1、2012年北京市高考數學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題共8 小題每小題5 分 .共 40 分 .在每小題列出的四個選項中，選出符合勝目要求的一項.1（ 5 分） （ 2012?北京） 已知集合A=x R|3x+2> 0 ， B=x R（| x+1 ）（ x 3） > 0， 則 AB= ，1）B（1，）C， 3D （A3， +）考點： 一 元二次不等式的解法；交集及其運算專題： 集 合分析：求出集合B，然后直接求解AB解答：解：因為B=x R|（x+1 ） （ x 3）>0=x|x <1 或 x>3，又集合A=x R|3x+2> 0 =x|x，所以

2、A B=x|x x|x<1 或x> 3=x|x > 3，故選：D點評： 本 題考查一元二次不等式的解法，交集及其運算，考查計算能力D ，在區域D 內隨機取2 （ 5 分） （ 2012?北京）設不等式組一個點，則此點到坐標原點的距離大于2 的概率是（）ABCD考點： 二 元一次不等式（組）與平面區域；幾何概型專題： 概 率與統計分析： 本 題屬于幾何概型，利用“測度 ”求概率，本例的測度即為區域的面積，故只要求出題中兩個區域：由不等式組表示的區域和到原點的距離大于2 的點構成的區域的面積后再求它們的比值即可解答： 解 ：其構成的區域D 如圖所示的邊長為2 的正方形，面積為S1

3、=4，滿足到原點的距離大于2 所表示的平面區域是以原點為圓心，以2 為半徑的圓外部，面積為=4 ，在區域D 內隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2 的概率 P=故選： D25本 題考查幾何概型，幾何概型的概率的值是通過長度、面積、和體積、的比值得到， 本題是通過兩個圖形的面積之比得到概率的值3 （ 5 分） （ 2012?北京）設a， b R “a=O”是 “復數 a+bi 是純虛數”的（）A 充 分而不必要條件C 充 分必要條件B 必 要而不充分條件D 既 不充分也不必要條件考點： 復 數的基本概念；必要條件、充分條件與充要條件的判斷專題： 數 系的擴充和復數分析： 利 用前后兩者的因

4、果關系，即可判斷充要條件解答： 解 ：因為a， b R “a=O”時 “復數 a+bi 不一定是純虛數”“復數 a+bi 是純虛數”則 “a=0”一定成立所以a， b R “a=O”是 “復數 a+bi 是純虛數”的必要而不充分條件故選 B點評： 本 題考查復數的基本概念，必要條件、充分條件與充要條件的判斷，考查基本知識的掌握程度4 （ 5分） （ 2012?北京）執行如圖所示的程序框圖，輸出的S 值為（）A 2B 4C 8D 16考點：循環結構專題：算法和程序框圖分析：列出循環過程中S 與 K 的數值，不滿足判斷框的條件即可結束循環解答： 解 ：第 1 次判斷后S=1 ， k=1 ，第2 次

5、判斷后S=2，k=2，第3 次判斷后S=8，k=3，第4 次判斷后3< 3，不滿足判斷框的條件，結束循環，輸出結果：8故選 C點評： 本 題考查循環框圖的應用，注意判斷框的條件的應用，考查計算能力5 （ 5 分） （ 2012?北京）如圖，ACB=90 °， CD AB 于點D，以BD 為直徑的圓與BC 交于點E則（）A CE?CB=AD ?DB B CE?CB=AD ?AB C AD?AB=CD 2 D CE?EB=CD 2考點： 與 圓有關的比例線段專題： 直 線與圓分析： 連 接 DE，以BD 為直徑的圓與BC 交于點E， DE BE，由ACB=90 °， CD

6、 AB 于點 D ， ACD CBD ，由此利用三角形相似和切割線定理，能夠推導出CE?CB=AD ?BD 解答： 解 ：連接 DE，以 BD 為直徑的圓與BC 交于點 E， DE BE， ACB=90 °， CD AB 于點D， ACD CBD， CD2=AD ?BD CD2=CE?CB， CE?CB=AD ?BD ，故選A點評： 本 題考查與圓有關的比例線段的應用，是基礎題解題時要認真審題，仔細解答，注意三角形相似和切割線定理的靈活運用6 （ 5分） （ 2012?北京）從0、 2 中選一個數字從1、 3、 5中選兩個數字，組成無重復數字的三位數其中奇數的個數為（）A 24B 1

