1、實用標準文案1定義：如圖中， AB=AC=1（ 1）求證：點（ 2）求出線段 ABC黃金分割專項練習30 題（有答案）1，點 C 在線段 AB 上，若滿足AC 2=BC ?AB，則稱點C 為線段 AB 的黃金分割點如圖2，A=36 ， BD 平分 ABC 交 AC 于點 DD 是線段 AC 的黃金分割點；AD 的長精彩文檔2如圖，用長為40cm 的細鐵絲圍成一個矩形ABCD （ AB AD ） 1）若這個矩形的面積等于99cm2，求AB 的長度；2）這個矩形的面積可能等于101cm2嗎？若能，求出AB 的長度，若不能，說明理由；3）若這個矩形為黃金矩形（AD 與 AB 之比等于黃金比） ，求該

2、矩形的面積（結果保留根號）3定義：如圖1，點 C 在線段 AB 上，若滿足AC 2=BC ?AB，則稱點C 為線段 AB 的黃金分割點如圖2， ABC 中， AB=AC=2 ，A=36 ， BD 平分 ABC 交 AC 于點D（ 1）求證：點D 是線段 AC 的黃金分割點；（ 2）求出線段AD 的長4作一個等腰三角形，使得腰與底之比為黃金比（ 1）尺規作圖并保留作圖痕跡；（ 2）寫出你的作法；（ 3）證明：腰與底之比為黃金比5 （ 1）已知線段AB 的長為 2， P 是 AB 的黃金分割點，求AP 的長；（ 2）求作線段AB 的黃金分割點P，要求尺規作圖，且使AP PB6如圖，線段AB 的長度

3、為1 （ 1）線段 AB 上的點 C 滿足系式AC 2=BC ?AB ，求線段AC 的長度；（選做）（2）線段AC 上的點D 滿足關系式AD 2=CD ?AC，求線段AD 的長度；（選做）（3）線段AD 上的點E 滿足關系式AE 2=DE ?AD ，求線段AE 的長度；上面各題的結果反映了什么規律？（提示：在每一小題中設x 和 l）7如圖，在 ABC 中， AB=AC ，A=36 ，1= 2，請問點D 是不是線段AC 的黃金分割點請說明理由8在 ABC 中， AB=AC=2 ， BC= 1 ，A=36 ， BD 平分 ABC ，交于 AC 于 D 試說明點D 是線段 AC 的黃金分割點9 在數

4、學上稱長與寬之比為黃金分割比的矩形為黃金矩形，如在矩形ABCD 中， 當時， 稱矩形 ABCD為黃金矩形ABCD 請你證明黃金矩形是由一個正方形和一個更小的黃金矩形構成10如圖，設AB 是已知線段，在AB 上作正方形ABCD ；取 AD 的中點 E，連接 EB；延長 DA 至 F，使EF=EB；以線段 AF 為邊作正方形AFGH 則點 H 是 AB 的黃金分割點為什么說上述的方法作出的點H 是這條線段的黃金分割點，你能說出其中的道理嗎？請試一試，說一說11如圖，已知 ABC 中， D 是 AC 邊上一點，A=36，C=72 ，ADB=108 求證：（ 1） AD=BD=BC ；（ 2）點D 是

5、線段 AC 的黃金分割點實用標準文案12已知AB=2 ，點 C 是 AB 的黃金分割線，點D 在 AB 上，且AD 2=BD ?AB ，求 的值13 如果一個矩形ABCD（ AB BP，設以AP 為邊長的正方形面積為S1，以 PB 為寬和以AB 為長的矩形面積為S2，試比較S1 與 S2的大小18如圖，在平行四邊形ABCD 中， E 為邊 AD 延長線上的一點，且D 為 AE 的黃金分割點，即，BE 交 DC 于點 F，已知，求 CF 的長19圖1 是一張寬與長之比為的矩形紙片，我們稱這樣的矩形為黃金矩形同學們都知道按圖2 所示的折疊方法進行折疊，折疊后再展開，可以得到一個正方形ABEF 和一

