1、第8章 IIR數字濾波器的設計主要內容p數字濾波器的基本概念p數字濾波器的技術指標p巴特沃斯模擬濾波器的設計p用脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器p用雙線性變換法設計IIR數字低通濾波器采樣信號濾波8.0 數字濾波器的基本概念p濾波濾波：提取輸入信號中有用的頻率成分，抑制無用的頻率成分的信號處理過程。p數字濾波數字濾波：通過數值運算對輸入信號進行濾波的數字信號處理。p數字濾波器數字濾波器：指輸入、輸出均為數字信號，通過一定運算關系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的器件。 經經 典典 濾濾 波波 器器 現現 代代 濾濾 波波 器器p經典濾波器：輸入信號中的有用的頻率成分

2、和希望濾除的頻率成分占用不同的頻帶，通過選頻濾波器達到濾波的目的。p現代濾波器：信號和干擾的頻帶相互重疊，要利用信號的統計分布規律，從干擾中最佳提取信號，如：維納濾波器、卡爾曼濾波器和自適應濾波器等。無限脈沖響應（無限脈沖響應（IIRIIR）濾波器）濾波器有限脈沖響應（有限脈沖響應（FIRFIR）濾波器）濾波器01( )1MrrrNkkkb zH za z10( )( )NnnH zh n z從網絡結構上面分類低低 通通帶帶 通通高高 通通帶帶 阻阻T 頻率變量以數字頻率表示22ssf T以數字抽樣頻率為周期/ 2s頻率特性范圍：（采樣定理）全全 通通從功能上面分類-幅頻特性低低 通通讓低頻信

3、號通過讓低頻信號通過0 0()jH ec234高高 通通讓高頻信號通過讓高頻信號通過0 0c234()jH e全全 通通讓全部信號通過讓全部信號通過0 0()jH ec234帶帶 通通讓某個特定頻帶信號通過讓某個特定頻帶信號通過帶帶 阻阻不讓某個特定頻帶信號通過不讓某個特定頻帶信號通過0 0()jH e234234()jH e0 0數字濾波器設計的任務p根據濾波要求，尋找濾波器單位脈沖響應h(n)，或濾波器系統函數H(z)。mmnxmhnxnhny)()()()()(NkMkkkknxbknyany10)()()()()()jjjQH eH ee幅頻特性幅頻特性相頻特性相頻特性選頻濾波器選頻濾

4、波器線性相位數字濾波器線性相位數字濾波器8.2 數字濾波器的技術要求| |H(eH(ejwjw)|)|系統的幅頻特性系統的幅頻特性：表示信號通過該濾波器后各頻率成分衰減情況。Q Q()系統的相頻特性系統的相頻特性：反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況。()jH e0 021111psp：通帶截止頻率s：阻帶截止頻率pjjpdBeHeHa0 minmaxlg20dBeHeHajjsmaxmaxlg20阻帶中通帶中通帶中允許的最大衰減：阻帶中允許的最小衰減：對單調下降幅頻特性，通帶內和阻帶內允許的衰減一般用dB數表示，p和s分別定義為：如將|H(ej0)|歸一化為1，上兩式則表示成當幅度衰

5、減到2/2倍時，所對應頻率c，此時P3dB，稱c為3dB3dB截止頻率截止頻率。00()20lg()()20lg()psjpjjsjH edBH eH edBH e00()20lg()()20lg()psjpjjsjH edBH eH edBH e20lg()20lg()psjpjsH edBH edB 20lg()20lg()psjpjsH edBH edB IIRIIR濾波器設計方法濾波器設計方法：p先設計模擬濾波器(AF)的傳輸函數Ha(s)；然后按某種變換，將Ha(s)轉換成數字濾波器的系統函數H(z)。p借助計算機輔助設計在頻域或時域直接進行設計FIRFIR濾波器設計方法濾波器設計方

