1、2019重慶中考數學題位復習系統（編著：劉偉）2019重慶中考數學題位復習系統之 反比例函數與幾何綜合 典例剖析例1 （20187慶）如圖，菱形ABCD的邊AD，y軸，垂足為點E,頂點A在 第二象限，頂點B在y軸的正半軸上，反比例函數y=k （kw0, x0）的圖象同時經過頂點C, D.若點C的橫坐標為5, BE=3DE則k的值為（）A.B. 3 C.4 D. 5【分析】由已知，可得菱形邊長為5,設出點D坐標，即可用勾股定理構造方程, 進而求出k值.解: 過點D做DF，BC于F 由已知，BC=5二.四邊形ABCD菱形DC=5 v BE=3DE.設 DE=k WJ BE=3x .DF=3k BF

2、=x, FC=5- x 在 RtA DFC中， DF2+Fd=DC2(3x) 2+ (5-x) 2=52 解得x=1 .DE=3 FD=3設 OB=a則點D坐標為（1, a+3）,點C坐標為（5, a）.點D、C在雙曲線上 . 1 x (a+3) =5aa二 4 點C坐標為(5,卷)k=4故選：C.【點評】本題是代數幾何綜合題，考查了數形結合思想和反比例函數 k值性質.解題關鍵是通過勾股定理構造方程.比例函數例2 （20187慶）如圖，在平面直角坐標系中，菱形 ABCD的頂點A, B在反（k0, x0）的圖象上，橫坐標分別為1,4,對角線BD/ x軸.若菱形ABCD的面積為卷，則k的值為（A.

3、亍B.4 c. 4 D.5【分析】根據題意，利用面積法求出 AE,設出點B坐標，表示點A的坐標.應 用反比例函數上點的橫縱坐標乘積為 k構造方程求k.【解答】解：設AC與BD、x軸分別交于點E、F.由已知，A、B橫坐標分別為1, 4BE=3二.四邊形ABCD為菱形，AC、BD為對角線二 S菱形 abc=4XLae?be也 . AE=4設點B的坐標為（4, y）,則A點坐標為（1, y+154點A、B同在y=k圖象上:4y=1? （y+至） 4y=4 .B點坐標為（4,互）4 二 k=5故選：D.【點評】本題考查了菱形的性質、應用面積法構造方程，以及反比例函數圖象上 點的坐標與k之間的關系.跟蹤

4、訓練1. （2015?重慶）如圖，在平面直角坐標系中，菱形 ABCD在第一象限內，邊BC與x軸平行，A, B兩點的縱坐標分別為3, 1 .反比例函數y金的圖象經過A, xB兩點，則菱形ABCD的面積為（第3頁（共24頁）2019重慶中考數學題位復習系統（編著：劉偉）A. 2 B. 4 C. 2 2D. 4 ?【分析】過點A作x軸的垂線，與CB的延長線交于點E,根據A, B兩點的縱坐 標分別為3, 1,可得出橫坐標，即可求得 AE, BE再根據勾月定理得出AB,根 據菱形的面積公式：底乘高即可得出答案.【解答】解：過點A作x軸的垂線，與CB的延長線交于點E, A, B兩點在反比例函數y=里的圖象

5、上且縱坐標分別為3, 1,.A, B橫坐標分別為1,3, .AE=Z BE=Z .AB=2 二，S菱形 ABCD=fg X 高=2S/2X 2=4/,【點評】本題考查了菱形的性質以及反比例函數圖象上點的坐標特征，熟記菱形的面積公式是解題的關鍵.2. （20157慶）如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABOC的頂點O在坐標原點,邊BO在x軸的負半軸上，/ BOC=60,頂點C的坐標為（m, 3內,反比例函數y=?的圖象與菱形對角線AO交D點，連接BD,當DB,x軸時，k的值是（A. 6 1B - 6C. 12 ; D. 一 12 ;【分析】首先過點C作CE! x軸于點E,由/ BOC=60,頂點C的

