1、4.2三角恒等變換高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué) (江蘇省專用)A A組組 自主命題自主命題江蘇卷題組江蘇卷題組五年高考1.(2019江蘇,13,5分)已知=-,則sin的值是.tantan42324答案答案210解析解析本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角和的正弦公式等知識,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,考查的核心素養(yǎng)為邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算.=-,tan=-tan=-,整理得3tan2-5tan-2=0,tan=-或tan=2.sin=(sin2+cos2)=.當(dāng)tan=-時,sin=;tantan423234231tan1tan1324222222222sincoscossincossin22222tan1t

2、an1tan 1324210當(dāng)tan=2時,sin=.所以答案為.24210210一題多解一題多解=-,=-.=-.=-.sin=.tantan423sincos4cos sin4231sinsin2441sinsin244232sin 2422sin 24223242102.(2017江蘇,5,5分)若tan=,則tan=.416答案答案75解析解析本題考查兩角和的正切公式.因?yàn)閠an=,所以tan=tan=.41644tantan441tantan441161116753.(2015江蘇,8,5分)已知tan=-2,tan(+)=,則tan的值為.17答案答案3解析解析解法一:tan=ta

3、n(+)-=3.解法二:tan(+)=,解得tan=3.tan()tan1tan()tan1( 2)711( 2)7 tantan1tantan2tan12tan 174.(2018江蘇,16,14分)已知,為銳角,tan=,cos(+)=-.(1)求cos2的值;(2)求tan(-)的值.4355解析解析本題主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角差及二倍角的三角函數(shù),考查運(yùn)算求解能力.(1)因?yàn)閠an=,tan=,所以sin=cos.因?yàn)閟in2+cos2=1,所以cos2=,所以cos2=2cos2-1=-.(2)因?yàn)?為銳角,所以+(0,).又因?yàn)閏os(+)=-,所以sin(+)=,因此tan

4、(+)=-2.因?yàn)閠an=,所以tan2=-.因此tan(-)=tan2-(+)=-.43sincos439257255521cos ()2 554322tan1tan247tan2tan()1tan2 tan()211方法提煉方法提煉應(yīng)用三角公式解決問題的三個變換角度:(1)變角:目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角,其手法通常是“配湊”.(2)變名:通過變換函數(shù)名稱達(dá)到減少函數(shù)種類的目的,其手法通常有“切化弦”“升冪與降冪”等.(3)變式:根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形,使其更貼近某個公式或某個期待的目標(biāo),其手法通常有“常值代換”“逆用變形用公式”“通分約分”“分解與組合”“配方與平方”等.B

5、 B組統(tǒng)一命題、省組統(tǒng)一命題、省( (區(qū)、市區(qū)、市) )卷題組卷題組1.(2019課標(biāo)全國文改編,5,5分)函數(shù)f(x)=2sinx-sin2x在0,2的零點(diǎn)個數(shù)為.答案答案3解析解析本題考查函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判斷,以三角函數(shù)為背景同時考查三角函數(shù)式的求值與化簡,以及學(xué)生的運(yùn)算求解能力和函數(shù)與方程思想的應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).由f(x)=2sinx-sin2x=2sinx-2sinxcosx=2sinx(1-cosx)=0得sinx=0或cosx=1,x=k,kZ,又x0,2,x=0,2,即零點(diǎn)有3個.解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵遵循角度統(tǒng)一原則,利用二倍角的正弦公式展開計算是解決本題的關(guān)鍵.2.(2

6、019課標(biāo)全國理改編,10,5分)已知,2sin2=cos2+1,則sin=.0,2答案答案55解析解析本題考查了三角恒等變換以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系;考查了學(xué)生對方程的思想方法的綜合運(yùn)用,以及運(yùn)算求解能力;通過三角恒等變換考查了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).由二倍角公式可知4sincos=2cos2.,cos0,2sin=cos,tan=,sin=.0,21255技巧點(diǎn)撥技巧點(diǎn)撥常見與“1”有關(guān)的三角恒等變換:1+sin2=(sin+cos)2;1-sin2=(sin-cos)2;1+cos2=2cos2;1-cos2=2sin2;=;=.1cos1 cos1cos|sin|1 sin1