6、個矩形EFDC，那么EFDC 這個矩形還是黃金矩形嗎？若是，請根據圖2 證明你的結論；若不是，請說明理由20 （如圖1） ，點 P 將線段 AB 分成一條較小線段AP 和一條較大線段BP，如果，那么稱點P 為線段 AB 的黃金分割點，設=k，則k 就是黃金比，并且k0.618（ 1） 以圖 1 中的 AP 為底， BP 為腰得到等腰 APB（如圖2） ， 等腰 APB 即為黃金三角形，黃金三角形的定義為：滿足 0.618 的等腰三角形是黃金三角形；類似地，請你給出黃金矩形的定義：；（ 2）如圖1，設 AB=1 ，請你說明為什么k 約為0.618；（ 3）由線段的黃金分割點聯想到圖形的“黃金分割

7、線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l 將一個面積為S 的圖形分成面積為S1 和面積為S2的兩部分（設S1 GD）29三角形中，頂角等于36的等腰三角形稱為黃金三角形，如圖1，在 ABC 中，已知：AB=AC ，且A=36（ 1）在圖1 中，用尺規作AB 的垂直平分線交AC 于 D，并連接BD（保留作圖痕跡，不寫作法）；（ 2） BCD 是不是黃金三角形？如果是，請給出證明；如果不是，請說明理由；（ 3）設，試求k 的值；精彩文檔4）如圖2，在 A1B1C1 中，已知A1B1=A1C1，A 1=108，且A 1B 1=AB ，請直接寫出的值30如圖1，點 C 將線段 AB 分成兩部分，如

8、果，那么稱點C 為線段 AB 的黃金分割點某研究小組在進行課題學習時，由黃金分割點聯想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l 將一個面積為S 的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S1， S2，如果，那么稱直線l 為該圖形的黃金分割線（ 1）研究小組猜想：在 ABC 中，若點D 為 AB 邊上的黃金分割點（如圖2） ，則直線CD 是 ABC 的黃金分割線你認為對嗎？為什么？ （ 2）請你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？（ 3） 研究小組在進一步探究中發現：過點 C 任作一條直線交AB 于點E， 再過點 D 作直線 DF CE， 交 AC 于點 F，連接EF（如

9、圖3） ，則直線EF 也是 ABC 的黃金分割線請你說明理由（ 4）如圖4，點E 是平行四邊形ABCD 的邊 AB 的黃金分割點，過點E 作 EF AD ，交 DC 于點F，顯然直線EF是平行四邊形ABCD 的黃金分割線請你畫一條平行四邊形ABCD 的黃金分割線，使它不經過平行四邊形ABCD各邊黃金分割點黃金分割專項練習30 題參考答案:1 （ 1）證明：AB=AC=1 ，ABC= C= （ 180 A） = （ 180 36） =72， BD 平分 ABC 交 AC 于點 D，ABD= CBD= ABC=36 ，BDC=180 36 72 =72， DA=DB ， BD=BC ， AD=BD

10、=BC ，易得 BDC ABC， BC： AC=CD ： BC，即BC 2=CD ?AC， AD 2=CD ?AC ，點 D 是線段 AC 的黃金分割點；（ 2）設AD=x ，則 CD=AC AD=1 x， AD 2=CD ?AC ， x2=1 x，解得x1=， x2=，即 AD 的長為2解：（ 1）設AB=xcm ，則 AD= （ 20 x） cm，根據題意得x（ 20 x） =99，整理得x2 20x+99=0 ，解得x1=9， x 2=11 ，當 x=9 時，20 x=11 ；當 x=11 時，20 11=9，而 AB AD ，所以x=11 ，即AB 的長為11cm；（ 2）不能理由如下