6、坐標為（m,第4頁（共24頁）2019重慶中考數學題位復習系統（編著：劉偉）36）,可求得OC的長，又由菱形ABOC的頂點。在坐標原點，邊BO在x軸的 負半軸上，可求得 OB的長，且/ AOB=30,繼而求得DB的長，則可求得點 D 的坐標，又由反比例函數y=k的圖象與菱形對角線AO交D點，即可求得答案.【解答】解：過點C作CHx軸于點E, 頂點C的坐標為（m, 3次）, .OE=- m, CE=3/3,.菱形 ABOC中，/ BOC=60,OB=OC= CE =6 /BOD=L/BOC=30, sin6Cl2v DBx 軸, . DB=OB?tan30 =60）的圖象與正方形的兩邊AB BC

7、分別交于點M、N, ND，x軸，垂足為D,連接OM、ON、MN.下 列結論：OCNAOAM;ON=MN;四邊形 DAMN與 MON面積相等；若/ MON=45 , MN=2,則點C的坐標為（0,立+1）.其中正確結論的個數是（）q d aA. 1 B. 2 C. 3 D. 4【分析】根據反比例函數的比例系數的幾何意義得到Sa ON冷OAM卷k,即看OC7NC=OA7AM,而 OC=OA 貝U NC=AM,在根據 “SAST判斷 OCN AOAM; 根據全等的性質得到ON=OM,由于k的值不能確定，則/ MON的值不能確定， 無法確定 ONM為等邊三角形，則 ON*MN;根據Sand=&OAM=

8、k和&ond+S四邊形DAMN=SOAM+SaOMN , 即可得至U S四邊形 DAMN=&OMN；作 N已 OM 于 E點，則 AONE為等腰直角三角形，設 NE=x,則OM=ON=/2x, EM相lx-x=（6-1） x,在 RttA NEM中，利用勾股定理可求出x2=2+/2,所以ON2= （h/2x） 2=4+2、摟，易得 BMN為等腰直角三角形，得到 BN=?MN=/1,設正方形ABCO的邊長為a, 在RtOCN中，利用勾股定理可求出a的值為6+1,從而得到C點坐標為（0,._+1）.【解答】解：二點M、N都在y=k的圖象上，上 二 &oncf&oam=k,即 10C?Nci0A?A

9、M, 222二.四邊形ABCO為正方形， . OC=OA / OCN=Z 0AM=90 ,NC=AM, .OCNAOAM,所以正確；ON=OM,.k的值不能確定, /MON的值不能確定，.ONM只能為等腰三角形，不能確定為等邊三角形,ONw MN,所以錯誤；; &OND=&OAM=k, 2而 SOND+S 四邊形 DAMN=&OAM+SOMN,一四邊形DAMN與AMON面積相等，所以正確；作NEL OM于E點，如圖， / MON=45 ,.ONE為等腰直角三角形，NE=OE設 NE=k 則 ON=2x,OM= cx,EM=V2x- x=（遮-1） x,在 RtNEM 中，MN=2,MN2=nE

10、?+EM2,即 22=x2+（距-1） x2,.x2=2+ r：,. .ON2=（二x） 2=4+2 .：. CN=AM, CB=ABBN=BM,. BMN為等腰直角三角形，BN= _ MN=，設正方形ABCO的邊長為a,則OC=q CN=a-V2,在 RtOCN中，. OC2+CNf=ONf,- a2+ （a6）2=4+26，解得 a尸恒1, a2=- 1 （舍去）,OC=/2+1,.C點坐標為（0, 揚1）,所以正確.故選：C.【點評】本題考查了反比例函數的綜合題：掌握反比例函數圖象上點的坐標特征、 比例系數的幾何意義和正方形的性質；熟練運用勾股定理和等腰直角三角形的性 質進行幾何計算.6

