1、第六章 數列6.1 數列的概念及其表示高考理數高考理數 (課標專用)考點數列的概念及表示方法考點數列的概念及表示方法五年高考A組 統一命題課標卷題組1.(2018課標,14,5分)記Sn為數列an的前n項和.若Sn=2an+1,則S6=.答案答案-63解析解析本題主要考查由an與Sn的關系求數列的通項公式.解法一:由Sn=2an+1,得a1=2a1+1,所以a1=-1,當n2時,an=Sn-Sn-1=2an+1-(2an-1+1),得an=2an-1,an是首項為-1,公比為2的等比數列.S6=-63.解法二:由Sn=2an+1,得S1=2S1+1,所以S1=-1,當n2時,由Sn=2an+1

2、得Sn=2(Sn-Sn-1)+1,即Sn=2Sn-1-1,Sn-1=2(Sn-1-1),又S1-1=-2,Sn-1是首項為-2,公比為2的等比數列,所以Sn-1=-22n-1=-2n,所以Sn=1-2n,S6=1-26=-63.61(1)1aqq6(12 )122.(2015課標,16,5分)設Sn是數列an的前n項和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,則Sn=.答案答案-1n解析解析an+1=Sn+1-Sn,Sn+1-Sn=Sn+1Sn,又由a1=-1,知Sn0,-=1,是等差數列,且公差為-1,而=-1,=-1+(n-1)(-1)=-n,Sn=-.思路分析由an+1=Sn+1-Sn得S

3、n+1-Sn=SnSn+1,通過變形知數列是首項和公差均為-1的等差數列,進而得,從而得Sn.解題關鍵解題關鍵在已知等式中用Sn+1-Sn代替an+1,得到中相鄰兩項的關系是解決本題的突破口.1nS11nS1nS11S11a1nS1n1nS1nS1nS考點數列的概念及表示方法考點數列的概念及表示方法B組 自主命題省（區、市）卷題組1.(2019上海,8,5分)已知數列an前n項和為Sn,且滿足Sn+an=2,則S5=.答案答案3116解析解析 n=1時,S1+a1=2,a1=1.n2時,由Sn+an=2得Sn-1+an-1=2,兩式相減得an=an-1(n2),an是以1為首項,為公比的等比數

4、列,S5=.12125111211231162.(2016浙江,13,6分)設數列an的前n項和為Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,nN*,則a1=,S5=.答案答案1;121解析解析解法一:an+1=2Sn+1,a2=2S1+1,即S2-a1=2a1+1,又S2=4,4-a1=2a1+1,解得a1=1.又an+1=Sn+1-Sn,Sn+1-Sn=2Sn+1,即Sn+1=3Sn+1,由S2=4,可求出S3=13,S4=40,S5=121.解法二:由an+1=2Sn+1,得a2=2S1+1,即S2-a1=2a1+1,又S2=4,4-a1=2a1+1,解得a1=1.又an+1=Sn+1-Sn

5、,Sn+1-Sn=2Sn+1,即Sn+1=3Sn+1,則Sn+1+=3,又S1+=,是首項為,公比為3的等比數列,Sn+=3n-1,即Sn=,S5=121.1212nS123212nS321232312n5312C C組組 教師專用題組教師專用題組考點數列的概念及表示方法考點數列的概念及表示方法2313答案答案(-2)n-1解析解析由Sn=an+得:當n2時,Sn-1=an-1+,當n2時,an=-2an-1,又n=1時,S1=a1=a1+,a1=1,an=(-2)n-1.方法指導方法指導利用an=求解.23132313231311(1),(2)nnS nSSn1.(2013課標,14,5分)

6、若數列an的前n項和Sn=an+,則an的通項公式是an=.2.(2015浙江,20,15分)已知數列an滿足a1=且an+1=an-(nN*).(1)證明:12(nN*);(2)設數列的前n項和為Sn,證明:(nN*).122na1nnaa2na12(2)nnSn12(1)n證明證明(1)由題意得an+1-an=-0,即an+1an,故an.由an=(1-an-1)an-1得an=(1-an-1)(1-an-2)(1-a1)a10.由00,數列Bn為遞增數列,BnB1=.存在nN*,使得+TnT2n成立,B1=,故實數的最小值為.1nnaa11nn21aa3132aa4243aa5312nn

7、aa2nn1nnaa11nn11n12n13n121n34(22)(23)(2)nnnn131313B B組組 2017201920172019年高考模擬年高考模擬專題綜合題組專題綜合題組時間:20分鐘分值:25分一、選擇題一、選擇題(每題每題5分分,共共10分分)1.(2018安徽合肥一模,8)已知數列an的前n項和為Sn,若3Sn=2an-3n,則a2018=()A.22018-1B.32018-6C.-D.-20181272201813103答案答案 A數列an的前n項和為Sn,3Sn=2an-3n,a1=S1=(2a1-3),解得a1=-3.Sn=(2an-3n),當n2時,Sn-1=

