1、精選優質文檔-傾情為你奉上微分中值定理應用舉例單調性與極值1.函數在上，比較的大小.解：在上滿足拉氏中值定理條件，存在，使得.由于，所以單調增加，而，所以，即.2.函數在上，比較的大小.解：由于，所以單調增加，而，所以在上，同上題討論有3.在內,判斷在內的符號.解：，所以在內為奇函數，為偶函數，為奇函數，在內，所以在內.4.已知函數在區間內具有二階導數,且嚴格遞增, ，則：A.在內均有；B.在內均有；C. 在內均有，在內均有；D. 在內均有，在內均有.解：令，則，0減0增極小值選擇B.5 .設處處可導,則A.必；B. 必C. 必；D. 必解：選擇D (A,C的反例，B的反例)6.設函數在上有界

2、且可導，則A. 必 ;B. 存在，必；C. 必; D. 存在，必；解：選擇A (B,C,D的反例)7. 設函數在的鄰域內連續,且，則在處A. 不可導; B.可導,且; C.取極大值; D.取極小值解：所以所以在可導，且.，而，所以在的某鄰域內，所以在處取極小值.8. 為恒大于0的可導函數,且，則當時A. ；B. ;C. ; D. 解：，所以為減函數，即當時，又為恒大于0，所以，選擇A9.設有二階連續導數,且，A.是的極大值;B. 是的極小值;C. 是曲線的拐點;D. 不是的極值;也不是曲線的拐點.解：，所以在的鄰域內，即曲線是凹的，又，所以是的極小值.選擇B10.設函數在的某個鄰域內連續, 為

3、的極大值,則存在,當時,必有:A. ； B. ;C.； D. .解：為的極大值，則存在，和時，都有，所以時, ，所以A,B都不正確.，由于，所以.選擇C11.設函數在內有定義, 是函數的極大值點,則A. 必是的駐點;B.必是的極小值點C. 必是的極小值點; D.對一切都有解：選擇B12. ，則在處A. 導數存在,且； B.取極大值; C.取極小值; D . 導數不存在解：，所以在的某去心鄰域內有，所以在處，取極大值.9 .證明：的最大值證明：令，所以時，且時，時，所以時的唯一極大值，也是最大值.而的最大值必是中的一個，而，所以是的最大值.不等式的證明1.當時，證明：；證明：令，所以時單調減，而

4、，所以時，即.2. 當時，證明：；證明：時，令， 單調減，而，所以時，即.方法二，時， ，令，則在區間上用拉格朗日中值定理有：其中，所以，即有.3.證明：；證明：設則，令，得唯一駐點，所以是的極小值點，所以又所以，即.4.當，證明 ；證明：因為，所以，所證等價于零，則，所以時單調增加，而，所以，即，即.5.，證明：；證明：只需證令，則，所以單調減少，而，所以時即單調減少，而，所以時，即，即.6.設，證明：證明：只需證明，設，所以單調增加，又，所以時，故單調增加.因此，時，而，所以，即時，.所以.7設在上可導，且單調遞減，證明：對任意正數，都有證明：不妨設，令則，當時有，由于單調遞減所以，即，所

5、以單調增，即時所以時，即.8.設，證明：；證明： 存在，所以可導，所以可導連續，又，所以，既有令， ，所以是的唯一極小值點，所以，既有.9.，證明：；證明：令，令，所以時，單調減，所以，而此時，所以，而所以時，時，所以在時單調減少，且，所以時，即.10. ，證明：；證明：令，則，令由上題知時，所以即在時單調減少.所以時，所以，即11.證明：時，；證明：令，時，曲線在上是凸的，而，時，即.12.設在上函數有連續導數，且.證明： 在內有且僅有一個零點.證明：令，則.所以，在內單調增加，時，所以.所以，存在，又，所以在內有根，又，所以單調增加，所以在內有且僅有一個零點.13.設在連續在內存在且大于零

6、，記，證明：在單調增證明：令，則時，所以，所以，即在單調增.關于根的存在及個數問題1.已知，討論實根的個數.解：令，令，由于，所以沒有根，既有由于，由于在內連續，所以至少有一個根.如果方程有兩個實根，則在內滿足拉格朗日中值定理，所以存在，使得，這矛盾，所以只有一個實根.練習：設函數在閉區間上可微,對上的任意,函數的值都在開區間內,且，證明:在內有且僅有一個使得（令）2.求證方程恰有一個實根.(其中為常數,)證明：令，取，則，由在上連續，由介值定理知，存在，使得，所以方程有一個實根.又，由于，所以，即單調增，所以只有一個實根.3.設，求在內根的個數.解：，得唯一駐點，且為函數極小值點，所以在內根

7、的個數為0.練習：確定方程在內根的個數4.時,有且僅有一解,求的取值范圍.解：令，時,有且僅有一解，所以必存在，使得時，所以，反之，如果時，所以單調減，所以有且僅有一解.5. 設在上連續，在內可導，且，證明：1）存在，；2）對任意的，存在，使得分析：要構造一個函數，使其導數中含有因子，且，由于，是的導數，所以可設下面確定，由于，比較，只需，所以證明： 6.設函數在上連續且可導，又則對任意，存在，使分析：所證為，所以，令，如果，在上用羅爾定理，如果，則異號，所以存在，使，在上用羅爾定理7.設函數在上具有二階導數，并且，證明：1）在內；2）在內至少存在一點，使（令）8. 設在上連續,在內可導, 且,證明:存在，使證明：等價于對和在上用柯西中值定理，則存在，使得，所以，對在上用拉格朗日中值定理，有，其中.所以9. 在上連續,在內可導, 且,證明: 存在，使證明：所證等價于在上滿足拉格朗日中值定理條件，所以存在，使得，而，所以存在，使10.設函數在上連續,在內可導,且,證明:必存在使11. 設函數在上具有二階導數，且滿足為非負常數），是內任意一點。1）寫出在處的帶有拉格朗日型余項的一階泰勒公式；2）證明：.解:1) 2) 代人,有,所以12. 設函數在上二次可微, ,求證:證明: 對任意所以取,有13. 設函數在上具有三階連續導數,且,證明: 在內至少存在一點,