1、電磁學思考題和計算題第二章#電磁學思考題和計算題第二章習題:1、如圖所示，一平行板電容器充電后，A、E兩極板上電荷的面密度分別為b和一設P為兩板間任一點，略去邊緣效應，求:(1)A板上的電荷在P點產生的電場強度EA；(2)E板上的電荷在P點產生的電場強度E(3)A、B兩板上的電荷在P點產生的電場強度E;(T b(4) 若把B板拿走，A板上電荷分布如何？ A板上的電荷在P點產生的電場強度 為多少？解：略去邊緣效應，兩極板上的電荷是均勻分布的電荷，兩極板間的電場是均勻電場。由 對稱性和高斯定理可得#電磁學思考題和計算題第二章#電磁學思考題和計算題第二章(1) A板上的電荷在P點產生的電場強度Eae

2、 (A板法線方向上的單位矢量,2 ；o#電磁學思考題和計算題第二章#電磁學思考題和計算題第二章在P點產生的場強為兩個表面上電荷產生場強的疊加,指向B板)；(2) B板上的電荷在P點產生的電場強度EBe2zo(3) A、B兩板上的電荷在P點產生的電場強度E =EA EB二二e名0 B板拿走后，A板上電荷將均勻分布在兩個表面上，面電荷密度減小為一半#電磁學思考題和計算題第二章#電磁學思考題和計算題第二章探2、證明：對于兩個無限大的平行平面帶電導體板來說，(1) 相向的兩面上，電荷的面密度總是大小相等而符號相反；(2) 相背的兩面上，電荷的面密度總是大小相等而符號相同。(3) 若左導體板帶電+3微庫

3、/米 2,右導體板帶電+7微庫/米的電荷。解：由對稱性可知，在每個面上，電荷必定都是均勻分布的，在兩板間和兩板外的電場必定都是均勻電場，電場強度的方向都與板面垂直。(1) 作柱形高斯面如圖所示，由高斯定理得1- E dS = 0(；2 ；3) SS；0”.汀2 = - ：丁3(2) 根據無限大帶電平面均勻電荷產生電場強度的公式和電場強度的疊加原理，導體內任一點P的電場強度為EpLe ?(-e)e) ，(-e)2 ；o 2 ；o2 ；o2 ；o(二 i2 ；o-；2-；3-；4)e = 03電磁學思考題和計算題第二章；1-4(3) 應用前述結果及電荷守恒定律解得:1 Qi 七2 =_2C/m2&

4、quot;-'2 _：3:二 1 一 :4Qi =(G -2 )SQ2=(匚 3；4)S由此可知，當Qi=Q2時，相向的兩面上無電荷分布，相背的兩面上電荷等量同號;當Ql= - Q2時，相背的兩面上無電荷分布，相向的兩面上電荷等量異號。23、兩平行金屬板分別帶有 等量的正負電荷。兩板的電位差為12oV，兩板的面積都是3.6cm , 兩板相距1.6mm。略去邊緣效應，求兩板間的電場強度和各板上所帶的電量。解：(1)兩板間電場看作均勻電場，兩板的電勢差為U . -U _= E dl -EdU . -U4E7.5 104(V/m)d電場強度的方向由電勢高的板指向電勢低的板。(2 )利用上題結

5、果， 相背的兩面上沒有電荷 ，相向的兩面上電荷面密度大小相等而符號相反。板上的電量為Q - ；S - _ ；0 ES = 2.4 10°C探4、兩塊帶有等量異號電荷的金屬板a和b，相距5.0mm，兩板的面積均為 150 cm2，電量的大小都是2.66 >10-8C,a板帶正電并接地(接地與否對a板的有何影響？)。以地的電位 為零，并略去邊緣效應，問：a b(1) b板的電位是多少？(2) a、b間離a板1.0mm處的電位是多少？解：a、b兩板上的電荷都均勻分布在相向的兩面上,(1)兩板間的電場強度為b -bQlob板的電位為Ub =Ua E dl = 0 Edl =二=1.0

6、漢 103Va a(2) 兩板之間離a板1.0mm處的電位是PPa E dla Edl匕=-2.010l5電磁學思考題和計算題第二章#電磁學思考題和計算題第二章5、三平行金屬板 A、B和C,面積都是200 cm2,AB相距4.0mm, AC相距2.0mm, BC 兩板都接地。如果使 A板帶正電3.0 >10-7C，在略去邊緣效應時，問 B板和C板上感應 電荷各是多少？以地的電位為零，問 A板的電位是多少？:(1) BC兩板都接地，故 兩板上只有向著 A的一面有感應電荷。由對稱性和高斯定理得匚 C AC 二 0Bi 一1気>mmA 習宀唔<-:二.-.J c6，AB = 0”

