1、在發明中學習在發明中學習 線性代數概念引入線性代數概念引入 之三之三: : 行列式行列式 李尚志李尚志 中國科學技術大學中國科學技術大學 一一. 二元一次方程組的幾何意義二元一次方程組的幾何意義行列式的定義行列式的定義方程組方程組可寫成向量形式可寫成向量形式即即1. 有唯一解的條件有唯一解的條件不共線不共線即即2. 消元消元: 方程方程(1.1)兩邊與兩邊與(1.1)作內積消去作內積消去y, 得得其中其中就是就是同理得同理得圖圖2因此因此,于是于是3. 二階行列式二階行列式 平行四邊形面積平行四邊形面積稱為稱為二階行列式二階行列式, 記作記作是平行四邊形是平行四邊形 OAPB 的有向面積的有向

2、面積,是兩個向量是兩個向量或或的函數的函數,計算公式計算公式:或或圖圖23. 代數算法代數算法利用幾何圖形表達出來利用幾何圖形表達出來, 就是就是: 以上算法用到二階行列式的如下基本性質以上算法用到二階行列式的如下基本性質(1) det(a,b)可以看成向量可以看成向量 a,b 的乘積來展開的乘積來展開: det(ka+k1a1, b) = k det(a,b) + k1det(a1,b) det(a, kb+k1b1)= k det(a,b) + k1det(a, b1) 如圖如圖,就是就是(3) 面積單位面積單位:det(e1,e2)=1 由由 (2) det(a,a) = 0 鄰邊重合鄰

3、邊重合,平行四邊形退化為線段平行四邊形退化為線段, 面積為面積為 0. det(e2,e1) = -det(e1,e2) = -1det(a,b) = - det(b,a)知知 det(u,v)=det(u,v+au)0.20.40.60.80.20.40.60.81可寫成可寫成其中其中二二. . 三階行列式與體積三階行列式與體積1. 三元一次方程組的幾何意義三元一次方程組的幾何意義兩邊同時與兩邊同時與方程方程作內積消去作內積消去 y, z , 得到得到類似地可以得到類似地可以得到 y, z 的表達式。的表達式。當當時得時得從原點從原點O出發作有向線段出發作有向線段OA，OB，OC使使則則就是

4、以就是以OA,OB,OC為棱的平行六面為棱的平行六面體的有向體積。稱為體的有向體積。稱為三階行列式三階行列式，記作，記作2. 三階行列式三階行列式 平行六面體體積平行六面體體積數學聊齋數學聊齋之三之三人擠成與照片之維數變化人擠成與照片之維數變化 三十多年前到重慶，公共汽車很擠。三十多年前到重慶，公共汽車很擠。 有人形容為：人擠成照片了。有人形容為：人擠成照片了。 三維的人擠成二維的照片，三維的人擠成二維的照片， 體積變成體積變成 0 。 行列式兩列行列式兩列( (行行) )相等，也擠成照片。相等，也擠成照片。 3. 三階行列式的基本性質三階行列式的基本性質 (3) det(e1, e2 , e

5、3)=1 , e1,e2 ,e3 分別是三條坐標分別是三條坐標軸上的單位向量軸上的單位向量.)可以看作可以看作的乘積來展開的乘積來展開. (1) det( (2) 如果三個向量如果三個向量 中有兩個相等中有兩個相等, 則則 det( ) = 0 . 擠成擠成 “ “照片照片” 將三個向量將三個向量 中的任意兩個互換位置中的任意兩個互換位置, 則則det( ) 變為原來值的相反數。變為原來值的相反數。4. 利用基本性質計算三階行列式利用基本性質計算三階行列式(2.1)這樣的項可以從這樣的項可以從 (2.1) 中去掉。只剩下中去掉。只剩下 i,j,k 兩兩兩不相等的項。兩不相等的項。(2.1) 變

6、成變成當當 i,j,k 中有兩個相等時，中有兩個相等時，代入代入(2.2), 得得又又類似地有類似地有(2.2)我們有我們有類似地有類似地有三三. n 階行列式的引入階行列式的引入其中其中n 階行列式階行列式它應具有以下它應具有以下基本性質：基本性質： (1) 是是 的某種乘積，可的某種乘積，可以按乘法法則展開。以按乘法法則展開。 (2) 如果如果 n 個向量個向量 中有兩個中有兩個相等相等, 則則 = 0 。將將n個向量個向量 中中的任意兩個互換順序，的任意兩個互換順序， 則則 變為變為 。 (3) det(e1,e2,en)=1，其中，其中 n 維列向量維列向量 ei 的的第第 i 分量為