11、. （2013?重慶）如圖，菱形OABC的頂點O是坐標原點，頂點 A在x軸的正半 軸上，頂點B、C均在第一象限，OA=2, /AOC=60 .點D在邊AB上，將四邊 形OABC&直線OD翻折，使點B和點C分別落在這個坐標平面的點 B和C處,且/ C DB =6%某反比例函數的圖象經過點B,則這個反比例函數的解析式為v=_ 3如y=X【分析】連接AC,求出ABAC是等邊三角形，推出AC=AB求出 DC喔等邊 三角形，推出C D=B,得出CB=BD=BC推出A和D重合，連接BB交x軸于E, 求出AB =AB=2/B AE=60求出B的坐標是（3,-叵,設經過點B反比例 函數的解析式是y吉，代入求出

12、即可.【解答】解：連接AC, 四邊形OABC是菱形， . CB=AB / CBA=Z AOC=60, . ABAC是等邊三角形，AC=AB二.將四邊形OABC沿直線OD翻折，使點B和點C分別落在這個坐標平面的點 B 和C處， .BD=BD cd=c D, /DB C/BC=60, vZ B DC =60丁. / DC B =60 .DC陛等邊三角形， .C D=B,D .CB=BD=BC即A和D重合，連接BB交x軸于E,WJAB =AB=2/B AE=18& （ 180 - 60 ） =60, 在 RtAAB由，/ B AE=60 AB = 2 .AE=1, B E= ；, OE=2M=3,即

13、B的坐標是（3,-描）,設經過點B反比例函數的解析式是y=，代入得：k=- 3 ：；, 即丫=工故答案為：y= - * 3 .0【點評】本題考查了折疊性質，菱形性質，等邊三角形的性質和判定的應用，主 要考查學生的計算能力，題目比較好，有一定的難度.7 .如圖，在以。為原點的直角坐標系中，矩形 OABC的兩邊OG OA分別在x 軸、y軸的正半軸上，反比例函數y=K （x0）與AB相交于點D,與BC相交于點E,若BD=3AD,且 ODE的面積是9,則k=（5E九9A.P7B. C.424D. 12第25頁（共24頁）然后即【分析】所給的三角形面積等于長方形面積減去三個直角三角形的面積, 可求出B的

14、橫縱坐標的積即是反比例函數的比例系數.【解答】解：:四邊形 OCBA矩形, .AB=OC OA=BC設B點的坐標為（a, b）, v BD=3AD D (1, b),點D, E在反比例函數的圖象上,=k,E (a,&ODE=S矩形 OCBA SLAOD &OCEE- &BDE=ab-3aT? (b- -)=9,a.k3k 5 故選：C.【點評】此題考查了反比例函數的綜合知識，利用了：過某個點，這個點的坐 標應適合這個函數解析式；所給的面積應整理為和反比例函數上的點的坐標有 關的形式.8 . （2018?工北區模擬）如圖，反比例函數 y= （x0）的圖象經過矩形 OABC 乂對角線的交點M ,分

15、別于AB、BC交于點D、E,若四邊形ODBE的面積為24,則k的值為（）A. 2 B. 4C. 6 D. 8【分析】本題可從反比例函數圖象上的點 E、M、D入手，分別找出 OCE OAD UOABC勺面積與| k|的關系，列出等式求出k化【解答】解：由題意得：E M、D位于反比例函數圖象上，則 &OCE|k|, SaOAD=y| k| ,過點M作MGy軸于點G,作MNx軸于點N,則Saonm=| k| ,又 M為矩形ABCO對角線的交點，M S矩形ABCO=4onm=4| k| , 由于函數圖象在第一象限，. .k 0,貝(J _L+!_+24=4k, 2 2k=8.故選：D.(x0)【點評】

16、本題考查了反比例函數系數 k的幾何意義，過雙曲線上的任意一點分別 向兩條坐標軸作垂線，與坐標軸圍成的矩形面積就等于 |k| .本知識點是中考的 重要考點，同學們應高度關注.9.如圖，4AOB中，點C為邊AB的中點，反比例函數y4（k0）的圖象經過 A, C兩點，若 AOB的面積為12,則k的值是（）【分析】如圖，過A, C兩點作x軸的垂線，垂足分別為 M, N,連接CO.根據 已知條件得到SAACC=&obc=6,由反比例函數的性質可以知道 &aoc=S梯形amnc=6, 根據圖形的面積公式即可得到結論.【解答】解：如圖，過 A, C兩點作x軸的垂線，垂足分別為 M, N,連接CO. .C是