7、+ %= AB _ ° AC三塊板上電荷量的關系為Qb Q = -QA由高斯定理得ab間的電場強度為EAB = eA(間的電場強度為EAC二 空()#電磁學思考題和計算題第二章#電磁學思考題和計算題第二章聯立解得Q = -1.010"C,Qc = -2.010-C(2)A板的電位為 Ua hEabCabBd AB先dAB-0 S3二 2.3 10 V:A是一個等勢體6、點電荷q處在導體球殼的中心， 殼的內外半徑分別為 Ri和R2，求場強和電位的分布，并畫出E r和U r曲線。解：(1)由咼斯疋理得場強的分布為#電磁學思考題和計算題第二章q4 二；0rE =0q4二；0r2r

8、 :：:RiR:r: R2r R2(2)電位分布為aq4二；0 R2q4 二；0rr ： RR :：: r :：: R2rR2#電磁學思考題和計算題第二章#電磁學思考題和計算題第二章(3) E r和U-r曲線如圖所示#電磁學思考題和計算題第二章#電磁學思考題和計算題第二章7、在上題中，若 q=4.0 >10 C,Ri=2cm , R2=3cm，求:(1) 導體球殼的電位；(2) 離球心r=1cm處的電位；(3) 把點電荷移開球心 1cm，求導體球殼的電位。=120V解：(1)導體球殼的電位為(2)離球心為r處的電位為&： ：q 11qU 二 E dl E dl()300Vr&am

9、p;24 二；0 r R14 二；0R2(3 )導體球殼的電位取決于球殼外表面電荷分布所激發的電場，與點電荷在球殼內的 位置無關。因此導體球殼電位仍為300V。探8、半徑為Ri的導體球帶有電量 q,球外有一個內、外半徑分別R2、R3的同心導體球殼,殼上帶有電荷 Q。(1) 求兩球的電位 U1和U2;7電磁學思考題和計算題第二章#電磁學思考題和計算題第二章(2)兩球的電位差 U;(3)以導線把球和殼連在一起后，U、U2和厶U分別是多少?(4)在情形（1 ）、（2 ）中，若外球接地，U、U2和厶U分別是多少?(5)設外球離地面很遠，若內球接地，情況如何?Q解：（1）由對稱性和高斯定理求得，各區域的

10、電場強度和電位分別為=0r瀉R1 :r : R24二;°r2=0 R2 : r : R3q Q= -2 r r34二；0rU1U2U3U4(2)兩球的電位差為(3)(4)(5)-I q=r E dl 二 q1（r R）內球電位二：=E dl 二r4二;°_ q Q4'： <0 R3q亠Q(r - R3)4二；°rZ111 Q+ l+,R1 R2 R3 丿 4展 o R3*111 Q 1+J+(R1 Er 蘭 R2)R2R3 丿 4疇 ° R3-r E dlR2 e di qT（R2豈r乞R3）外球電位以導線連接內外球，所有電荷將分布于球殼的

11、外表面上q +QU內=U外=，4 疇0R3U =0若外球接地，內球電位U,則情形（1） （2）R2 - qE dlR14二；°夕卜球電位U2 =0；= q4二；°中球殼內表面帶電-q,外表面不帶電內球電位為零。設其上所帶電量為 q'.內球電位U1外球電位U 2 e dl(R1R21 q drR1E d .2R2 4 ： <0 rQ(R -R2)U _U2 4二;。RR2 R2R, -RR3R1 R2R30rR3R1 R2 ' R2 R3 - R1R31 Q(R -只2)4二；° rr2 r2r3 -rr39電磁學思考題和計算題第二章10、設范

12、德格喇夫起電機的球殼與傳送帶上噴射電荷的尖針之間的電位差為3.0 >106V，如果傳送帶遷移電荷到球殼上的速率為3.0 >0-3C/s，則在僅考慮電力的情況下，必須用多大的功率來開動傳送帶？解：開動傳送帶的功率至少應等于遷移電荷作功的功率q. UT二 9000W#電磁學思考題和計算題第二章#電磁學思考題和計算題第二章11、德格喇夫起電機的球殼直徑為1m空氣的擊穿場強為 30KV/cm。這起電機最多能達到多高的電位？解：對空間任一點 P,球殼所帶電荷產生的電場的場強和電位分別為4二；°14二；0Umax 二 ER =1.5 106V12、同軸傳輸線是由兩個很長且彼此絕緣的同