6、法:p經常采用的是窗函數設計法和頻率采樣法，p用計算機輔助的切比雪夫最佳一致逼近法設計。數字濾波器設計方法模擬濾波器的理論和設計方法已發展得相當成熟，且有若干典型的模擬濾波器可以選擇。如：巴特沃斯巴特沃斯(Butterworth)(Butterworth)濾波器濾波器、切比雪夫切比雪夫( (ChebyshevChebyshev) )濾波器濾波器、橢圓橢圓( (KllipseKllipse) )濾波器濾波器、貝塞爾貝塞爾(Bessel)(Bessel)濾波器濾波器等，這些濾波器都有嚴格的設計公式、現成的曲線和圖表供設計人員使用。 8.3 模擬濾波器的設計)(jaH低通帶通帶阻高通)(jaH)(j

7、aH)(jaH000c)(jaH低通帶通帶阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c)(jaH低通帶通帶阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c)(jaH低通帶通帶阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c各種理想模擬濾波器的幅度特性(1)模擬低通濾波器的設計指標有：p、s、p、s其中：p和s分別稱為通帶截止頻率通帶截止頻率和阻帶截止頻率阻帶截止頻率 p是通帶(=0p)中的最大衰減系數最大衰減系數， s是阻帶s的最小衰減系數最小衰減系數，8.3.1 模擬低通濾波器的設計指標|Ha(j)|0.707ps通帶阻帶過渡帶10cps通帶過渡帶阻帶(dB) 衰減pS0p和s一般用dB數表示。對于

8、單調下降的幅度特性，可表示成：2222()10lg()()10lg()apapasasHjHjHjHj2222()10lg()()10lg()apapasasHjHjHjHj|Ha(j0)|22222()10lg()()10lg()apapasasHjHjHjHj|Ha(j0)|22222()10lg()()10lg()apapasasHjHjHjHj2210lg()10lg()papsasHjHj2210lg()10lg()papsasH jH j如果=0處幅度已歸一化到1，即:|Ha(j0)|=1圖中c稱為3dB3dB截止頻率截止頻率，因 ()1/2, 20lg()3acacHjHjdB(

9、)1/ 2, 20lg()3acacHjHjdBHa(s)： 模擬濾波器系統函數Ha(j): 模擬濾波器頻率響應函數(傳輸函數)p通帶邊界頻率：輸入信號落在通帶中的頻率成分通過濾波器后衰減足夠小。s阻帶邊界頻率：輸入信號落在阻帶中的頻率成分通過濾波器后衰減足夠大。0，p：通帶p, s：過渡帶s，：阻帶c ：3dB截止頻率(2)用模擬濾波器逼近方法設計數字IIR濾波器步驟：p給出模擬濾波器的技術指標；p設計傳輸函數Ha(s)：使其幅度平方函數滿足給定指標ap和as，|Ha(j)|2=Ha(j)Ha*(j)=Ha(s)Ha(-s)|s=jp確定Ha(s)：系統Ha(s)應是穩定的系統，因此，極點應

10、位于S左半平面內。巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數|Ha(j)|2221()1()aNcHjc，幅度迅速下降，N越大，幅度下降越快，過渡帶越窄。=0，|H(j)|=1；=c，|H(j)|=c是3dB截止頻率。()1/ 2, 20lg()3acacHjHjdBN: 濾波器階數。8.3.2 Butterworth低通濾波器將幅度平方函數|Ha(j)|2寫成s的函數：21( )()1()aaNcHs Hssj此式表明幅度平方函數有2N個極點，極點sk用下式表示：11 21()222( 1)()kjNNkccsje 其中，k=0,1,(2N-1)10( )()NcaNkkHsss2N個極點等間隔分布在

11、半徑為c的圓上，間隔是/N rad，左半平面N個點構成Ha(s)傳輸函數，右半平面N個點構成Ha(-s)傳輸函數。由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設計統一，將所有的頻率歸一化。采用對3dB截止頻率c歸一化，歸一化后的Ha(s)表示為：101( )()aNkkccHsss101()()aNkkHppp只要知道濾波器的階數N，可得歸一化的傳輸函數，去歸一化p=j=s/c ,可得到實際的傳輸函數Ha(s)令s/c=j/c，=/c，稱為歸一化頻率，令p=j，p稱為歸一化復變量，歸一化巴特沃斯的傳輸函數為：歸一化極點pk=ej(+(2k+1)/2N)，k=0,1,N-1。巴特沃斯濾波器的設計步驟(1)