7、sin1 sin|cos|3.(2018課標(biāo)全國理改編,4,5分)若sin=,則cos2=.13答案答案79解析解析由sin=,得cos2=1-2sin2=1-2=1-=.1321329794.(2018課標(biāo)全國文,15,5分)已知tan=,則tan=.5415答案答案32解析解析本題主要考查兩角差的正切公式.tan=,解得tan=.545tantan451tantan4tan11tan15325.(2017山東文改編,4,5分)已知cosx=,則cos2x=.34答案答案18解析解析本題考查二倍角的余弦公式.因?yàn)閏osx=,所以cos2x=2cos2x-1=2-1=.34234186.(20

8、17課標(biāo)全國文,15,5分)已知,tan=2,則cos=.0,24答案答案3 1010解析解析因?yàn)?且tan=2,所以sin=2cos,又sin2+cos2=1,所以sin=,cos=,則cos=coscos+sinsin=+=.0,2sincos2 555544455222 55223 1010易錯警示易錯警示在求三角函數(shù)值時,常用到sin2+cos2=1和tan=,同時要注意角的范圍,以確定三角函數(shù)值的正負(fù).sincos7.(2016課標(biāo)全國理改編,9,5分)若cos=,則sin2=.435答案答案-725解析解析解法一:cos=,sin2=cos=cos=2cos2-1=2-1=-.解法

9、二:cos=(cos+sin)=cos+sin=1+sin2=,sin2=-.43522244235725422353 251825725導(dǎo)師點(diǎn)睛導(dǎo)師點(diǎn)睛求解三角函數(shù)的給值求值問題,關(guān)鍵是把待求三角函數(shù)值的角用已知角表示:(1)已知角有兩個時,待求三角函數(shù)值的角一般表示為已知角的和或差;(2)已知角有一個時,待求三角函數(shù)值的角一般與已知角成“倍數(shù)關(guān)系”或“互補(bǔ)、互余關(guān)系”.8.(2016課標(biāo)全國改編,11,5分)函數(shù)f(x)=cos2x+6cos的最大值為.2x答案答案5解析解析f(x)=1-2sin2x+6sinx=-2+,當(dāng)sinx=1時,f(x)取得最大值5.23sin2x112思路分析

10、思路分析利用二倍角余弦公式及誘導(dǎo)公式將f(x)=cos2x+6cos轉(zhuǎn)化為關(guān)于sinx的二次函數(shù),通過配方法來求最值,注意不要忘記sinx-1,1.2x9.(2016課標(biāo)全國改編,6,5分)若tan=-,則cos2=.13答案答案45解析解析解法一:因?yàn)閠an=-,所以cos2=cos2-sin2=.解法二:由tan=-,可得sin=,因而cos2=1-2sin2=.132222cossincossin221tan1tan451311045評析評析本題考查化歸與轉(zhuǎn)化的能力.屬中檔題.10.(2016四川理,11,5分)cos2-sin2=.88答案答案22解析解析由二倍角公式易得cos2-si

11、n2=cos=.884221.(2015四川,12,5分)sin15+sin75的值是.C C組教師專用題組組教師專用題組答案答案62解析解析sin15+sin75=sin15+cos15=sin(15+45)=sin60=.22622.(2015重慶改編,9,5分)若tan=2tan,則=.53cos10sin5答案答案3解析解析=,tan=2tan,=3.3cos10sin53sin210sin5sin5sin5sincoscos sin55sincoscos sin55tantan5tantan553cos10sin53tan5tan53.(2014課標(biāo)全國改編,8,5分)設(shè),且tan=