13、軸金屬直圓柱體構成。設內圓柱體的電位為U，半徑為R,外圓柱體的電位為 Ua,內半徑為艮，求其間離軸為r處(R1<r<R2)的 電位。解：由高斯定理可解得內圓柱體和外圓柱體之間的電場強度為 丸 -Eer2咫0r設r處的電位為 U,則Ut _U = E dl In R12 殛 0R1戶2 - 九 R26 -U2 二 E dlIn 2R2二；0 R1九 U1 -U225 |n R2& rIn (r/R1)U U1In U(U1 -U2)2脫。R1In (R2/RJ注：學習處理方法13、同軸傳輸線是由兩個很長且彼此絕緣的同軸金屬直圓柱體構成。設內圓柱體的半徑為R，外圓柱體的內半徑為

14、兩圓柱體的電位差為 U。求其間離軸為r1和r2處(R<r1<r2<R>)的電位差。解：利用上題結果，離軸為ri和r 2處(Ri<ri<r2<R)的電位差為U, _U2r2riE dl扎r1In - U2二；02In MA)In(R2/ R1),R22 二；oUIn ,Ri1 R21In RU12Int一2二0-U I ntiInR214、一很長直導線橫截面的半徑為 a，這線外套有內半徑為 b的同軸導體圓筒，兩者互相絕 緣，外筒接地，它的電位為零。導線電位為U,求導線和筒間的電場強度分布。解：由高斯定理可求得a<r<b區域內的電場強度為扎 N

15、Eer2 二；0r導線相對于外筒的電位差為a -UbE dIInbU a 'U bU云0 一 In(b/a) 5(b/a)習題:九U2二；0r r In(b/a)3、面積都是2.0m2的兩平行導體板放在空氣中相距 去邊緣效應，求：5.0mm,兩板電位差為 1000V，略(1) 電容C;(2) 各板上的電量 Q和電荷的面密度6；(3)板間的電場強度 E。帝°S_9C 03.6 10 Fd解：Q=CU =3.6 10“C 一 Q/S =1.8 10C/m25E =U /d =2.0 10 V/m4、如附圖所示，三塊平面金屬板A、B、C彼此平行放置，AB之間的距離是 BC之間距離的

16、一半。用導線將外側的兩板A、C相聯并接地，使中間導體板B帶電3卩C,三個導體板的六個面上的電荷各為多少？解：相當于兩個電容器 并聯CABCbcU ABoS qi=d =UAB：oS q qi2d U bcqid 2(qqjd=U BC -gpS£0 S2解得qiq 七=2C,q _qi =VC3二 6 =0,cr2 = 2AC,= 2卩C,cr4 = 15 = IPC'O'e =0注：由于接地，=Qc下二05、如附圖所示，一電容器由三片面積都是6.0cm2的錫箔構成，相鄰兩箔間的距離都是0.10m m,外邊兩箔片聯在一起成為一極，中間箔片作為另一極。(1) 求電容c；

17、(2)若在這電容器上加 220V的電壓，問各箔上電荷的面密度分別是多少?山 C 9 C2 =2 ;0S/d =1.0710J0F牛 U1 =U2 Q1 =Q2 =c1u 二；0SU/d =：;S-Q/S=1.96 10C/m26、如附圖所示，面積為1.0m2的金屬箔11張平行排列，相鄰兩箔間的距離都是 5.0mm ,S,相距為d，其間有一厚為 t的金S奇數箔聯在一起作為電容器的一極，偶數箔聯在一起作為另一極。求電容C。解：22個面中除最外側的兩個面外，其他的20個面，相當于 十個相同的電容器并聯二0 S_8c =10G =10-°1.78 10 Fd7、如附圖所示，平行板電容器兩極板

18、的面積都是屬片。略去邊緣效應，(1) 求電容C ；(2) 金屬片離極板的遠近有無影響？解：相當于兩個電容器串聯。設金屬板距上板距離為111 x d - (t x) d -1C Ci C2；oS；oS；oSC理d -tt不變時c亦不變，與金屬片離極板的遠近無關解:或者:d _L0 Edl二 E(d -t) = (d -t) 名0如附圖所示，一電容器兩極板都是邊長為而是有一夾角0。證明：當0 <<d/a時,叮 a2a應，它的電容為C = (1)d2d將兩板同時分割為狹長的細窄條，長為在dx寬度內，上下兩平面仍近似平行；°dSdC =d +xsin 日C°a；