12、根據給出的技術指標P、S、p、S，求濾波器階數NNcajH22112lg10papjHa2lg10sasjHa10/2101paNcp10/2101saNcs11011010/10/psaaNps11011010/10/psaaNpspssp11011010/10/psaaspkspspkNlglgN取值N(2) 求歸一化極點pk，確定歸一化傳輸函數Ha(p)p 根據求極點公式： pk=ej (+(2k+1)/2N)，k=0,1,N-1。再代入：p或根據階數N，查表P157表6.2.1得到極點和歸一化傳輸函數101()()aNkkHppp阻帶指標有富裕度通帶指標有富裕度(3)求3dB截止頻率c

13、由:|H(j)|2=1/1+(/c)2N=p時：10/2101paNcpNapcp211 . 0110Nascs211 . 0110(4) 將Ha(p)去歸一化，得到實際的濾波器傳輸函數Ha(s) 將p=s/c，代入Ha(p)中得：Ha(s)=Ha(p)| p=s/c。 表6.2.1 巴特沃斯歸一化低通濾波器參數 表示兩極點P1、PN-2例例已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減p=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減s=30dB，按照以上技術指標設計巴特沃斯低通濾波器。解解：(1) 設計模擬濾波器的指標為 p=2fp=104(rad/s)， ap=2dB s=2fs=2.

14、4104(rad/s)， as=30dB (2) 確定濾波器的階數N3223.411101101 . 01 . 0psaaspk0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspassppkffNN 取N為525. 44 . 2lg3223.41lglglgspspkN(3) 求極點代入歸一化傳輸函數公式401( )()akkHppp5745632541530,jjjjjepepepepepNkjkep2/122/1直接查表法0122334451)(bpbpbpbpbppHa0000. 1,5878. 08090. 0,9511. 03090. 0

15、j j11618. 11618. 01)(22ppppppHaN=5,直接查表極點形式：分母多項式的形式：分母因式的形式：(4) 將Ha(p)去歸一化，先求3dB截止頻率c554233245432( )10cacccccHssbsbsbsbsbb0=1.0000、b1=3.2361、b2=5.2361、b3=5.2361、b4=3.2361(5) 將p=s/c代入Ha(p)中得到：skrad Napcp/2755. 52110211 . 0利用模擬濾波器設計IIR數字濾波器設計過程：8.4 脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器設計技術成熟有相當簡便的公式和圖表模擬濾波器)(sHaAF由此設計

16、數字濾波器)(zHDF要求DF特性模仿AF的特性實際上是個映射問題Mapping離散時間域(Z平面)轉換關系連續時間域(S平面) 轉換后的H(z)穩定且滿足技術要求，對轉換關系提出兩點要求：p(1)因果穩定的模擬濾波器轉換成數字濾波器，仍是因果穩定的。 p(2)數字濾波器的頻率響應模仿模擬濾波器的頻響，s平面的虛軸映射z平面的單位圓，相應的頻率之間成線性關系。Re(z)jIm(z)0z平面平面1z1z2 j j 0S平面平面S1xS2x滿足上述轉換關系的映射方法有：p脈沖響應不變法p雙線性變換法使h(n)模仿ha(t)，讓h(n)正好等于ha(t)的采樣值8.4.1 脈沖響應不變法的基本思想H

17、a(s)LT-1Ha(s)ha(t)時域采樣時域采樣h(n)ZTh(n)H(z)脈沖響應不變法是一種時域上的變換方法。脈沖響應不變法是一種時域上的變換方法。8.4.2 變換方法(1) 設模擬濾波器Ha(s)只有單階極點，且分母多項式的階次高于分子多項式的階次，將Ha(s)用部分分式表示： 1( )NiaiiAHssssi為Ha(s)的單階極點u(t)為單位階躍函數11( )( )( )iNs taaiih tLTHsAe u t拉氏變換和逆拉氏變換dteththLTsHstaaa)()()(jcjcstaaadsesHjsHLTth)(21)()(1NiiiassAsH1)(Nitsiaaie

