1、多邊形面積二等分問題在初中階段平面幾何中，圖形的等分問題比較多，常見的有以下幾種:等分線段，等分角，等分圓，多邊形面積二等分等。線段和角的二等分比較簡(jiǎn)單，任意等分就稍顯復(fù)雜；特別是角的任意等分，著名的“尺規(guī)作圖不能問題”中就有角的三等分問題。現(xiàn)在據(jù)說(shuō)有人發(fā)明了一種工具叫做弧金規(guī)，這種工具不但可以任意等分任意角（包括三等分任意角），還能作一個(gè)正方形與已知圓的面積相等，即化圓為方問題；這樣一來(lái)“尺規(guī)作圖不能問題”中的三個(gè)就被其解決掉了兩個(gè)，只還剩一個(gè)“立方倍積”了。非但如此，這種工具還能在圓弧上取黃金分割點(diǎn)及在任意曲線上任意取段；也就是說(shuō)能任意等分圓周及任意曲線。這項(xiàng)發(fā)明可以說(shuō)是意義重大，但是，這

2、種工具畢竟現(xiàn)在沒有推廣、普及，而且其操作也肯定不如傳統(tǒng)中的直尺和圓規(guī)操作簡(jiǎn)單，再說(shuō)了，使用這種工具作圖是否屬于尺規(guī)作圖還有待于進(jìn)一步論證；所以，本文還是想從傳統(tǒng)的尺規(guī)作圖的角度來(lái)論述一下初中數(shù)學(xué)中常見的有關(guān)幾何圖形特別是多邊形的面積二等分問題。無(wú)論是什么樣的多邊形，都可以用一條直線把它分成兩部分；由于直線相對(duì)于多邊形的方向與位置不同，被分出來(lái)的兩部分面積可能相等，也可能不相等。但無(wú)論直線開始時(shí)如何放置，只要放置好以后我們讓它沿著與直線垂直的方向來(lái)回平移，在直線掃過(guò)整個(gè)多邊形的過(guò)程中，總有一個(gè)位置是使被分出來(lái)的兩部分面積相等，因此，對(duì)于任意多邊形，都應(yīng)該存在無(wú)數(shù)條直線能把它分成面積相等的兩部分；

3、或者換句話說(shuō)，過(guò)多邊形任意邊上的任意一點(diǎn)也都應(yīng)該存在一條直線能把多邊形分成面積相等的兩部分。先說(shuō)三角形的面積二等分問題。對(duì)于三角形來(lái)說(shuō)，由于等底等高的三角形面積相等，所以，三角形任意一邊上的中線都可以把它分成面積相等的兩部分，這個(gè)問題比較簡(jiǎn)單；下面說(shuō)一下過(guò)任意邊上的任意一點(diǎn)作直線平分三角形的問題。如圖，已知P為ABC的邊BC上的任意一點(diǎn)，求作直線PQ,把ABC分成面積相等的兩部分。 作法：1.連接AP；2，取BC的中點(diǎn)D，作DQAP，交AC于點(diǎn)Q;3,作直線PQ，如圖0.則直線PQ就是所求作的直線。證明：設(shè)AD、PQ的交點(diǎn)為O;D為BC的中點(diǎn)，SABD=SACD= SABC, DQAP, SA

4、PQ=SAPD，SAOQ=SPOD S四邊ABPQ=SABD- SPOD + SAOQ= SABD= SABC。直線PQ把ABC分成面積相等的兩部分。為了作出直線PQ，先作出BC邊上的中線AD，然后以這條中線為一條對(duì)角線，以A、P、D為頂點(diǎn)構(gòu)造梯形，這個(gè)梯形的第四個(gè)頂點(diǎn)一定要在三角形的邊上，則另一條對(duì)角線所在的直線PQ就是所求作的直線。這里除了利用了三角形的中線的性質(zhì)以外，還用到了梯形的性質(zhì)，實(shí)際上是利用了等底等高的三角形面積相等的性質(zhì)。此例給出的是點(diǎn)P在A、D之間時(shí)的情形；不過(guò)，有了此例，相信大家都會(huì)作點(diǎn)P在B、D之間時(shí)的直線PQ.由此可以說(shuō)明過(guò)三角形任意一邊上的任意一點(diǎn)都可以作出一條直線把

5、三角形分成面積相等的兩部分。中心對(duì)稱圖形的面積二等分非常簡(jiǎn)單；過(guò)對(duì)稱中心的任意一條直線都把圖形分成面積相等的兩部分。初中幾何中常見的是兩個(gè)中心對(duì)稱圖形的組合圖形，這時(shí)，只要把每一個(gè)圖形的對(duì)稱中心找出來(lái)，然后，過(guò)這兩點(diǎn)作一條直線即可。下面來(lái)說(shuō)一下非中心對(duì)稱圖形的多邊形面積二等分問題。這樣的問題常見的可以分為兩大類別：一、邊數(shù)為奇數(shù)的正多邊形。這類多邊形都是軸對(duì)稱圖形，它們的每條對(duì)稱軸都是各自的面積二等分線。除此之外，由于圖形的對(duì)稱性，過(guò)任意邊上的任一點(diǎn)作面積的等分線也不是太難；現(xiàn)僅以正五邊形為例說(shuō)明一下這類圖形的面積二等分方法。如圖，已知P為正五邊形ABCDE的邊CD上的任意一點(diǎn)，求作直線PQ,