19、6;ad xsin va的正方形金屬平板,略去邊緣效a,寬為dx,(視為并聯)；0adxd xsin vdx羊n (1空)日d(d -t)兩板不是嚴格平行,2x 注：In( 1 x)二 x -29、半徑都是a的兩根平行長直導線相距為d(d>>a),求單位長度的電容M1、E=E + E1-+ 2 m。Vd -r丿d _a扎- a '2 U=JEdrInIna聴0< a丿2丿解：由高斯定理可求得兩導線之間垂直連線上任意一點P的場強為單位長度的電容為聴0.i'd - a 'In I a丿二；010、證明：同軸柱形電容器兩極的半徑相差很?。?平行板電容公式。

20、Rb-Ra«Ra ）時，它的電容公式趨于證明：同軸柱形電容器的電容公式為2 二；°LC 二-Rb10 Ra令 RB-RA=d ,且 d<< RaIn 匹=lRa0 2二Ra L；0 SC =Raln(1dRaRa相當于平行板電容器的電容公式11、證明：同心球形電容器兩極的半徑相差很小（即Rb-Ra<<Ra）時，它的電容公式趨于平行板電容公式。證明：同心球形電容器的電容公式為CtRaRbRb - Ra2當 Rb-Ra<<Ra 時，RbRa R , RB-RA=d24兀jRaRb4聴 oR名 oSC 二-Rb 一 Radd相當于平行板電容器的

21、電容公式12、一球形電容器內外兩殼的半徑分別為Ri和R4,今在兩殼之間放一個內外半徑分別為R2和R3的同心導體球殼。（1）給內殼以電量 Q求Ri和R4兩殼的電位差;（2）求電容。由對稱性及高斯定理可得各區域場強分布為解：（1 ）首先根據靜電平衡分析電荷的分布，17電磁學思考題和計算題第二章E = 0 r : R|QE2 Rl : r : R24 二；orE = 0 R2 : r : R3QE2 R3 : r : R44 二；orr1#電磁學思考題和計算題第二章r1#電磁學思考題和計算題第二章U =Ui-U4R2R4E dl R11114疇 0 lR1R2R3R4(2)電容為Q 一4吟AU1 1

22、 1-+-1<R1R2R3R4 丿'313、收音機里用的可變電容如附圖所示，其中共有n個面積為S的金屬片，相鄰兩片的距離都是d,奇數片聯在一起作為一極，它固定不動(叫做定片)，偶數片聯在一起作為另一極，它可以繞軸轉動(叫做動片)(1) 什么動片轉動時電容 C會改變？轉到什么位置時 C最大？轉到什么位置時 C最小?(2)證明：略去邊緣效應時， C的最大值為Cmn -1 ioSd解：(1)電容大小由定片和動片間正對著的那部分面積決定。當動片轉動時，正對面積變化，電容隨之變化。當動片完全轉到定片間時，s達到最大，c就達到最大;當動片完全轉出定片時，s = o,c達到最小。(2)當動片完

23、全轉入時，相當于 n-1個電容器并聯，總電容為n -1 oSCM _；d14、收音機里用的可變電容如上題所示，其中共有n個金屬片。每片形狀如下圖所示；相鄰兩片間的距離都是 d，當動片轉到兩組片之間夾角為B時，證明：當B較大時，略去邊緣效應，它的電容為 c二丄丄 丄 心以度為單位)360d1 2 、解：由扇形面積公式A r -，得兩組片對著的面積為2S =丄 r； J -1 r12 - = - r； - r12 -2 2 2r119電磁學思考題和計算題第二章i2電磁學思考題和計算題第二章式中0是以弧度為單位，右以度為單位,2 :“2 - ri2 二360整個電容器可視為n-i個電容器并聯而成e&

24、quot;22；oS n -遷 ° r2ri 二360d15、四個電容器的電容分別為C1>C 2>C 3 和 C4,聯接如圖所示，分別求:(1) AE間；(2)DE間；(3)AE間的電容。解: (1)AB間的電容為注:G短路C2C3Cab =Ceb =Ci CT(2)DE間的電容為CDECiC2Ci C2CiC2(3)AE間有導線接通(AII3CiC2 C2C3 CiC3C2 ' C3 C2C3'CiC3Ci C2短路，Uae=O),相當于無窮大的電容C AE16、四個電容器的電容都是C,分別按圖 a和圖b聯接，求A、B間的電容。哪種接法總電容較大?解:(