18、AsHLTth11)()(22)(ssHa)(sin)(tutethta22)(sssHa)(cos)(tutethta拉氏變換逆拉氏變換逆拉氏變換的性質對ha(t)進行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到：對上式進行Z變換，得到數字濾波器的系統函數H(z)：結論結論:(1) S平面的單極點s=si映射到Z平面的極點z=esiT。(2) Ha(s)部分分式的系數與H(z)部分分式的系數相同1( )()()iNs nTaiih nhnTAeu nT11( )1iNis TiAH zez(2) Ha(s)有共軛復數對極點Ha(s)的極點si一般是一個復數，以共軛成對的形式出現，將一對復數共軛極點放在一起

19、，形成一個二階基本節。基本節有兩種形式。)(cos)()(111tutesHLTthtaa21211)()(:sssHa形式一極點-1j1進行進行Z Z變換變換+=0nnnT1jnT1jnT1nnz)ee(21ez )n( h)z(H1111121211cos12cosTTTzeTzeTze對ha(t)進行等間隔采樣)(cos)()(11nTunTenthnhnTaAF二階基本節形式一12211:( )()aH ss形式二極點-1j1+=0nnnT1jnT1jnT1nnz)ee(21ez )n( h) z(H1111112211112121,()sin1 2cosTTTjsz eTz eTz

20、e )(sin)()(111tutesHLTthtaa)(sin)()(11nTunTenthnhnTa進行進行Z Z變換變換對ha(t)進行等間隔采樣AF二階基本節形式二(3)S平面和Z平面之間的映射關系1.拉氏變換與Z變換之間的映射關系：(1) 設ha(t)的采樣信號表示為:(2) 對 進行拉氏變換，得到( )( ) ()aanhthttnT( )aht( )( ) =( ) ()()staastsnTaannHsh t edth ttnTedth nT e( )()snTaanHsh nT ennznhzH)()(sTze( )( )sTaz eHsH z上式表明了理想采樣信號的拉氏變換

21、與相應的序列h(n)的Z變換之間的映射關系。sTzesj jzreTreT 0,10,10,1rrr頻率域的坐標變換是線性的0時，S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(r=|z|0時，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外(r=|z|1)以上分析結論：若Ha(s)是因果穩定的，則轉換后的H(z)也是因果穩定的。j0-/T3/T-3/T/TS平面1Re(z)jIm(z)0Z平面因果穩定的分析當不變，模擬角頻率變化2/T整數倍，映射值不變，S平面上每一條寬度為2/T的水平橫帶都重迭地映射到Z平面的整個全平面上p每條水平橫帶的左半部分映射到Z平面單位圓內；p水平橫帶右半部分映射到Z平面的單位圓外p

22、j虛軸上每2/T段都對應著單位圓一周2(),jM TsTTj TTTeeeeeMz=esT是周期函數j0-/T3/T-3/T/TS平面1Re(z)jIm(z)0Z平面由上面分析結果：pS平面與Z平面的映射關系滿足轉換條件；p但存在著多值多值(s)(s)單值單值(z)(z)映射關系。DF和AF頻響特性之間的關系結論結論： 是 以2/T為周期的周期延拓函數。如果ha(t)頻帶不是限于 ，則會在 附近產生頻譜混疊，對應數字頻率在 產生頻譜混疊12()j TakH eHjjkTT12()jakkH eHjTT)(TjeH)( jHaTT說明說明：采用脈沖響應不變法將AF變換為數字DF時pHa(s)沿虛

23、軸以s=2/T為周期進行周期延拓；p再經過z=esT的映射關系映射到Z平面上，從而得到H(z)。1()()1( )()1( )()sTaaskaaskasz ekHjHjjkTHsHsjkTH zHsjkT 由采樣信號的拉氏變換與相應的序列的Z變換之間的映射關系：(3)DF的頻響是AF頻響的周期延拓)(jeH0T0T)( jHa頻率混疊sTez (1)雖然)(sHa)(zH直接映射但并非)(sHa而是)(zH映射注意：只有AF頻響限于/T之內，DF頻響才不失真地復現AF頻響，否則，設計出來的DF在w=附近產生頻率混疊。(2)采樣信號的拉氏變換是其模擬信號的拉氏變換以2/T為周期，沿虛軸進行周期

