1、§3.6萬有引力天體的運動3.6.1、萬有引力任何兩個物體問存在一種稱為萬有引力的相互作用力。萬有引力是自然界中已發現的四種相互作用（萬有引力相互作用、電磁相互作用、弱相互作用和強相互作用）之一。兩個質點間的萬有引力，其大小與兩質點的質量乘積成正比，與兩質點距離的平方成反比，方向沿兩質點的連線方向，其表示式為-_，一1.2_2式中G稱為萬有引力常量，其值為6.67婦。Nmkg萬有引力公式只適用丁質點，當物體的幾何線度不能忽略時，可以把它們分割成線度可略的小部分，兩物體問每一小部分之間的萬有引力的合力便就是兩物體問的萬有引力?？梢宰C明兩個質量均勻的球體之間的引力?？梢杂萌f有引力定律計算

2、，只是計算式中的r為兩球心問的距離。質量為m的均勻分布的球殼對球殼外任一質點的萬有引力，等丁質量為m的質點處丁球心處與該質點間的萬有引力，它對球殼內的任一質點的萬有引力則為零。測得的地球表面上物體所受到的重力，是地球對物體引力的一個分量，由丁地球并不嚴格是個球體，質量分布也不均勻，加之地球的自轉運動，使得同一物體，在地球表面不同位置處受到的重力略有不同。萬有引力定律的應用天體表面的重力加速度g：設天體質量為M且均勻分布，天體為圓球體且半徑為R,物體質量為m,則mg=GMmR2Mg=GR關丁天體質量和平均密度的計算：設質量為m的行星繞質量為M的包星作勻速圓周運動的公轉，公轉的半徑為r,周期為T,

3、由牛頓定律，包星對行星的萬有引力就是行星繞包星作勻速圓周運動的向心力，故有由此可得包星的質量為設包星的球半徑為R,則它的平均密度為這個公式也適用丁衛星繞行星作圓周運動的情況。如設近地人造衛星的周期為T,因有r上R,上式就可以寫成這就很容易求出地球的平均密度了。3.6.2、天體的運動開普勒根據前人積累的行星運動觀察資料?？偨Y出關丁行星運動的三定律一一開普勒三定律。第一定律：行星圍繞太陽的運動軌道為橢圓，太陽在橢圓的一個焦點上。第二定律：行星與太陽的連線在相等時間內掃過相等的面積。二A.下面舉一個例子詳加說明：己一-;:rU.為用數學式子表述第二定律，設徑欠r在At時間內掃過的圖3-6-1面積為A

4、A，則面積速度為AMt，由圖3-6-1可知，故面積速度為*11=5rsin言=SrvsiH=*曰式中v為行星運動的線速度，日為徑矢r與速度v方向之間的火角。當行星位丁橢圓軌道的近日點或遠日點時，速度v的方向與徑欠r的方向垂直，即e=90o,故第三定律：各行星繞太陽運動的周期平方與軌道半長軸立方的比值相同，即開普勒定律不僅適用丁行星繞太陽的運動。也適用丁衛星繞行星的運動。當半長軸a與半短軸b相等時，橢圓成為圓。由開普勒第二定律可知，圓軌道運動必為勻速圓周運動，萬有引力提供向心力。對丁繞地球作半徑為r的勻速圓周運動的衛星，由牛頓第二定律和萬有引力定律可得根據地球表面物體重力與引力的關系R為地球半徑

5、衛星速率為對丁貼著地球表面運行的衛星。rR這就是第一宇宙速度，也就是發射衛星必須具有的最小速度利用能量關系，可求出從地球表面發射的宇宙飛般，為能掙脫地球引力的束縛，其發射速度必須滿足稱v=*'2Kg=11.2km/s為第二宇宙速度。下面舉一個例子詳加說明：新發現一行星，其星球半徑為6400km,且由通常的水形成的海洋覆蓋著它的所有表面，海洋的深度為10km。學者們對該行星進行探查時發現。當把試驗用的樣品浸入行星海洋的不同深度時，各處的自由落體加速度以相當高的精確度保持不變，試求這個行星表面處的自由落體加速度。已知萬有引力常數為G=6.67勺04Nm2/kg2。解1:如圖3-6-2以R表

6、示此星球（包括水層）的半徑，M表示其質量，h表示其表層海洋的深度，r表示海洋內任一點A到星球中心。的距離，R0表示除表層海洋外星球內層的半徑。則有R'r°R0，且R0*h=ro，以水表示水的密度，則此星球表層海洋中水的總質量為由丁R»h,故式可略去其中h的高次項面是近似寫為根據均勻球體表面處重力加速度的公式，可得此星球表層海洋的底面和表面處的重力加速度分別為GMg表=R2依題述有g表=g底，即整理上式可解得由丁Rh,故近似取22Rh-h全2Rh,則式可寫為由和式得此星球表面的重力加速度為以G=6.67X1O1Nm2/kg2、P水=1.°WO3kg/m3、R

7、=6.U106m代入式，得解2：設行星的內層（即半徑為Ro的球體部分）的平均密度為'=p水+。，則可將該半徑為Ro的球體視為由一個均勻的水球（密度為水、半徑為*）和一個密度為P。半徑為Ro的球疊加而成。則在水球殼層內的重力加速度應由這兩個球分別產生的加速度疊加而成。如圖3-6-2，對丁水球殼層中的任一點A,以gi表示上述水球在該處形成的重力加速度，則有由上式可見，g1隨r的增加而增加，當r增加為r+r時，g1的增加量為乂以g。表示上述的密度為°。的球在A點產生的重力加速度，則有由上式可見，go隨r的增加而減少，當r增加為r+r時，g。的增加量（為一負值，表明其實際上是減少）為上式演算中利用了近似關系2面+伊）2財2鹽和（十如2r2。由丁要求