12、,則2-=.0,20,21sincos答案答案2解析解析由tan=得=,即sincos=cos+sincos,所以sin(-)=cos,又cos=sin,所以sin(-)=sin,又因?yàn)?所以-,0-,因此-=-,所以2-=.1sincossincos1sincos220,20,22222224.(2013課標(biāo)全國理,15,5分)設(shè)當(dāng)x=時,函數(shù)f(x)=sinx-2cosx取得最大值,則cos=.答案答案-2 55解析解析由輔助角公式得f(x)=sin(x-),其中sin=,cos=,由x=時,f(x)取得最大值得:sin(-)=1,-=2k+,kZ,即=+2k,kZ,cos=cos=-si

13、n=-.552 5sincos55xx52 55552222 55評析評析本題考查了輔助角公式的應(yīng)用,準(zhǔn)確掌握輔助角的含義是解題關(guān)鍵.5.(2014江蘇,15,14分)已知,sin=.(1)求sin的值;(2)求cos的值.,2554526解析解析(1)因?yàn)?sin=,所以cos=-=-.故sin=sincos+cossin=+=-.(2)由(1)知sin2=2sincos=2=-,cos2=1-2sin2=1-2=,所以cos=coscos2+sinsin2=+=-.,25521 sin 2 55444222 5522551010552 55452553552656563235124543

14、310思路分析思路分析(1)先根據(jù)的范圍及sin的值求出cos,然后用兩角和的正弦公式求解即可.(2)出現(xiàn)二倍角,聯(lián)想到利用二倍角公式求解三年模擬A A組組 20172019 20172019年高考模擬年高考模擬考點(diǎn)基礎(chǔ)題組考點(diǎn)基礎(chǔ)題組1.(2019揚(yáng)州中學(xué)檢測,7)已知,sin(+)=-,cos=-,則sin的值等于.0,2,235513答案答案6365解析解析由0,得+,cos(+)0,cos(+)=-=-,sin=.sin=sin(+)-=sin(+)cos-cos(+)sin=-=.2223221 sin ()4521cos 12133551345121363652.(2019南京六校

15、聯(lián)合體聯(lián)考,9)已知tan=-,則sin的值是.4170,26答案答案3 3410解析解析tan=-,tan=tan=,故sin=,cos=,sin=sin+cos=.4170,244117117343545632123 3410評析評析本題考查了兩角和的正弦、正切公式,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,考查了計算能力,屬于基礎(chǔ)題.3.(2019揚(yáng)州中學(xué)檢測,8)已知tan(+)=1,tan(-)=2,則的值為.sin2cos2答案答案1解析解析tan(+)=1,tan(-)=2,=1.sin2cos2sin()()cos()()sin()cos()cos()sin()cos()cos()sin()s

16、in()tan()tan()1tan()tan()1212思路分析思路分析分析條件與結(jié)論中角之間的關(guān)系發(fā)現(xiàn):2=(+)+(-),2=(+)-(-),這樣就可以將用條件中的角表示出來.sin2cos24.(2019海安期末,10)已知sin(2+)=psin,tan(+)=ptan,其中p為正的常數(shù),且p1,則p的值為.答案答案+12解析解析由sin(2+)=psin得sin(+)=psin(+-),即sincos(+)+cossin(+)=psin(+)cos-cos(+)sin,即(p+1)sincos(+)=(p-1)sin(+)cos,即tan=tan(+),所以=p,即p2-2p-1=

17、0,解得p=1.又p為正的常數(shù),所以p=+1.11pp11pp22思路分析思路分析三角函數(shù)的變換可以從角的關(guān)系入手找思路,第一個條件是2與的關(guān)系,第二個條件是+與的關(guān)系,只需把前面的角用+與表示即可.于是就有了以下處理方法:由sin(2+)=psin得sin(+)=psin(+-),然后左右展開,弦化切,從而得到關(guān)于p的方程,解得常數(shù)p的值.5.(2019江都中學(xué)、華羅庚中學(xué)等13校聯(lián)考,9)已知cos=-,則sin=.410100,223答案答案43 310解析解析cos=-,(cos-sin)=-,cos-sin=-,則1-2sincos=,sin2=,又2,cos2=-.sin=sin2