17、AB 的中點，又; SJaaob=12, Sacc=Sobc=6,由反比例函數的性質可以知道，S aoc=S梯形amnc=6 , . C 是 AB 中點，CN/ AM,.CN是直角三角形AMB的中位線,S cnb=33S梯形AMNC,由反比例函數知，& aom=，同時 S 梯形 amnc=6, Scnb= S梯形 amnc.&AOE=&AOM+S梯形 AMNC+&CNB,解得k=8.故選：A.【點評】本題考查了反比例函數系數 k的幾何意義，三角形的面積的計算，正確 的作出輔助線是解題的關鍵.10. （2018?南岸區模擬）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數 y= （kw0） 經過？ABCD的

18、頂點B、D,點A的坐標為（0, T）, AB/ x軸，CD經過點（0, 2）, ?ABCD的面積是18,則點D的坐標是（）%A. （-2, 2） B. （3, 2） C. （-3, 2） D. （-6, 1）【分析】根據點A的坐標為（0, T）, AB/ x軸，反比例函數y （k*0）經過?ABCD的頂點B,即可得到AB=- k,再根據平行四邊形 ABCD的面積是18, 即可得到k=- 6,即y=-依據CD經過點（0, 2）,即可得到點D的坐標為（-3, 2）.【解答】解：如圖，;點A的坐標為（0, -1）, AB/ x軸，反比例函數y當（kW0）經過？ABCD的頂點B,點B的坐標為（-k,

19、- 1）,即 AB=- k,又丁點 E (0, 2), . AE=1=3,又二.平行四邊形ABCD的面積是18, . ABX AE=18,- kX3=18,k=- 6,V CD經過點（0, 2）,.令 y=2,可得 x=- 3,點D的坐標為（-3, 2）, 故選：C.【點評】本題主要考查了平行四邊形的面積、待定系數法求反比例函數和一次函 數解析式，根據平行四邊形得面積求出 k的值是解答本題的關鍵.11. （2015春?石河子校級月考）如圖，在平面直角坐標系中，直線 y=2x+4與x 軸、y軸分別交于A、B兩點，以AB為邊在第二象限作正方形 ABCD點D在雙 曲線y=二上，將正方形ABCD沿x軸

20、正方向平移a個單位長度后，點C恰好落在 x此雙曲線上，則a的值是（）A. 1B. 2C. 3 D. 4【分析】作C已y軸于點E,交雙曲線于點GDF1 x軸于點F,易證 OAB FDAzBEC求得A、B的坐標，根據全等三角形的性質可以求得 C、D的 坐標，從而利用待定系數法求得反比例函數的解析式，進而求得 G的坐標，則a 的值即可求解.【解答】解：過點CELy軸于點E,交雙曲線于點G,過點D作DF1 x軸于點F, 在y=2x+4中，令x=0,解得：y=4,即B的坐標是（0, 4）,令y=0得：x=- 2,即A的坐標是（-2, 0）,則 OB=4, OA=2, vZ BAD=90, / BAO/D

21、AF=90,.直角 ABO中，/BAO+/OBA=90,丁. / DAF=Z OBA,在 OAB和 FDA中，ZBOA=ZATD,as二AD .OA AFDA,同理， OA AFDAABECAF=OB=EC=4 DF=OA=BE=2 .D的坐標是（-6, 2）, C的坐標是（-4, 6）.將點D代入y=與得:k=- 12,則函數的解析式是：y=- *OE=6,則C的縱坐標是6,把y=6代入y=-得：x=- 2,則G的坐標是（-2, 6）,CG= 2=2. a=2.故選：B.【點評】本題考查了反比例函數綜合，用到的知識點是正方形的性質、全等三角 形的判定與性質以及待定系數法求函數的解析式等，難度

