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文檔簡介

1、【精品文檔】如有侵權,請聯系網站刪除,僅供學習與交流知識講解_正弦定理_提高.精品文檔.正弦定理編稿:李霞審稿:張林娟【學習目標】1.通過對直角三角形邊角間數量關系的研究,發現正弦定理,初步學會運用由特殊到一般的思維方法發現數學規律;2.會利用正弦定理解決兩類解三角形的問題;(1)已知兩角和任意一邊,求其他兩邊和一角;(2)已知兩邊和其中一邊的對角,求另一邊的對角(從而求出其它邊角). 【要點梳理】要點一:學過的三角形知識1.中(1)一般約定:中角A、B、C所對的邊分別為、;(2);(3)大邊對大角,大角對大邊,即; 等邊對等角,等角對等邊,即;(4)兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊,即

2、,.2.中,(1),(2)(3),;要點二:正弦定理及其證明正弦定理:在一個三角形中各邊和它所對角的正弦比相等,即:直角三角形中的正弦定理的推導證明:, , ,即:, 斜三角形中的正弦定理的推導證明:法一:向量法(1)當為銳角三角形時過作單位向量垂直于,則+= 兩邊同乘以單位向量,得(+)=,即同理:若過作垂直于得: (2)當為鈍角三角形時設,過作單位向量垂直于向量,同樣可證得:法二:構造直角三角形(1)當為銳角三角形時如圖,作邊上的高線交于,則:在中, ,即,在中, ,即,,即.同理可證(2)當為鈍角三角形時如圖,作邊上的高線交于,則:在中, ,即,在中, ,即,,即.同理可證法三:圓轉化法

3、(1)當為銳角三角形時如圖,圓O是的外接圓,直徑為,則,(為的外接圓半徑)同理:,故:(2)當為鈍角三角形時如圖,.法四:面積法任意斜中,如圖作,則同理:,故,兩邊同除以即得:要點詮釋:(1)正弦定理適合于任何三角形;(2)可以證明(為的外接圓半徑);靈活利用正弦定理,還需知道它的幾個變式,比如: ,,等等.要點三:利用正弦定理解三角形一般地,我們把三角形的各內角以及它們所對的邊叫做三角形的幾何元素.任何一個三角形都有六個元素:三邊和三角.在三角形中,由已知三角形的某些邊和角,求其他的邊和角的過程叫作解三角形.利用正弦定理,可以解決以下兩類有關三角形的問題:(1)已知兩角和一邊,求其他兩邊和一

4、角;(2)已知兩邊和其中一邊的對角,求另一邊的對角,然后再進一步求出其他的邊和角.要點詮釋:已知a,b和A,用正弦定理求B時的各種情況;(1)若A為銳角時:如圖:(2)若A為直角或鈍角時:判斷三角形形狀判斷三角形形狀的思路通常有以下兩種:(1)化邊為角;(2)化角為邊.對條件實施轉化時,考慮角的關系,主要有:(1)兩角是否相等?(2)三個角是否相等?(3)有無直角、鈍角?考查邊的關系,主要有:(1)兩邊是否相等?(2)三邊是否相等?要點詮釋:對于求解三角形的題目,一般都可有兩種思路。但要注意方法的選擇,同時要注意對解的討論,從而舍掉不合理的解。比如下面例2兩種方法不同,因此從不同角度來對解進行

5、討論。此外,有的時候還要對邊角關系(例如,大邊對大角)進行討論從而舍掉不合理的解.【典型例題】類型一:正弦定理的簡單應用:【高清課堂:正弦定理 例1】例1已知在中,求和B.【思路點撥】本題考查正弦定理及特殊角的三角函數值,三角形中邊與角的對應關系等。由正弦定理列出邊a滿足的方程,再根據三角形內角和來確定角B的值。【解析】, 又,【總結升華】1. 正弦定理可以用于解決已知兩角和一邊求另兩邊和一角的問題;2. 數形結合將已知條件表示在示意圖形上,可以清楚地看出已知與求之間的關系,從而恰當地選擇解答方式. 舉一反三:【變式1】在中,已知,求、.【答案】,根據正弦定理,.【變式2】在中,若,則等于 (