18、cos-cos2sin=-=.41010221010550,242154523523334512353243 3106.(2019海安中學(xué)檢測,9)若cosxcosy+sinxsiny=,sin2x+sin2y=,則sin(x+y)=.1223答案答案23解析解析cosxcosy+sinxsiny=,cos(x-y)=.又sin2x+sin2y=,sin(x+y)+(x-y)+sin(x+y)-(x-y)=2sin(x+y)cos(x-y)=,sin(x+y)=.12122323237.(2019海安高級中學(xué)檢測,9)若cos=2cos,則tan=.48答案答案213解析解析cos=2cos,

19、cos=2cos,展開得coscos+sinsin=2,所以有coscos=3sinsin,tan=.488888888coscossinsin888888888cos83sin81cos421 cos43222422341322222138.(2019姜堰中學(xué)、淮陰中學(xué)期中,15)已知a=(cos,1),b=(1,sin),若ab=.(1)求sin的值;(2)求cos的值.,21524解析解析(1)由題意知ab=cos+sin=sin=,所以sin=.(2分)因?yàn)?所以+,所以cos=-=-.(5分)所以sin=sin=sin-cos=-=.(7分)(2)由(1)知sin=,cos=-,所以

20、cos=1-2sin2=,sin=2sincos=-,(10分)24154210,2435,44421 sin47 2104422422422210227 21045421047 21024424252444725所以cos=cos=cos+sin=-.(14分)2432442224222431 250評分細(xì)則評分細(xì)則第(1)問角的范圍不寫扣1分,結(jié)果多解扣1分;第(2)問其他方法酌情給分,整個解答過程無公式的展示扣2分,但不重復(fù)扣分.一、填空題(每小題5分,共35分)B B組組 20172019 20172019年高考模擬年高考模擬專題綜合題組專題綜合題組(時間：25分鐘 分值：50分)1.

21、(2019無錫期中,9)已知sin=,則sin+sin的值為.6x2456x26x答案答案324解析解析sin=sin=sin=,sin=sin=cos=cos=1-2sin2=1-2=,所以sin+sin=.56x6x6x2426x223x23x26x6x2243456x26x3242.(2017蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研(一),12)已知sin=3sin,則tan=.612答案答案2-43解析解析由sin=3sin,可得sin=3sin,整理可得sincos=-2cossin,所以tan=-2tan=-2tan=-2=2-4.6121212121212121212123431133解后反

22、思解后反思本題的求解關(guān)鍵是將sin=3sin變形為sin=3sin.6121212123.(2019揚(yáng)州期末,12)設(shè)a,b是非零實(shí)數(shù),且滿足=tan,則=.sincos77cossin77abab1021ba答案答案3解析解析tan=tan=,tan=,所以=.102173tan3713tan7sin3cos77cos3sin771021sincos77cossin77babasin3cos77cos3sin77ba34.(2017揚(yáng)州期末,10)已知,+=2,則sin=.,21sin1cos223答案答案12解析解析由+=2得sin+cos=2sincos,兩邊平方得1+sin2=2sin

23、22,解得sin2=-或sin2=1,2(,2),-1sin20,令6-2tanAtanB=t(t0),cos2A+cos2B=(當(dāng)且僅當(dāng)t=4時取等).222cossincosAAA222cossincosBBB21tan1A21tan1B22222tantan2(tantan)tantan1ABABAB222(tantan)2tantan2(tantan)(tantan)2tantan1ABABABABAB262tantan(tantan)2tantan5ABABAB24832ttt4328tt21227.(2019泰州期末,14)在ABC中,已知sinAsinBsin(C-)=sin2C

24、,其中tan=,若+為定值,則實(shí)數(shù)=.12021tan A1tan B2tanC答案答案510解析解析由tan=,得sin=,cos=,由sinAsinBsin(C-)=sin2C,得sinAsinB=sin2C,即=.+=+=+=+=+=-+,設(shè)+=k(k為定值),1202552 552 55sincos55CC2sinsinsinCAB12 55sincos55CC1tan A1tan B2tanCcossinAAcossinBB2cossinCCsinsinsinCAB2cossinCC2sinsinsinsinCABC2cossinCC1sinC12 55sincos55CC2cossinCC12 55155cossinCC2co