24、化。只適合設計帶限濾波器，如：低通、帶通濾波器的設計，不適合高通、帶阻濾波器的設計。假設 沒有頻率混疊現象，即滿足： ()aHj()0,/aHjT 將關系式s=j代入，=T，代入得到：1()()1( )()1( )()sTaaskaaskasz ekHjHjjkTHsHsjkTH zHsjkT 1()(),jaH eHjTT數字濾波器的頻響可以很好模仿模擬濾波器的頻響脈沖響應不變法的應用優點：p頻率變換是線性關系；=T，數字濾波器可以很好重現模擬濾波器的頻響特性；p數字濾波器的單位脈沖響應完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應，時域特性逼近好；缺點：p有頻譜混迭失真現象；(S平面到Z平面有多值映射關

25、系) p由于頻譜混迭，使應用受到限制。(T失真，但運算量,實現困難)脈沖響應不變法的優缺點例例已知模擬濾波器的傳輸函數Ha(s)為用脈沖響應不變法將Ha(s)轉換成數字濾波器的系統函數H(z)解解：首先將Ha(s)寫成部分分式：極點為：根據： ，H(z)的極點為：20.5012( )0.64490.7079aHsss0.32240.3224( )0.32240.77720.32240.7772ajjHssjsj12(0.32240.772),(0.32240.7772)sjsj sTze1212,s Ts Tzeze按照： ，經過整理，得到T=1s時用H1(z)表示，T=0.1s時用H2(z)

26、表示，則：11( )1iNis TiAH zez111212120.3276( )1 1.03280.2470.0485( )1 1.93070.9375zH zzzzHzzz111212120.3276( )1 1.03280.2470.0485( )1 1.93070.9375zH zzzzHzzz2-6449. 01 -1-3224. 0)7772. 0cos(2-1)7772. 0sin(3224. 02-)(zeTzzTezHT很輕的混疊現象嚴重的混疊現象將Ha(j)、H1(ejw)、H2(ejw)的幅度特性用它們最大值歸一化后，得到它們的幅度特性曲線例8.4.2 用脈沖響應不變法設

27、計數字低通濾波器，要求通帶和阻帶具有單調下降特性，指標如下： p=0.2rad, p=1 dB s=0.35rad, s=40 dB解 根據間接設計法的基本步驟求解：(1) 將數字濾波器設計指標轉換為相應的模擬濾波器指標。設采樣周期為T，則dBasradTTdBasradTTsssppp40,/3 . 01,/2 . 0(2) 設計相應的模擬濾波器，得到模擬系統函數Ha(s)。根據單調下降要求，選擇巴特沃斯濾波器。取T=1 s，則1696. 0110110,5714. 035. 02 . 0/3 . 0/2 . 01 . 01 . 0sppssppsssppksradTsradT代入(8.3.

28、11)式，得到階數N：取N=4。由(8.3.13)式求出3 dB截止頻率：查表得到四階巴特沃斯歸一化低通原型：1703. 35714. 0lg1696. 0lglglgpspskN8355. 011021 . 0NSc4123416131. 241. 36131. 21)(kkkppApppppG其中A1=0.3536+j0.3536A2=0.3536-j0.3536A3=-0.8536+j0.8536A4=-0.8536-j0.8536p1=-0.3827+j0.9239p2=-0.3827-j0.9239p3=-0.9239+j0.3827p4=-0.9239-j0.3827去歸一化： (

29、3) 將模擬濾波器系統函數Ha(s)轉換成數字濾波器系統函數H(z):4141| )()(kkkkkccspassBpsApGsHcsk=cpk, Bk=cAk 用T=1 s和T=0.1 s設計的模擬濾波器和數字濾波器幅頻特性曲線如圖8.4.4所示。 43213214114111127. 06853. 06546. 19184. 110154. 01027. 00456. 011)(zzzzzzzzeBzeBzHkTskkTskkk思考題p思考T對濾波器的影響。nHa(s)nH(z)圖8.4.4 四階模擬、 數字濾波器幅頻特性曲線幅度 / dB2000模擬頻率 / Hz204060模擬濾波器頻