25、a)b14(b) C AB =CCC33b接法總電容較大。17、四個電容C 1、C 2、C 3和C 4都已知，求圖 a、b兩種聯法時，AE間的電容。解：兩種聯法A、E間的電容分別為A?IT1 3c cB -nC2aIIIc al壬丁Ar-I_L1 3c c_ C1C3+ C21C4ClC3 C2 C4_GC3C2 C4C2C4 ClC3(Ci +C3 住 +C4 )Ci C2 C3 C4Ci C2 C3 C4i2電磁學思考題和計算題第二章探18、(1)求附圖中A、E間的電容；(2) 在A、E間加上1 00V的電壓，求C2上的電荷和電壓;如果這時C 1被擊穿，問C 3上的電荷和電壓各是多少？#電

26、磁學思考題和計算題第二章#電磁學思考題和計算題第二章解:CAB =C1 C2C3 =3.75FCi C2 C3Q11LC2(2)C 2上的電荷和電壓Ci10 g F 丄 T5 gFC3#電磁學思考題和計算題第二章#電磁學思考題和計算題第二章Q1 ' Q2 =Q = CUQ2QiQ2C2 C1二CU -QCU -C1C1C2Q-CU=1-25 10 叱#電磁學思考題和計算題第二章#電磁學思考題和計算題第二章U2 二Q2IC2 = 25注：電容串聯電量相等 均為總電量？也可以先考慮串聯分壓(3) C 1被擊穿時，C2短路，全部電壓將加在C 3上,U 3 = U=10 0V-4Q 3 = C

27、 3 U=5X10 C19、如附圖，已知C 1= 0.25 g F, C 2= 0.15 g F, C 3= 0.20 g F, C 1 上的電壓為 5 0 V。求 U AB。解：C 2與C 3并聯后與C !串聯。Q=Q+Q-cC 1二 C23U 23IFU 23C2 ' C3Uab =S +U23 = 1+仏=86VI C2+C3 .丿2 1、有一些相同的電容器，每個電容都是2. 0 g F,耐壓都是2 0 0 V?，F在要用它們聯接成耐壓1 0 0 0 V, (1)電容C=0 . 4 0 g F和(2) C=1 . 2 g F的電容器,問各需要這種電容器多少個？怎樣聯法？解： (1)

28、將5個電容為2. 0 g F,耐壓2 0 0 V的電容器串聯C=0 . 4 0 g F,U=5U 0 = 1 0 0 0 V23電磁學思考題和計算題第二章I5電磁學思考題和計算題第二章(2)將5個電容為2. 0卩F,耐壓2 0 0 V的電容器串聯為一組，再并聯三組C=1 . 2卩 F, U= 1 0 0 0 V注：首先考慮串聯分壓，然后考慮并聯增加電容2 2、兩個電容器C 1和C 2,分別標明為C i :2 00PF 5 00V,C 2 : 300 PF 900V .把它 們串聯后，加上1 0 0 0 V電壓，是否會被擊穿？解：串聯后總電容為C=120PF，總電量Q=CU= 1.2 X 10

29、-7C,加在C 1和C 2上的電壓分別為U 1= 6 0 0 V,U 2 = 4 0 0 VC 1上的電壓超過額定電壓，首先被擊穿。C 1擊穿后，1 0 0 0 V電壓全部加在C 2 上, C 2也被擊穿。注：可以從串聯分壓的角度考慮2 3、四個電容器 G=G= 0.20卩F，C2=C3=O.6O卩F，聯接如圖所示。(1) 分別求K斷開和接通時的 Cab;(2) 當Uab=100V時，分別求K斷開和接通時各電容上的電壓。解(1)K斷開時K接通時(2)K斷開時K接通時e C C3 © =0.4C1C2 C3 C4U= 100 V，Q=CU =每個電容器上15,U= 100 V， C=

30、0.42 4、如圖所示，C=20i F，C2=5i F，先用與C2聯接。求：(1)C和C所帶的電量；(2)C和C兩端的電壓。U1=50V, U2=50V解：(1) C和C2所帶的電量為C 1C2C 3C4U 1=U4=Q/G=75V,U2=U3=Q/C 2=25VF, Q=CU= 40 CU=1000V把C充電，然后把 K撥到另一側使 CI5電磁學思考題和計算題第二章Q10 = CiU Qi :Q2 |Qi Q2Ci _C2C1U2Qi-1.6 10_CCi +C2C22Q2-Qi =0.4 io_cCiI5電磁學思考題和計算題第二章I5電磁學思考題和計算題第二章注：K撥到另一側，并聯(2)

