的和或差時，一般采用“截長補短”法。具體作法是：在較長的線段上截取一條線段等于一條較短線段，再設(shè)法證明較長線段的剩余線段等于另外的較短線段，稱為“截長”；或者將一條較短線段延長，使其等于另外的較短線段,然后證明這兩條線段之和等于較長線段，稱為“補短”。小結(jié)：本題組總結(jié)了本章中常用輔助線的作法，以后隨著學(xué)習(xí)的深入還要繼續(xù)總結(jié)。我們不光要總結(jié)輔助線的作法、還要知道輔助線為什么要這樣作，這樣作有什么用處。同步練習(xí)的答案一、選擇題：5.C10.61.A2.C3.B4.C二、填空題：6.47.70°8.90°9.10三、解答題：11 .解：QABC為等邊三角形ABBC,ABCC60°在