7、8C 12D 6考點： 計 數原理的應用專題： 算 法和程序框圖分析： 分 類討論：從0、 2 中選一個數字0，則0 只能排在十位；從0、 2中選一個數字2，則 2 排在十位或百位，由此可得結論解答： 解 ：從0、 2 中選一個數字0，則0 只能排在十位，從1 、 3、 5 中選兩個數字排在個位與百位，共有=6 種；從 0、 2 中選一個數字2，則 2 排在十位，從1、 3、 5中選兩個數字排在個位與百位，共有=6 種；2 排在百位，從1、 3、 5 中選兩個數字排在個位與十位，共有=6 種；故共有3=18 種故選B點評： 本 題考查計數原理的運用，考查分類討論的數學思想，正確分類是關鍵7 （

8、 5 分） （ 2012?北京）某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是（B 30+6C 56+12D 60+12考點：由三視圖求面積、體積專題：立體幾何分析：通過三視圖復原的幾何體的形狀，利用三視圖的數據求出幾何體的表面積即可解答：解：三視圖復原的幾何體是底面為直角邊長為 4 和 5的三角形，一個側面垂直底面的等腰三角形，高為4，底邊長為5，如圖，所以 S 底 =10，S后 =，S 右 =10，S左=6S=S 底 +S 后 +S 右 +S 左 =30+6幾何體的表面積為：本 題考查三視圖與幾何體的關系，注意表面積的求法，考查空間想象能力計算能力8 （ 5分） （ 2012?北京）某棵果樹

9、前n 年的總產量Sn與 n 之間的關系如圖所示從目前記錄的結果看，前m 年的年平均產量最高，則m 的值為（）A 5B 7C 9D 11考點： 函 數的圖象與圖象變化；函數的表示方法專題： 函 數的性質及應用分析： 由 已知中圖象表示某棵果樹前n 年的總產量S與 n 之間的關系，可分析出平均產量的幾何意義為原點與該點邊線的斜率，結合圖象可得答案解答： 解 ：若果樹前n 年的總產量S 與 n 在圖中對應P（ S， n）點則前 n 年的年平均產量即為直線OP 的斜率由圖易得當n=9 時，直線OP 的斜率最大即前 9 年的年平均產量最高，故選 C點評： 本 題以函數的圖象與圖象變化為載體考查了斜率的幾

10、何意義，其中正確分析出平均產量的幾何意義是解答本題的關鍵.填空題共6小題每小題5 分共 30 分 .9 （ 5 分） （ 2012?北京）直線（ t 為參數）與曲線（ 為參數）的交點個數為2 考點 ： 圓 的參數方程；直線與圓的位置關系；直線的參數方程專題 ： 直 線與圓分析： 將 參數方程化為普通方程，利用圓心到直線的距離與半徑比較，即可得到結論解答：解：直線t 為參數）化為普通方程為x+y 1=0曲線（ 為參數）化為普通方程為x2+y2=9圓心（0， 0）到直線x+y 1=0 的距離為d=直線與圓有兩個交點故答案為：2點評： 本 題考查參數方程與普通方程的互化，考查直線與圓的位置關系，屬于

11、基礎題sn 為其前n 項和若a1= ， s2=a3，則a2=10 （ 5 分） （ 2012?北京）已知an是等差數列，1考點： 等 差數列的前n 項和；等差數列的通項公式專題： 等 差數列與等比數列由an是等差數列，a1= ， S2=a3，知= ，解得 d= ，由此能求出a2解答： 解：an是等差數列，a1= ， S2=a3，=，解得 d= ，故答案為：1 點評： 本 題考查等差數列的性質和應用，是基礎題解題時要認真審題，仔細解答11 （ 5 分） （ 2012?北京）在 ABC 中，若a=2， b+c=7， cosB= ，則 b= 4 考點： 解 三角形專題： 解 三角形分析： 根據a=2

12、， b+c=7， cosB=，利用余弦定理可得，即可求得b 的值解答： 解：由題意，a=2， b+c=7， cosB= ， b=4故答案為：4點評： 本 題考查余弦定理的運用，解題的關鍵是構建關于b 的方程，屬于基礎題12 （ 5 分） （ 2012?北京）在直角坐標系xOy 中直線l 過拋物線y2=4x 的焦點F且與該拋物線相交于A、 B 兩點其中點A 在 x 軸上方若直線l 的傾斜角為60° 則 OAF 的面積為考點： 直 線與圓錐曲線的綜合問題；直線的傾斜角；拋物線的簡單性質專題： 圓 錐曲線的定義、性質與方程分析： 確 定直線 l 的方程，代入拋物線方程，確定A 的坐標，從而