30、響曲線(T1s)0.10.20.30.420020406001234幅度 / dB數字頻率 / rad數字濾波器頻響曲線(T1s)圖8.4.4 四階模擬、 數字濾波器幅頻特性曲線模 擬 濾 波 器 頻 響 曲 線 ( T 0.1s)幅 度 / dB200 20 40 60012345數 字 濾 波 器 頻 響 曲 線 ( T 0.1s)200 20 40 60幅 度 / dB01234模 擬 頻 率 / Hz數 字 頻 率 / radp脈沖響應不變法的主要缺點:產生頻率譜混產生頻率譜混迭現象迭現象。p原因：模擬低通的最高頻率超過了折疊頻率/T，數字化后在=形成頻譜混疊現象。p解決方法：采用非線

31、性壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到/T之間，而后再用z=esT轉換到Z平面上。 8.5 雙線性變換法設計IIR數字低通濾波器8.5.1雙線性變換法消除頻譜混迭的原理雙線性變換法用正切變換實現非線性頻率壓縮，設Ha(s)，s=j，經過非線性頻率壓縮后用Ha(s1)， s1=j1 表示。則：121tan()2TT 0/T-/T1T：時域采樣間隔0- /T0/T- 1(1) 非線性壓縮非線性壓縮：(S平面S1平面映射)由上面可得：(-，+)，1(-/T，+/T) xjxthjxjjxthtantan22tan11TjthjTTjthTeeTeeeeTTjthTTTjjsTsTsTjTjTjT

32、j12/2/2/2/112121122 222tan2111111推出(2) S1平面到Z平面的映射將S1平面映射到Z平面上，用標準映射z=es1T。代入上式11112 112111zzTeeTsTsezTsTssTsTz22映射過程：從從s s平面映射到平面映射到s s1 1平面，再從平面，再從s s1 1平面映射到平面映射到z z平面平面。pS平面與Z平面是一一對應的單值映射一一對應的單值映射關系，消除了脈沖響應不變法的多值映射關系，消除了頻譜混迭現象。p只要模擬濾波器Ha(s)因果穩定，其極點應位于S左半平面，轉換成的H(z)也是因果穩定的，位于單位圓內。(3)雙線性不變法的映射關系2/

33、T tan(1T)001j1j/T-/TZ=es1TS平面S1平面Re(z)jIm(z)0z平面S 2/T th(S1T)8.5.2模擬頻率和數字頻率之間的關系將：z=ej，s=j，代入SZ平面映射關系式：112 1122zsTzsTzsT-0W)2(2wtgT 說明：s平面上與z平面的成非線性正切關系，當增加時，增加得很快，當趨于時，趨于，由于這種非線性關系，消除了頻率混疊現象。2 1121tan2jjejTeT 2tan2)2/cos(2)2/sin(221122/2/TjjeeTeeTjsjjjj優點p消除了頻譜混迭失真；頻率映射p表明S平面與Z平面是一一對應的單值映射關系，避免了脈沖響

34、應不變法的頻譜“混迭”現象。缺點p以頻率變換的非線性為代價，模擬域和數字域進行非線性映射，其瞬時響應瞬時響應不如脈沖響應不變法好。8.5.3 雙線性變換法特點2 1121tan2jjejTeT p如果的刻度是均勻的，通過非線性正切關系，映射到z平面的刻度不均勻，隨增加越來越密，即邊界頻率發生畸變。p如果模擬濾波器具有片段常數特性，則轉換到z平面仍具有片段常數特性。適于片段常系數濾波器的設計。幅度特性失真相位特性失真8.5.4 幅度失真和相位失真對邊緣臨界頻率點產生的畸變，可通過頻率的預畸變加以校正。例：數字低通濾波器的兩個截止頻率：p和s，如果按照線性變換所對應的模擬濾波器的截止頻率分別為：再