6、把正五邊形ABCDE分成面積相等的兩部分。 作法：1.連接AP；2，取CD的中點(diǎn)F，作FQAP，交AE于點(diǎn)Q;3,作直線PQ，如圖1.則直線PQ就是所求作的直線。作法：1.連接EP；2，取BC的中點(diǎn)F，作FQEP，交AE于點(diǎn)Q;3,作直線PQ，如圖2.則直線PQ就是所求作的直線。證明方法和三角形一樣，就不重復(fù)了。二任意多邊形。任意多邊形中，四邊形的面積二等分最為簡(jiǎn)單；至于其他的多邊形，隨著邊數(shù)的增加，面積二等分的難度會(huì)越來(lái)越大。由于那樣的問題過(guò)于復(fù)雜，實(shí)用性不是太強(qiáng)，再加上初中階段又不常見，所以就不一一說(shuō)明了。接下來(lái)擬就四邊形的面積二等分問題來(lái)詳細(xì)說(shuō)明一下，然后簡(jiǎn)單介紹一下任意五邊形的面積二等

7、分。如圖，已知任意四邊形ABCD，求作一條直線把四邊形ABCD分成面積相等的兩部分。作法：（1）連結(jié)AC、BD;（2）取AC的中點(diǎn)E, 作EFBD交BC于點(diǎn)F；（3）連結(jié)DF.如圖3.則直線DF把四邊形ABCD分成面積相等的兩部分。證明：E為AC的中點(diǎn)，S四邊形ADEB=S四邊形DCBE EFBD，SDEQ=SBFQ ，S四邊形ADFB=SDFC = S四邊形ABCD .用這個(gè)方法，過(guò)四邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)都可以作出一條直線把四邊形分成面積相等的兩部分。再來(lái)說(shuō)一下過(guò)任意邊上的任一點(diǎn)如何作直線把四邊形面積二等分。如圖4，已知任意四邊形ABCD，P為DC上一點(diǎn)，求作一條直線PQ把四邊形ABCD分成面積

8、相等的兩部分。作法：（1）連結(jié)AC、BD;（2）取AC的中點(diǎn)E, 作EFBD交BC于點(diǎn)F；（3）連結(jié)DF.如圖3.則直線DF把四邊形ABCD分成面積相等的兩部分。（4）連接PF,作DQPF交BC于點(diǎn)Q；（5）連接PQ。則PQ即為所求。過(guò)四邊形的頂點(diǎn)且二等分四邊形面積的四條直線兩兩相交，把四邊形的邊分成了八條線段，如圖5；很明顯，其中的每一條線段都有另外一條線段與它是同兩條面積等分線所截得的線段。為了敘述的方便，不妨稱這兩條線段為姊妹線段，如圖5中的DN和BF。這八條線段中的任意一條線段上的任意一點(diǎn)都可以找一條面積等分線作對(duì)角線與之構(gòu)造梯形，這個(gè)梯形的第四個(gè)頂點(diǎn)所在的線段必與這條線段是姊妹線段。

9、所以，有了這四條過(guò)四邊形頂點(diǎn)的面積等分線，就可以過(guò)四邊形任意邊上的任意點(diǎn)作直線把四邊形面積二等分。對(duì)于四邊形面積二等分來(lái)說(shuō)這四條線的作用與三角形的中線的作用是一樣的。由上述作圖過(guò)程可知，不論是三角形，還是四邊形，還是正五邊形，對(duì)于它們的面積二等分，要不就是利用三角形的中線，要不就是利用梯形，目的都是為了得到面積相等的三角形，然后通過(guò)這樣的兩個(gè)三角形的互換，達(dá)到按照既定要求進(jìn)行面積二等分的目的。實(shí)際上，面積相等的三角形并不一定等底等高，只要兩個(gè)三角形底與高之積相等就可以，對(duì)于怎么樣能夠用尺規(guī)作圖作三角形使之底與高之積等于已知常數(shù)，以后再單獨(dú)討論。最后以一個(gè)任意五邊形的面積二等分來(lái)結(jié)束全文。如圖6，已知任意五邊形ABCDE；求作直線AF，把五邊形ABCDE分成面積相等的兩部分。作法：（1）如圖：取BE的中點(diǎn)O, 連結(jié)AO; 連結(jié)CE取