7、分量為1、其余分量為、其余分量為0。是由是由決定的決定的 “n 維體積維體積”利用基本性質計算利用基本性質計算 n 階行列式階行列式(3.1)當當 i1,i2,in 中有兩個相等時，中有兩個相等時，這樣的項可以從這樣的項可以從 (3.1) 中去掉。只剩下中去掉。只剩下 i1,i2, in 兩兩不相等的項兩兩不相等的項, (3.1)中的中的 變成對變成對1,2,1,2,n 的全體排列的全體排列 (i1,i2, in ) 求和求和, 成為成為: 將排列將排列 中任意兩個數中任意兩個數 相互交相互交換位置換位置, 稱為這個排列的一個稱為這個排列的一個對換。相應地，對換。相應地，行行列式列式 中的中的

8、 互換了位置，互換了位置，其值變為原來值的相反數其值變為原來值的相反數 。 進行若干次對換進行若干次對換(設為設為 s 次次)可以將排列可以將排列 變成標準排列變成標準排列 (12n), 相應地將相應地將 變成變成 (3.2) 以下只須對每個排列以下只須對每個排列 求求 可以證明可以證明, 的值由排列的值由排列 唯一唯一決定決定, 我們將我們將 記為記為 sgn 。則。則 sgn代入代入(3.3) 得到得到(3.3)于是得于是得這可以作為這可以作為 n 階行列式的定義。階行列式的定義。(3.4)四四. n 階行列式的定義階行列式的定義 1. 排列的奇偶性排列的奇偶性 由由 1,2,n 按任意順

9、序重新排列而成的按任意順序重新排列而成的有序數組有序數組 稱為一個稱為一個 n元排列元排列。 將將 1,2,n 按從小到大的順序得到的排按從小到大的順序得到的排列列 (12n) 稱為稱為自然排列自然排列。 在任意一個排列在任意一個排列 中中, 可能出現可能出現順序順序“顛倒顛倒”的情況：的情況：p jq , 也也就就是較大的數是較大的數 jp 反而排在較小的數反而排在較小的數 jq 的前面。的前面。 每出現一對這樣的每出現一對這樣的( jp, jq ) 稱為這個排列的一稱為這個排列的一個個逆序逆序。 排列排列 中的逆序的個數稱為這中的逆序的個數稱為這個排列的個排列的逆序數逆序數，記作，記作 。

10、 逆序數為偶數的排列稱為逆序數為偶數的排列稱為偶排列偶排列，逆序，逆序數為奇數的排列稱為數為奇數的排列稱為奇排列奇排列。 例例. 排列排列 (3142) 中的逆序共有中的逆序共有 (3,1), (3,2), (4,2) 等等 3 個個, 因此因此 t(3142) = 3 , (3142) t(3142) = 3 , (3142) 是奇是奇排列。排列。 自然排列自然排列 (12n) 的逆序數為的逆序數為0, 因此自因此自然排列是偶排列。然排列是偶排列。 將排列將排列 中的某兩個數碼中的某兩個數碼 jp, jq 互相交換位置互相交換位置, 稱為這個排列的一個稱為這個排列的一個對換對換。 每一次對換

11、必然改變排列的奇偶性。每一次對換必然改變排列的奇偶性。 每一個排列每一個排列 都可以經過有限都可以經過有限次對換變成自然排列次對換變成自然排列 (12n) 。 設排列設排列 經過了經過了 s 次對換變成次對換變成自然排列。則當自然排列。則當 s 為偶數時，為偶數時， 的的奇偶性與自然排列相同奇偶性與自然排列相同, 是偶排列是偶排列; 當當 s 是奇是奇數時，數時， 的奇偶性與自然排列相反的奇偶性與自然排列相反, 是奇排列。是奇排列。 將將 n 個數個數 aij (i,j = 1,2,n) 排成排成 n 行行n列的列的形式形式, 按如下方式計算：按如下方式計算：2. n 階行列式的定義階行列式的定義得到一個數，稱為得到一個數，稱為 n 階行列式階行列式。 上面的式子中的求和號上面的式子中的求和號 表示對所有表示對所有的排列的排列 求和。求和。五五. n 元線性方程組元線性方程組可以寫成可以寫成將將 (5.1) 兩邊與兩邊與(5.1)點乘點乘,可以消去除可以消去除外的所有未知數外的所有未知數, 在在0 時得時得(Crammer 法則法則)六六. 行列式與秩行列式與秩幾何觀點幾何觀點: 線性無關線性無關 秩為秩為 n 生成的空間的維數生成的空間的維數 = n n 維體積維體積 不為不為