31、C和C2兩端的電壓為U2 = U 1 = Q 1/C != 8 0 0 V2 5、附圖中的電容 C、G、C3都是已知的，電容 C是可以調節的。問當 C調節到A、B兩點的電位相等時，C的值是多少?解：設串聯的電容C和C3上的電量為A、E兩點等電位q, Cl和C2上的電量為Uc -U2>qUi 二U3C2qCC3C2c-；CC2C3"CTC2I5電磁學思考題和計算題第二章I5電磁學思考題和計算題第二章2 6、把Ci=1.0卩F和G=2.0卩F并聯后接到900V的直流電源上，(1) 求每個電容器上的電壓和電量；(2) 去掉電源，并把 C1和C2彼此斷開，然后再把它們帶異號電荷的極板分

32、別接在一起，求每個電容器上的電壓和電量。解： (1) C、C2并聯后接到900V的直流電源上,Ui& =06 =0.9"0；CQ =C2U2 =I.8"0C(2)去掉電源后重新聯接，兩電容器互相充電，電量重新分配(并聯)q =Q2 -Qi =i.8 I0-0.9 I00.9 I0C C =Ci C2 二 3.0 I0*FU 二 q/C =300V qi =05 =0.3 I0Cq2 二C2U2 =0.6 I0C3 5、靜電天平的裝置如圖所示，一空氣平行板電容器兩極板的面積都是S,間距為x,下板固定，上板接到天平的一頭。當電容器不帶電時，天平正好平衡。然后把電壓U加到

33、電容器的兩極上， 則天平的另一頭須加上質量為 m的砝碼，才能達到平衡。求所加的電壓。解：加上電壓U后，極板所受的靜電力為F 二 QEq沙北3oS2固定極板I當天平平衡時，F= mg習題：1、一平行板電容器兩極板相距為2.0m m,電位差為4 0 0 V，其間充滿了介電常數為=5.0的玻璃片。略去邊緣效應，求玻璃表面上極化電荷的面密度。解：廠-R =；eoE=(； _1) oE=(r-1) oU=7.0810(0 /nf)d注：此處的U為總的場強；也可由E求D再求面電荷密度d2、一平行板電容器由面積都是5 0cm2的兩金屬薄片貼在石臘紙上構成。已知石臘紙厚為0.10mm , £ =2

34、. 0,略去邊緣效應，問這電容器加上1 0 0V的電壓時， 極板上的電荷量Q是多少？解：由電位移的高斯定理可得介質中的D與極板上電荷量的面密度之間的關系為D = cUD = P E = “ PdUS小Q - S - ； ；08.910 (C)d或者:Q 二CU 二-oSU =8.910C)d3、面積為1.0 m2的兩平行金屬板，帶有等量異號電荷±3 0 卩C,其間充滿了介電常 數£ =2的均勻電介質。略去邊緣效應，求介質內的電場強度E和介質表面上的極化 電荷面密度。I5電磁學思考題和計算題第二章解：介質內的電場強度為E=1.7 106(V / m)zE = E Is - a

35、 I£8 = a/s - Ux0"(V/ni)<1«0£QX/極板上的極化電荷面密度為；-(；_；0)E=1.5 10 -(C / m % 二 Pn 二；0( ；r - 1疋=；0( 1 - We。/ ；0 ；1)I)Q. =Ox Io Ox8?85 xlO'rxl.(V/m =l.7xlO6V/nb29電磁學思考題和計算題第二章#電磁學思考題和計算題第二章b： =Pn - (£- 1 ) EE (E - 1 ) % 二n C/tu" = L 5 x 10 5C/in2.wb 2, 0 x I, u彳、平行板電容器(極板

36、面積為S,間距為 d)中間有兩層厚度各為 di和d2(di+d2=d),介電常數各為£1和£ 2的電介質層。試求：(1) 電容C;(2)當金屬極板上帶電面密度為土d 0時，兩層介質分界面上的極化電荷面密度(T /；(3) 極板間電位差U;(4) 兩層介質中的電位移D。c=Q6S _6S；1 ；2 ；oS d1 ；2d2 r解: (1)EldlE2d212d1 旦 d2；1；2注：可視為C1 C2兩個電容的串聯#電磁學思考題和計算題第二章#電磁學思考題和計算題第二章=(；1 一 1)；亠。/？e - ( 2 - 1X e0 /；2"-e- ( "-'