35、利用非線性的頻率變換公式，得到的數字濾波器的截止頻率就不等于原來的頻率 。解決方法：數字頻率轉換成模擬頻率時，先進行預畸變的處理：pp /Tss /T2 1121tan2jjejTeT 8.5.5 雙線性變換法的預畸變例例：已知Ha(s)=a/(a+s)，a=1/(RC)，求H(z)解解：1.用脈沖響應不變法時，先確定極點：s=a，則 2.用雙線性不變法時111)(zezHTT為采樣間隔 11112222)1 ()()(11zTTzTsHzHzzTsa設:a1000,T=0.001和T=0.002，H1(z)和H2(z)的歸一化幅頻特性如圖所示雙線性變換法脈沖響應不變法模擬濾波器幅頻特性250

36、Hz500Hz存在混疊不存在混疊，曲線形狀差別大(1)確定數字低通濾波器的性能指標；(p，ap，s，aS)(2)確定相應模擬低通濾波器的性能指標；p脈沖響應不變法：=/Tp雙線性變換法：=2/Ttan(1/2)預畸變8.6模擬濾波器設計IIR數字低通濾波器(3)設計模擬低通濾波器的傳輸函數Ha(S)；(4)將Ha(S)轉換成數字濾波器系統函數 H(z)；p利用脈沖響應不變法設計時，應先確定Ha(s)極點，按z=esT映射極點，并根據公式表示出H(z)。p若利用雙線性變換法，設采樣間隔為T，則11112| )()(zzTsasHzH模擬濾波器設計IIR數字低通濾波器例：要求設計一數字低通濾波器，

37、指標為：在通帶內頻率低于0.2rad/s時，容許幅度誤差在1dB以內；在頻率0.3之間，阻帶衰減大于15dB。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。分別用脈沖響應不變法和雙線性變換法設計H(z)。(dB)w11500.30.2數字域指標圖對應模擬域指標圖(dB)1150 sp解解：采用脈沖響應不變法(1)數字域指標: P=0.2 rad，p=1dB，S=0.3 rad，S=15dB(2)模擬域指標：取T=1， 則：p=wp/T=0.2rad/s，s=0.3rad/s， P=1dB， s=15dB。(3)設計模擬低通AF：要求采用巴特沃斯低通濾濾器,884. 5lglgN 1.5; ;092.

38、0110110SPSP1 . 01 . 0 SPPSspkkSP ,884.5lglgN 1.5; ;092.0110110SPSP1 .01 .0SPPSspkkSP,884.5lglgN 1.5; ;092.0110110SPSP1 .01 .0 SPPSspkkSP 取N=6，查P167頁表6.2.1，得歸一化傳輸函數Ha(p)=(P180頁）去歸一化：c=0.7032 rad/s將p=s/c代入Ha(p)得到去歸一化傳輸函數(4)求DF的H(z)求出Ha(s)的極點si由映射z=esit確定出相應數字濾波器的傳輸函數H(z)180.()()(頁PpHsHCSPaa62652 43 34

39、 25665432( )3.86377.46419.14167.46413.86370.12092.7163.6913.1791.8250.1210.1209accccccH sssssssssssss 1112121120.28710.44662.14281.1454( )10.12970.69491 1.06910.36991.85580.630410.99720.2570zzH zzzzzzzz用脈沖響應不變法設計的數字低通濾波器的幅度特性用雙線性變換法設計數字低通IIR濾波器(1)數字域指標: p=0.2 rad、p=1dB、s=0.3 rad、s=15dB(2)模擬域指標(預畸變)：

40、取T=1 p=1dB， s=15dB21tan,122tan0.10.65/ ,12tan0.151.019/ ,15ppPpssTTrad sdBrad sdB 21tan,122tan0.10.65/ ,12tan0.151.019/ ,15ppPpssTTrad sdBrad sdB 21tan,122tan0.10.65/ ,12tan0.151.019/ ,15ppPpssTTrad sdBrad sdB (3)設計模擬低通AF：要求采用巴特沃斯低通濾濾器306. 5lglgN1.706 ;092. 0110110spsp1 . 01 . 0sppsspkksp取N=6，查P167頁

41、表6.2.1，得歸一化傳輸函數Ha(p)去歸一化： c=0.7662 rad/s去歸一化傳輸函數Ha(s)=Ha(p)|p=s/c(4)求數字Filter的H(z)2220.2024( )(0.3960.5871)(1.0830.5871)(1.4800.5871)aHsssssss111 61212121120.0007378(1)( )( )(1 1.2680.7051)(1 1.0100.358)110.90440.2155azszzH zHszzzzzz11161212121120.0007378(1)()( )(11.2680.7051)(11.0100.358)110.90440.