11、：設 AB=xcm ，則 AD= （ 20 x） cm，根據題意得x（ 20 x） =101 ，整理得x 2 20x+101=0 ，因為 =202 4 101= 4 BC） ， 且使 AC 是 AB 和 BC 的比例中項（即 AB ：AC=AC ： BC） ，則 C 點為 AB 的黃金分割點7解：D 是 AC 的黃金分割點理由如下：在 ABC 中， AB=AC ，A=36 ， ABC= ACB=72 1= 2，1= 2= ABC=36 在 BDC 中，BDC=180 2C=72， C= BDC ， BC=BD A= 1 ， AD=BC ABC 和 BDC 中，2=A， C= C，ABC BDC

12、 ，又AB=AC ，AD=BC=BD， AD 2=AC ?CD ，即D 是 AC 的黃金分割點8證明：AB=AC ，A=36 ， ABC= ( 180 36) =72， BD 平分ABC ，交于 AC 于 D，DBC= ABC= 72=36， A= DBC ，又 C= C，BCD ABC ， AB=AC ，=， AB=AC=2 ， BC= 1， 2（ 1 ）=2 （ 2 AD ） ，解得AD= ，AD ： AC= （） ： 2點D 是線段AC 的黃金分割點9證明：在AB 上截取 AE=BC ， DF=BC ，連接EF AE=BC ， DF=BC ， AE=DF=BC=AD ，又ADF=90 ，

13、四邊形AEFD 是正方形BE=，矩形 BCFE 的寬與長的比是黃金分割比，矩形BCFE 是黃金矩形黃金矩形是由一個正方形和一個更小的黃金矩形構成10解：設正方形ABCD 的邊長為2，在 Rt AEB 中，依題意，得AE=1 ， AB=2 ，由勾股定理知EB=， AH=AF=EF AE=EB AE= 1 ，HB=AB AH=3 ； AH 2=（） 2=6 2 ，AB?HB=2 （ 3） =6 2， AH 2=AB ?HB ，所以點 H 是線段 AB 的黃金分割點11證明： （ 1）A=36，C=72 ，ABC=1803672 =72 ，ADB=108，ABD=18036108=36，ADB 是等

14、腰三角形，BDC=180ADC=180 108 =72，BDC 是等腰三角形，AD=BD=BC （ 2）DBC= A=36， C= C， ABC BDC ， BC： AC=CD ： BC， BC2=AC ?DC， BC=AD ， AD 2=AC ?DC，點 D 是線段 AC 的黃金分割點12解：D 在 AB 上，且 AD 2=BD ?AB ，點D 是 AB 的黃金分割點而點C 是 AB 的黃金分割點， AC= AB= 1， AD=AB AB= AB=3 或 AD= 1， AC=3 CD= 1（3） =2 4，= 或=13解：矩形ABFE 是黃金矩形 AD=BC ， DE=AB ，= 1=ABF

15、E 是黃金矩形AD BD ） ，14解：D 為 AB 的黃金分割點（ AD= AB=10 10， EC+CD=AC+CD=AD ， EC+CD= （ 10 10） cm15解：設他的肚臍到腳底的長度為xm 時才是黃金身段，根據題意得x： 1.70=0.618，即 x=1.700.618 1.1（ m） 答：他的肚臍到腳底的長度為1.1m 時才是黃金身段PD=，16解：（ 1）在Rt APD 中， AP=1 ， AD=2 ，由勾股定理知 AM=AF=PF AP=PD AP= 1 ，DM=AD AM=3 故 AM 的長為 1 ， DM 的長為3；2）點M 是 AD 的黃金分割點=，點 M 是 AD

16、 的黃金分割點17解：點P 是線段 AB 的黃金分割點，且AP BP， AP 2=BP AB ，又S1=AP2， S2=PBAB ， S1=S218解：四邊形ABCD 為平行四邊形， CBF= AEB ，BCF= BAE，BCF EAB ，即，把 AD=， AB= +1 代入得，=，解得：CF=2故答案為：219解：矩形EFDC 是黃金矩形，證明：四邊形ABEF 是正方形， AB=DC=AF ，又，即點F 是線段 AD 的黃金分割點，矩形 CDFE 是黃金矩形20解： 0.618（ 1）滿足（ 2）由=k 得， BP=1 k=k，從而 AP=1 k，由得，BP2=AP AB ，即 k2=（ 1