13、可求 OAF 的面積解答： 解 ：拋物線y2=4x 的焦點F 的坐標為（1 ， 0）直線 l 過 F，傾斜角為60°直線 l 的方程為：，即代入拋物線方程，化簡可得 y=2 ，或y= A 在 x 軸上方 OAF 的面積為=故答案為：點評： 本 題考查拋物線的性質，考查直線與拋物線的位置關系，確定 A 的坐標是解題的關鍵13 （ 5 分） （ 2012?北京）己知正方形ABCD 的邊長為1， 點 E 是 AB 邊上的動點則的值為1 考點： 平 面向量數量積的運算專題： 平 面向量及應用分析：直 接利用向量轉化，求出數量積即可解答：解：因為=1 故答案為：114 （5 分） （2012?

14、北京）已知f（x）=m（x2m）（ x+m+3） ，g（x）=2x2，若同時滿足條件： ?x R ， f（ x）<0 或 g（ x）<0； ?x（ ，4），f（x）g（x）<0則 m 的取值范圍是（4，2）考點： 全 稱命題；二次函數的性質；指數函數綜合題專題： 簡 易邏輯分析： 由于g（x）=2x20 時，x1，根據題意有f（x）=m（x2m）（ x+m+3）<0 在x> 1 時成立，根據二次函數的性質可求由于 x（ ，4） ，f（x）g（x）<0，而 g（x）=2x2< 0，則f（ x）=m（x 2m） （ x+m+3）>0 在x（ ，4）時

15、成立，結合二次函數的性質可求解答： 解：對于 g（ x）=2x2，當x<1時， g（x）<0，又 ?x R， f（x）<0或 g（x）<0 f（ x） =m（ x 2m） （ x+m+3 ）<0 在 x 1 時恒成立則由二次函數的性質可知開口只能向下，且二次函數與x 軸交點都在（1， 0）的左面則4<m<0 即 成立的范圍為4<m< 0又x （ ，4）， f（ x） g（x）<0此時g（ x） =2x 2< 0 恒成立f（x） =m（x2m）（ x+m+3 ）>0 在x（ ，4）有成立的可能，則只要4比 x1 ， x 2中

16、的較小的根大即可，（ i）當1< m< 0 時，較小的根為m 3，m 3<4 不成立，（ ii）當 m= 1 時，兩個根同為2>4，不成立，（ iii ）當4< m<1 時，較小的根為2m， 2m<4 即 m<2 成立綜上可得 成立時4< m<2故答案為：（4，2） 指數函數與二次函數性質的應用是解答點評： 本 題主要考查了全稱命題與特稱命題的成立， 本題的關鍵三、解答題公6 小題，共80 分解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程15 （ 13 分） （ 2012?北京）已知函數f（ x） =（ 1 ）求f（ x）的定義域及最小正周期

17、；（ 2）求f（ x）的單調遞增區間考 三角函數中的恒等變換應用；三角函數的周期性及其求法；復合三角函數的單調性點： 專 三角函數的圖像與性質 題：1 ）直接求出函數的定義域和最分 通過二倍角與兩角差的正弦函數，化簡函數的表達式， 析： 小正周期2）利用正弦函數的單調增區間，結合函數的定義域求出函數的單調增區間即可解 解：答：=sin2x 1 cos2x= sin（2x）1kZ， x|x k，kZ（1）原函數的定義域為x|x k ， k Z，最小正周期為 （ 2）由， k Z，解得k Z，又x|x k ， k Z，原函數的單調遞增區間為， k Z， k Z點本題考查三角函數中的恒等變換應用，三

18、角函數的周期性及其求法，復合三角函數的單評：調性，注意函數的定義域在單調增區間的應用，考查計算能力16 （ 14 分） （ 2012?北京）如圖1，在Rt ABC 中，C=90°， BC=3， AC=6 ， D， E 分別是AC， AB 上的點， 且 DE BC， DE=2， 將 ADE 沿 DE 折起到 A1DE 的位置， 使 A1C CD， 如圖2（1）求證：A 1C平面BCDE；（ 2）若M 是 A 1D 的中點，求CM 與平面 A1BE 所成角的大小；（3）線段BC 上是否存在點P，使平面A1DP 與平面A1BE 垂直？說明理由考點 ： 向 量語言表述面面的垂直、平行關系；直