37、;1e - :2e ) 二(21 2)”_'e0 / id i-2或者亍二Pi -巳=丄匚；oii ；2Fl-f(3) U =U1 U20 di i2 d2 i 1(4) D=Di =。25、兩平行導體板相距 5.0mm，帶有等量異號電荷，面密度為20 C/m2,其間有兩片電介質，一片厚2.0mm , e 1 = 3.0;另一片厚3 .0mm , £ 1 = 4 .0。略去邊緣效應，求各介質 內的E、D和介質表面的d /。解：由介質中的高斯定理得，兩介質中電位移的大小為D1 =D2 =20(C/m2) =2.0 10(C/m2)由D = e E可知E與D同方向，E的大小分別為

38、已=D1 =7.5 105(V/m)E2 二匹=5.6 105(V/m)兩介質表面的極化電荷面密度為二 一(1 -丄片二 1.3 10(C/m2)%1"1c2二2 二(1 一一)二二 1.5 10 (C/m )嶄2或者巳=E。/ 1 = - 0e / 0 1= 7.5 10V / mE =巳 / ；2 = 5.6105V / m6、一平行板電容器兩極板的面積都是2.0m2,相距為5.0mm，兩極加上1 0 0 0 0 V電壓后，取去電源，再在其間充滿兩層介質，一層厚 2.0mm , e 1=5 .0;另一層厚3 .0mm ,£2 = 2 .0。略去邊緣效應，求:(1) 各介

39、質中的電極化強度P;(2) 電容器靠近電介質2的極板為負極板，將它接地，兩介質接觸面上的電位是多 少？解：(1)未放入介質時，加上電壓U后，電容器帶電量為Q =；:S二DS二；0ES二；oUSd斷開電源后，Q不變，b也不變，兩介質中的電位移為31電磁學思考題和計算題第二章#電磁學思考題和計算題第二章介質中的電場強度為Di UD2_U_EiE2 :i1:r1d>2- r2d介質中的極化強度為Pi =Di - ；0巳=(1 -丄)一衛=1.4 10-(C/m2)Sri d1 名。U62P2 =D2 - ；oE2 =(1)8.9 10(C/m2)®r2 d(2) 兩介質接觸面上的電位

40、為= 3.0 103V-E d -ULE2d耳2d了、如圖所示，一平行板電容器兩極板相距為d,面積為S,電位差為U,其中放有一層#電磁學思考題和計算題第二章#電磁學思考題和計算題第二章厚為t的介質，介電常數為 £ ,介質兩邊都是空氣，略去邊緣效應，求:介質中的電場強度E、電位移D和極化強度P;#電磁學思考題和計算題第二章#電磁學思考題和計算題第二章(2)(3)極板上的電荷量Q;極板和介質間隙中的場強E;電容。解：(1)由介質中的高斯定理得(4)UME。D = ； pECT；0U = E0(d -t ) Et站°U(d -t ) t33電磁學思考題和計算題第二章介質中的極化強

41、度為( ；0U (d -t ) t#電磁學思考題和計算題第二章#電磁學思考題和計算題第二章(2)極板上的電荷量為='.'S =；r ；oUS；r9_t)tEo(3)各區域的電場強度為CJ；o(d -t )tU(d _t)t(4)電容為庶0S(d -t ) t注:電容可視為串聯，先求Q，再求二探8、平行板電容器兩極板相距3.0cm，其間放有一層£ =2 .0的介質，位置和厚度如圖所示，已知極板上面電荷密度為d =8.9 xi0-10C/m2,略去邊緣效應，求：(1) 極板間各處的 P、E和D;(2) 極板間各處的電位(設 Ua=0 )；(3) 畫 E-x、D-x、U-x

42、 曲線；(4) 已知極板面積為 0.11 m2，求電容C,并與不加介質時 的電容C0比較。Bcm答：(1)由介質中的高斯定理可得102Do =D =；=8.9 10 (C/m )Eo 二厶=1.0 102(V /m) SoE=50(V/m), P = D - ;0E =4.5 10°(C/m2)；r ；0(2)以A板電位為零，各點的電位為Ux0 - _ 2E dx 二 E°x =1.0 10 xxUx0.01E dxx0E dx 二 50x 0.50.010.02UxE dx0.01E0.02- 0 dx 0.0E dx WOx-O.50< x O.010.01 乞