17、 k） 1，解得 k=， k 0， k= 0.618；3）因為點P 是線段 AB 的黃金分割點，所以設 ABC 的 AB 上的高為h，則CP 是 ABC 的黃金分割線（ 4）由（2）知，在BC 邊上也存在這樣的黃金分割點Q，則AQ 也是黃金分割線，設AQ 與 CP 交于點 W，則過點 W 的直線均是 ABC 的黃金分割線，故黃金分割線有無數條21解：根據已知條件得下半身長是1600.6=96cm，設選擇的高跟鞋的高度是xcm，則根據黃金分割的定義得：=0.618，解得：x 7.5cm故她應該選擇7.5cm 左右的高跟鞋穿上看起來更美22解：設正方形ABCD 的邊長為2a，在 Rt AEB 中，

18、依題意，得AE=a， AB=2a，由勾股定理知EB=a， AH=AF=EF AE=EB AE= （ 1 ） a，HB=AB AH= （ 3） a； AH 2=（ 6 2） a2，AB ?HB=2a （ 3） a=（ 6 2 ） a2， AH 2=AB ?HB ，所以點 H 是線段 AB 的黃金分割點23證明：設正方形ABCD 的邊長為2，E 為 BC 的中點， BE=1 AE=，又BE=BE=1 ， AB =AE BE= 1， AB 點 B 是線段 AB 的黃金分割點24證明：正方形ABCD 的邊長為2， E 為 BC 的中點， BE=1AE=， EF=BE=1 ，AF=AEEF= 1 ，AM

19、=AF=1 ， AM ： AB= （ 1） ： 2，點M 是線段AB的黃金分割點25解：（ 1） BD=DC=AC 則B= DCB ， CDA= A設B=x，則DCB=x， CDA= A=2x 又 BOC=108 ，B+ A=108 x+2x=108， x=36 B=36 ；（ 2） 有三個： BDC， ADC ， BAC DB=DC ，B=36 ， DBC 是黃金三角形，（或 CD=CA ，ACD=180 CDA A=36 CDA 是黃金三角形或ACE=108 ，ACB=72 又A=2x=72 ，A= ACB BA=BC BAC 是黃金三角形 BAC 是黃金三角形， BC=2， AC= 1

20、BA=BC=2 ， BD=AC= 1 ， AD=BA BD=2 （ 1 ） =3， 存在，有三個符合條件的點P1、 P2、 P3）以 CD 為底邊的黃金三角形：作CD 的垂直平分線分別交直線AB 、 BC 得到點P1、 P2）以 CD 為腰的黃金三角形：以點C 為圓心，CD 為半徑作弧與BC 的交點為點P326證明：在正方形ABCD 中，取 AB=2a ， N 為 BC 的中點，NC= BC=a在 Rt DNC 中，又 NE=ND ， CE=NE NC= （ 1） a故矩形 DCEF 為黃金矩形2） CM=AB （ 4 分）28證明：如圖，連接GF，設正方形ABCD1 ，則 DF= 在 Rt BCF 中， BF=則 AF=BF BA= 1=，設 AG=A G=x，則GD=1 x，在 Rt AGF 和 Rt DGF 中，有AF 2+AG 2=DF 2+DG 2，解得 x= ，即點 G 是 AD 的黃金分割點（AG GD） 29解：（ 1）如圖所示；（ 2） BCD 是黃金三角形證明如下：點D 在 AB 的垂直平分線上， AD=BD ， ABD= AA=36 ，AB=AC ，ABC= C=72，ABD= DBC=36 又BD