19、線與平面垂直的判定；用空間向量求直線與 平面的夾角專題 ： 空 間位置關系與距離分析： （ 1）證明A 1C平面BCDE，因為A1C CD，只需證明A1C DE，即證明DE平面 A1CD；2）建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，求出平面A 1BE 法向量，= （1 ， 0，） ，利用向量的夾角公式，即可求得CM與平面A1BE 所成角的大小；（3） 設線段 BC 上存在點P，設 P 點坐標為（ 0，a，0）， 則a0，3， 求出平面A 1DP法向量為假設平面A1DP 與平面A1BE 垂直，則，可求得0 a 3，從而可得結論解答： （ 1）證明：CD DE， A1D DE， CDA1D=D，

20、DE平面A1CD，又A1C? 平面 A1CD，A1C DE又 A1C CD， CD DE=D A1C平面BCDE0，0）， D（2，0，0），A 1（0，0，2） ， B（ 0，（ 2）解：如圖建系，則C（ 0，3， 0） ， E（2， 2， 0）設平面 A1BE 法向量為又 M （1 ， 0，） ，=（1 ， 0，）CM 與平面 A1BE 所成角的大小45°3）解：設線段BC 上存在點P，設 P 點坐標為（0， a， 0） ，則a 0， 3設平面A1DP 法向量為假設平面A1DP 與平面A1BE 垂直，則，3a+12+3a=0， 6a= 12， a= 20 a 3BC 上存在點P，

21、使平面A 1DP 與平面A1BE 垂直本 題考查線面垂直，考查線面角，考查面面垂直，既有傳統方法，又有向量知識的運 用，要加以體會17 （ 13 分） （ 2012?北京）近年來，某市為促進生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、 可回收物和其他垃圾三類，并分別設置了相應的垃圾箱，為調查居民生活垃圾分類投放情況，先隨機抽取了該市三類垃圾箱總計1000 噸生活垃圾，數據統計如下（單位：噸）廚余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱4001001003024030202060（ 1 ）試估計廚余垃圾投放正確的概率；（ 2）試估計生活垃圾投放錯誤的概率；（ 3）假設廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、 “可

22、回收物”箱、 “其他垃圾”箱的投放量分別為a， b， c，其中a> 0， a+b+c=600當數據a， b， c的方差s2最大時，寫出a， b， c的值（結論不要求證明） ，并求此時s2的值（求：S2= + +， 其中 為數據x1， x2， ，xn 的平均數） 考 模擬方法估計概率；極差、方差與標準差點：專 概率與統計題：分 （ 1）廚余垃圾600 噸，投放到“廚余垃圾”箱 400 噸，故可求廚余垃圾投放正確的概率；析： （ 2）生活垃圾投放錯誤有200+60+20+20=300 ，故可求生活垃圾投放錯誤的概率；（ 3）計算方差可得=，因此有當a=600， b=0， c=0 時，有s2=

23、80000 解 解： （ 1 ）由題意可知：廚余垃圾600 噸，投放到“廚余垃圾”箱 400 噸，故廚余垃圾投放答： 正確的概率為；（ 2）由題意可知：生活垃圾投放錯誤有200+60+20+20=300 ，故生活垃圾投放錯誤的概率為；（ 3）由題意可知：a+b+c=600，a， b， c的平均數為200=， （ a+b+c） 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac a2+b2+c2， 因此有當a=600， b=0， c=0時， 有 s2=80000點 本題考查概率知識的運用，考查學生的閱讀能力，屬于中檔題評：18 （ 13 分） （ 2012?北京）已知函數f（ x） =ax2+1（ a

24、> 0） ， g（ x） =x 3+bx（ 1）若曲線y=f（ x）與曲線y=g（ x）在它們的交點（1， c）處具有公共切線，求a、 b 的值；（ 2）當a2=4b 時，求函數f（ x） +g（ x）的單調區間，并求其在區間（ ，1 ）上的最大值考點： 利 用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究函數的單調性；利用導數研究曲線上某點切線方程專題： 導 數的概念及應用分析： （ 1）根據曲線y=f（ x）與曲線y=g（ x）在它們的交點（1， c）處具有公共切線，可知切點處的函數值相等，切點處的斜率相等，故可求a、 b 的值；（ 2）根據a2=4b，構建函數，求導函數，利用導數的正負，可