43、x 乞 0.020.02 乞 x 乞 0.0335電磁學思考題和計算題第二章#電磁學思考題和計算題第二章(3) E-x、D-x、U-x曲線分別為#電磁學思考題和計算題第二章#電磁學思考題和計算題第二章#電磁學思考題和計算題第二章#電磁學思考題和計算題第二章(4)電容為C = Q二0s=30卩卩FU Ejdt)+t10 2 10 2d 1=3.3 床0- C/m , b 2=6.6 XI0- C/m ,5.0mm的均勻石臘板，e =2 .0。略d/2與真空時的電容相比較C/Co=1.29、兩塊平行導體板帶有同號電荷，面密度分別為兩板相距為1.0cm。在其間平行地放有一塊厚為去邊緣效應，求：(1)

44、 石臘內的E內;(2) 極板間石臘外的 E 外;(3) 兩極板的電位差；(4) 石臘表面的極化面電荷密度d '。解：(1)兩導體板所帶電荷 同號，由高斯定理及電荷守恒定律可知 1io2二ii -22(G ：2)二4.95 10 (C/m )1 10 2二 12 一 一21(二 1 一二2)二1.65 10 (C/m )但考察兩金屬板之間的電場時，可以將每一金屬板上的電荷看作整體。Eo 二 E2 - E1 =18.65(V /m)E內二 E。/ ；r =9.3(V/m)(3) 電位差 U 二 Et E0(d -t)二 0.14V(4) 石臘表面的極化面電荷密度d '為S =( ；

45、r -1)E。=0.82 105(C/m2)1 0、平行板電容器的極板面積為S,間距為d,其間充滿介質，介質的介電常數是變化的，在一極板處為e 1,在另一極板處為e 2,其他處的介電常數與到e 1處成線性關系。略去邊緣效應，求：(1) 電容器的電容；(2) 當兩極板上的電荷分別為 Q和-Q時，求介質內的極化電荷體密度和表面上的 極化電荷面密度。11、一云母電容器是由10張鋁箔和9片云母相間平行迭放而成，奇數鋁箔接在一起作 為一極，偶數鋁箔接在一起作為另一極，如圖所示。每張鋁箔和每片云母的面積都是2.5cm2,每片云母的相對介電常數e都是7.0，厚度都是0.15mm略去邊緣效應，求電容C。解：可

46、以看作九個電容器并聯而成r _ 名oSC0 二丁 c =9Cj =9.3 10° FCi = C0 I探12、一平行板電容器兩極板相距為d，其間充滿了兩部分介質，介電常數為 £ 1的介質所占面積為S 1,介電 常數為£ 2的介質所占面積為S 2。略去邊緣效應，求 電容C。S 1S 2Cii：1C0C2-2 C°名1 E0S1d C=Ci+C2 呂 2 Eo S2d ,探13、如圖所示，一平行板電容器兩極板的面積都是S,相距為d。今在其間平行地插入厚度為t，介電常數為£的均勻介質，其面積為S/2。設兩板分別帶電荷Q和 去邊緣效應，求：-Q。略(1

47、) 兩極板電位差U;(2) 電容C;(3) 介質的極化電荷面密度。tS/2S/2解：(1)設未插入介質一側極板上電荷的面密度為(T 1，另一側為(T 2G二 2d 2 d -t；0 ；0S22【；d1 - ； tld Q；0 2 ；d - 1 - ；r tS(2)電容器的電容為Q _ ；0S 2 Q 1 - ；r t 1U _ 2d ；d1 - ； t Id(3)極化電荷面密度為；= Pn = ； -1 ；0旦 2 ； 一1 dQz s2sd +(1 -名注：可以先利用定義求電容解法一：根據電容器電容之定義求解。設極板左半部的自由電荷為 Q°1自由電荷面密度為匚01其間電介質外的場強

48、為E01電介質內之場強為E1；0 ；r解：兩個電容器并聯 而成設極板右半部的自由電荷為Q02,自由電荷面密度為匚02，其間場強為E0202兩極板間的電勢差為U = E01(d -t)Ejt =l(d -t)Sq冼群或 U 二E02d同一塊板上的電勢是相同的由、兩式得；6 ；r(d -t) t =：；2 MS”_，01S”_，02=Q根據電容之定義.U呂1.0239電磁學思考題和計算題第二章根據式代入上式整理后得;°S2 ；rd （1 - ；r）tC =-2Srd +（1 名td解法二：利用電容器的串、并聯關系求解Cl, C2串聯，然后和面積為這個平行板電容器可看成由三個平行板電容器構成：電容器左半部看成是由面積為S