6、 )A. B. C. 或 D. 或【答案】由可得,由正弦定理可知,故可得,故或。故選B.【變式3】中,BC3,則的周長為( )A BC D【答案】由正弦定理得:, 得bcsinBsin(B)故三角形的周長為:3bc,故選D例2.已知下列三角形的兩邊及其一邊的對角,判斷三角形的情況,有解的作出解答。(1)a=7,b=9,A=100 (2) a=10,b=20,A=75 (3)a=10,c=5,C=60 (4) a=2【思路點撥】已知三角形兩邊及其中一邊的對角求解三角形的有可能有兩種情況,具體有幾解可以借助于要點梳理中要點三中的方法解決?!窘馕觥浚?)本題無解。(2)本題無解。(3)本題有一個解。

7、利用正弦定理,可得:(4)本題有兩解。由正弦定理得:當綜上所述:【總結升華】已知三角形兩邊及其中一邊的對角求解三角形的有可能有兩種情況,具體方法可以借助于下了表格:A為鈍角A為直角A為銳角a>b一解一解一解a=b無解無解一解a<b無解無解a>bsinA兩解a=bsinA一解A<bsinA無解舉一反三:【變式1】在中,, , 求.【答案】由正弦定理,得., ,即 【變式2】在,求和,【答案】由正弦定理得:,(方法一), 或,當時,(舍去);當時,(方法二), , 即為銳角, ,【高清課堂:正弦定理 例3】【變式3】在中, ,求和【答案】, , 或當時,;當時,;所以,或類

8、型三:利用正弦定理判斷三角形的形狀例3.根據下列條件,判定的形狀.【思路點撥】利用正弦定理將邊化成角,分析角之間的關系,再利用正弦定理將角化為邊,進而判斷三角形的形狀.【解析】(1)由正弦定理得故是等腰三角形或直角三角形(2) 由正弦定理得故是等邊三角形【總結升華】已知三角形中的邊角關系式,判斷三角形的形狀,有兩條思路:其一化邊為角,再進行三角恒等變換求出三個角之間的關系式;其二化角為邊,再進行代數恒等變換求出三條邊之間的關系式。舉一反三:【變式1】在中,若,試判斷的形狀.【答案】由及已知條件可得:,為三角形的內角,或,所以為等腰三角形或直角三角形。【變式2】在ABC中,試判斷三角形的形狀.【

9、答案】利用正弦定理將邊轉化為角.又 0A,B,AB 即故此三角形是等腰三角形.類型四:利用正弦定理求三角形的面積 例4.在中,角的對邊分別為,。(I)求的值;()求的面積?!舅悸伏c撥】先利用三角形內角和求出C的正弦值,再利用正弦定理求邊,進而求三角形的面積.【解析】()因為A、B、C為ABC的內角,且,所以,于是()由()知,又因為,所以在ABC中,由正弦定理,得于是ABC的面積.【總結升華】求三角形面積,應根據已知條件選擇合適的計算方法,以減少計算量. 若已知三角形的兩邊,則可求其夾角,然后利用求解.舉一反三:【變式】在ABC中,已知,求的面積?!敬鸢浮坑桑?,又,即,所以三角形的解有兩種情

10、況或故的面積的面積為或.類型五:正弦定理的綜合運用例5.如圖,D是直角ABC斜邊BC上一點,ABAD,記CAD,ABC.(1)證明:sin cos 20;(2)若ACDC,求的值【思路點撥】先利用直角三角形中邊,角的關系找到、的等量關系,然后在ADC中利用正弦定理,建立方程解之.【解析】(1)證明:ABAD,則ADB,C. 又BC90°,即290°,則290°, cos 2sin ,即cos 2sin 0.(2)在ADC中,即sin sin . 代入整理得:2sin2sin 0.解得sin ,或sin 舍去,又為銳角,則60°.【總結升華】以平面幾何圖形為背景,求解有關長度、角度、面積、最值和優化等問題,通常是轉化到三角形中,利用正弦定理、余弦定理(即將要學習)加以解決 舉一反三:【變式1】在ABC中,已知a5,B105°,C15°,則此三角形的最大邊的長為_【答案】在ABC中,大

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