22、適中，正確求得 G D 的坐標是關鍵，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用.12. （2015秋？重慶校級月考）如圖，菱形ABCD的頂點A在x軸的正半軸上，/DAB=60,若將菱形ABC訓AB翻折得到菱形ABC D D點恰好落在x軸上，雙 曲線y=k （x0）恰好經過點C和C,過C作CE垂直C曲勺延長線于E,連接CC,已知 及CEC =3A，則k的值是（）0 AA. 3 B. 3卜：二0 61Q. 6睡【分析】連接CA,連接DE,過D、C分別作DM，x軸，C比x軸，根據菱形的 性質可得 AB=BC=AD=DCDBAC, CE=AE亍AC, DE=EB=DB,再由/ DAB=602x,根據 SC

23、EC=證明 ABD是等邊三角形，可得BD=AB=BC設菱形邊長為x,則EB=x, CE,求出x的值，然后可得C和C的縱坐標，設C （a, 2退）,則有C （a+3,打），利用反比例函數圖象上點的坐標特點可得2正a=北（a+3）,計算出a的值，進而可得k的值.【解答】解：連接CA,連接DE,過D、C分別作DMx軸，C巫x軸,二.四邊形ABC皿菱形,AB=BC=AD=DC DB AC, CE=AE=.AC, DE=EB=-DB,二.將菱形ABCD沿AB翻折，彳馬至ij菱形ABC D兩菱形全等，即 AD =BC =C D； =AB vZ DAB=60, .ABD是等邊三角形，BD=AB=BC設菱形邊

24、長為x,則EB=kx, CE=Zlx,22解得：x=2,vZ DAB=60,丁. / DAM=/ C D N=60 . AM=D N=1根據勾股定理得：DM=C N=/3,即CW過點E, 設 C （a, 2 J3）,則有 C （a+3,心）， .雙曲線y=k（x0）恰好經過點C和C,2h/la=Q （a+3）,解得：a=3,貝U k=3X 2e=6百.故選：C.【點評】此題主要考查了折疊的性質，菱形的性質，坐標與圖形性質，以及反比例函數圖象上點的坐標特點，關鍵是掌握菱形四邊相等，對角線互相垂直且平分, 反比例函數圖象上的點橫縱坐標的積等于 k.13. （2014?玉林二模）如圖，正方形ABCD

25、的頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，反比例函數 y的圖象經過另外兩個頂點 G D,且點D （4, n） 二（0n4）,則k的值為（）A. 12 B. 8 C. 6 D. 4【分析】過D作D已x軸于E, FC1 y軸于點F.可以證明 AO陳 DEA則可 以利用n表示出A, B的坐標，即可利用n表示出C的坐標，根據C, D滿足函 數解析式，即可求得n的值.進而求得k的值.【解答】解：過D作DE，x軸于E, FCL y軸于點F, ./ DEA=90,二.四邊形ABCD正方形，AB=AD / BAD=90 , /BAO/DAE=90, /DAE+/ ADE=90, ./ DAE=Z ABO,又AB

26、=AD,. .AB ADAE同理， AB8ABCFOA=DE=n OB=AE=OE OA=4- n,則A點的坐標是（n, 0）, B的坐標是（0, 4-n）.C的坐標是（4-n, 4）.由反比例函數k的性質得到：4 （4-n） =4n,所以n=2.則D點坐標為（4, 2）,所以k=2X4=8.故選：B.【點評】本題考查了正方形的性質與反比例函數的綜合應用，體現了數形結合的 思想.14. （2016?重慶校級模擬）如圖，在平面直角坐標系中，正方形 ABCD的頂點O 在坐標原點，點B的坐標為（1, 4）,點A在第二象限，反比例函數y=的圖象A. - 2 B. - 4 C.D.154【分析】作AD，x軸于D,CHx軸于E,先通過證得 AOgzOCE得出AD=OEOD=CE設A （x,四），則c （上，-x）,根據正方形的性質求得對角線解得Fx工的坐標，根據直線OB的解析式設出直線AC的解析式為：y=-十x+b,代入交點坐標求得解析式，然后把 A, C的坐標代入即可求得k的值.【解答】解：作ADx軸于D, CELx軸于E,AOC=90, ./AOD+/COE=90,AOD+/OAD=90,丁.