25、確定函數的單調區間，進而分類討論，確定函數在區間（ ，1）上的最大值解答： 解 ： （1 ）f（x）=ax2+1 （a>0），則 f'（x）=2ax，k1=2a，g（x）=x3+bx，則g（x）=3x2+b， k2=3+b，由（1， c）為公共切點，可得：2a=3+b 又 f（ 1 ） =a+1 ， g（ 1 ） =1+b， a+1=1+b，即a=b，代入 式可得：（ 2）由題設a2=4b，設則，令h'（ x） =0，解得：，；a> 0，x（ ，）h（ x）+h（ x）極大值極小值（ ， ） 單調遞增，在單調遞減，在）上單調遞增 若，即 0< a2 時，最大值

26、為； 若< ，即2< a< 6 時，最大值為 若1 時，即a 6 時，最大值為h（） =1綜上所述：當a （ 0， 2時，最大值為；當 a （ 2， +）時，最大值為點評： 本 題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性與最值，解題的關鍵是正確求出導函數19 （14 分） （2012?北京）已知曲線C：（5m）x2+（m2）y2=8（mR）（ 1 ）若曲線C 是焦點在x 軸點上的橢圓，求m 的取值范圍；（ 2）設m=4，曲線c 與 y軸的交點為A， B（點 A 位于點 B 的上方） ，直線 y=kx+4 與曲線c 交于不同的兩點M 、 N，直線 y=1 與直線

27、 BM 交于點G求證：A， G， N 三點共線考點： 直 線與圓錐曲線的綜合問題；向量在幾何中的應用；橢圓的標準方程專題： 綜 合題；壓軸題；圓錐曲線的定義、性質與方程分析： （ 1）原曲線方程，化為標準方程，利用曲線C 是焦點在x 軸點上的橢圓可得不等式組，即可求得m 的取值范圍；（ 2）由已知直線代入橢圓方程化簡得：（ 2k2+1） x2+16kx+24=0 ， =32（ 2k2 3） ，解得：，設 N，則， 從而可得，=（ xN ，kx N+2） ，欲證 A， G，N 三點共線，只需證， 共線，利用韋達定理，可以證明1）解：原曲線方程可化簡得：C 是焦點在x 軸點上的橢圓可得：，解得：x

28、N， kxN+4） ， M（ xM， kxM+4） ， G（ xG， 1） ， MB 方程為：2）證明：由已知直線代入橢圓方程化簡得：3）0，解得：2k2+1 ) x2+16kx+24=0 ， =32( 2k2，設 N（ xN， kxN+4） ， M（ xM， kxM+4） ， G（ xG， 1） ， MB 方程為：，=（ xN， kxN+2） ，欲證A， G， N 三點共線，只需證， 共線即成立，化簡得：（ 3k+k） xMxN= 6（ xM+xN）將 代入可得等式成立，則A ， G， N 三點共線得證本 題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查三點共線，解題的關鍵是直線與橢圓方

29、程聯立，利用韋達定理進行求解20 （ 13 分） （ 2012?北京）設A 是由m×n 個實數組成的m 行 n 列的數表，滿足：每個數的絕對值不大于1 ， 且所有數的和為零，記 s（ m， n） 為所有這樣的數表構成的集合對于A S（ m，n）， 記r（iA）為 A 的第行各數之和（ 1 m），C（jA）為 A 的第 j列各數之和（ 1jn）；記 K（ A）為|r1（A）|，|R2（A）|， ，|Rm（A）|，|C1（ A）|，|C2（A）|， ，|Cn（A） |中的最小值1 ）如表 A ，求 K （ A ）的值；11 0.80.10.312）設數表A S（ 2， 3）形如11cab1求K（ A）的最大值；（ 3）給定正整數t，對于所有的A S（ 2， 2t+1 ） ，求 K（ A）的最大值考點： 進 行簡單的演繹推理；進行簡單的合情推理專題： 壓 軸題；新定義；推理和證明分析： （1）根據ri（A） ， Cj（A），定義求出r1（A） ，r2（A） ，c1（A），c2（A），c3（A） ，再根據K（A）為|r1（A）|，|R2（A） |，|R3（A）|，|C1（A）|