42、2155azszzHzHszzzzzz111 61212121120.0007378(1)( )( )(1 1.2680.7051)(1 1.0100.358)110.90440.2155azszzH zHszzzzzz111 61212121120.0007378(1)( )( )(1 1.2680.7051)(1 1.0100.358)110.90440.2155azszzH zHszzzzzz8.7 高通、帶通、帶阻濾波器的設計各類模擬濾波器的設計過程圖 HPBPBS指標LP指標G(j)傳輸函數HHP(j)HBP(j)HBS(j)傳輸函數頻率變換頻率變換設計AF濾波器LP其他AF濾波器H

43、P, BP, BS設：傳輸函數G(s)H(s)歸一化截止頻率歸一化拉氏變量p=jq=j歸一化傳輸函數G(p)H(q)|HHP(j)|10.50sp高通濾波器|HBP(j)|10.50plslphsh帶通濾波器|HBS(j)|10.50plslshph帶阻濾波器8.7.1 模擬高通濾波器1) 低通到高通的頻率變換和之間的關系為上式即是低通到高通的頻率變換公式，如果已知低通G(j)，高通H(j)則用下式轉換：11()()H jG j圖6.2.9 低通與高通濾波器的幅度特性模擬高通濾波器的設計步驟p(1)確定高通濾波器的技術指標：通帶下限頻率p，阻帶上限頻率s，通帶最大衰減p，阻帶最小衰減s。p(2

44、)確定相應低通濾波器的設計指標：按照上式，將高通濾波器的邊界頻率轉換成低通濾波器的邊界頻率，各項設計指標為：低通濾波器通帶截止頻率p=1/p；低通濾波器阻帶截止頻率s=1/s；通帶最大衰減仍為p，阻帶最小衰減仍為s。p(3)設計歸一化低通濾波器G(p)。p(4)求模擬高通的H(s)。將G(p)按照上式 ，轉換成歸一化高通H(q)，為去歸一化，將q=s/c代入H(q)中，得qp/1( )( )cpsH sG p例例 設計高通濾波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性單調下降，fp處最大衰減為3dB，阻帶最小衰減s=15dB。解解: : 高通技術要求： fp=200Hz,p=3dB; f

45、s=100Hz,s=15dB 設計歸一化低通G(p)。采用巴特沃斯濾波器，故0.10.1321010.181012lg2.47,3lg1( )221psspssppspspkkNNG pppp spspff /求模擬高通H(s)：33223( )( )222cpcccscpsH sG psssf 8.7.2 帶通濾波器設計低通到帶通的頻率變換112220/,/,/sssslluuluBBBB 帶通與低通濾波器的幅度特性帶通與低通濾波器的幅度特性B=u-l與與的對應關系的對應關系 由與的對應關系:2202201upul低通到帶通的頻率變換公式低通到帶通的頻率變換公式歸一化低通到帶通公式推導202

46、jjp將q=j代入上式，得到：為去歸一化，將q=s/B代入上式，得到：22()()( )( )luulluulspsspsH sG p qqp202模擬帶通濾波器設計步驟(1)確定模擬帶通濾波器的技術指標，即：帶通上限頻率u，帶通下限頻率l下阻帶上限頻率s1,上阻帶下限頻率s2 通帶中心頻率20=lu，通帶寬度B=u-l與以上邊界頻率對應的歸一化邊界頻率如下：121220,sslssluuluBBBB(2) 確定歸一化低通技術要求：s與-s的絕對值可能不相等，一般取絕對值小的s，這樣保證在較大的s處更能滿足要求。 通帶最大衰減仍為p，阻帶最小衰減亦為s。(3) 設計歸一化低通G(p)。(4) 由(6.2.45)式直接將G(p)轉換成帶通H(s)。 22222010211,