8、(2an-1-3n+3),-,得an=an-an-1-1,an=-2an-1-3,=-2,a1+1=-2,an+1是以-2為首項,-2為公比的等比數列,an+1=(-2)n,an=(-2)n-1,a2018=(-2)2018-1=22018-1.故選A.1313132323111nnaa111nnaa方法指導方法指導利用an與Sn的關系得an與an-1(n2)的關系,進而構造數列求出an,從而得a2018.解題關鍵解題關鍵本題的解題關鍵是由3Sn=2an-3n得出an=-2an-1-3(n2),進而用構造法得出=-2(n2).方法總結方法總結 由Sn與an的關系求通項an的方法可歸納為以下兩種

9、:由Sn=f(an)得Sn-1=f(an-1)(n2),由an=Sn-Sn-1消去Sn可得an與an-1的關系,進而求解;將an=Sn-Sn-1(n2)代入Sn=f(an)消an,得出Sn與Sn-1(n2)的關系式,進而求出Sn,從而得an.2.(2019福建福州一模,10)已知數列an滿足a1=1,an+1=,則a8=()A.B.C.D.222(1)24nnnnaanan6489232892168927892答案答案 A因為數列an滿足a1=1,an+1=,所以=,所以=+4+2,所以+2=,令bn=+2,則bn+1=,兩邊取常用對數得lgbn+1=2lgbn,又lgb1=lg=lg3,所以

10、數列lgbn是首項為lg3,公比為2的等比數列.所以lgbn=2n-1lg3=lg,所以bn=,即+2=,從而an=,將n=8代入an=,解得a8=,故選A.思路分析思路分析直接利用已知條件建立等量關系,進一步對關系式進行轉換,求出bn+1=,在兩邊取常用對數,求出數列的通項公式,最后利用代入法求出結果.222(1)24nnnnaanan11na22224(1)nnnananna11nna22224nnnanana2nnanna11nna22nnanna2nb112a123n123nnna123n1232nn1232nn8 12832648922nb3.(2019安徽馬鞍山一模,16)已知正項

11、數列an的前n項和為Sn,數列Sn的前n項積為Tn,若Sn+2Tn=1,則數列中最接近2019的是第項.1na二、填空題二、填空題(每題每題5分分,共共5分分)答案答案45解析解析由Sn+2Tn=1,得S1+2T1=1,又S1=T1,則S1=T1=,由S2+2S1S2=1,解得S2=,由S3+2S1S2S3=1,解得S3=,推得Sn=,則a1=S1=,n2時,an=Sn-Sn-1=-=,故=由=n2-得,當n=44時,442-=1935.75,當n=45時,452-=2024.75,當n=46時,462-=2115.75.綜上可得數列中最接近2019的是第45項.故答案為45.13355721

12、21nn132121nn2321nn4(21)(21)nn1na3,1,(21)(21),2,4nnnn(21)(21)4nn141414141na三、解答題三、解答題(共共10分分)4.(2019廣東廣州天河二模,17)已知Sn為數列an的前n項和,且a10,6Sn=+3an+2,nN*.(1)求數列an的通項公式;(2)若nN*,bn=(-1)n,求數列bn的前2n項的和T2n.2na2na解析解析(1)當n=1時,6a1=+3a1+2,且a10,所以an-an-1=3,所以數列an是首項為1,公差為3的等差數列,所以an=1+3(n-1)=3n-2.(2)bn=(-1)n=(-1)n(3

13、n-2)2.所以b2n-1+b2n=-(6n-5)2+(6n-2)2=36n-21.所以數列bn的前2n項的和T2n=36(1+2+n)-21n=36-21n=18n2-3n.21a2na21na2na(1)2n nC C組組 2017201920172019年高考模擬年高考模擬應用創新題組應用創新題組1.(2019湖北黃岡3月模擬,10)已知數列an滿足a1+2a2+3a3+nan=(2n-1)2n.設bn=,Sn為數列bn的前n項和.若Snt對nN*恒成立,則實數t的最小值是()A.1B.C.2D.21nnna3252答案答案 D由a1+2a2+3a3+nan=(2n-1)2n,可得a1=

14、2,n2時,a1+2a2+3a3+(n-1)an-1=(2n-3)2n-1.兩式相減得nan=(2n-1)2n-(2n-3)2n-1=(2n+1)2n-1(n2).n=1時,b1=,n2時,bn=,Sn=+=+1-,由Sn0).若滿足上述條件的不同數列共有15個,則a的值為()A.1B.3C.5D.7答案答案 B由已知得,ak+1-ak=1,或ak+1-ak=-1,則a7-a1=(a2-a1)+(a3-a2)+(a7-a6),設有m個1,則有(6-m)個-1,a7-a1=a-1=m+(6-m)(-1),解得m=,從而=15,經驗證得a=3,故選B.思路分析思路分析由已知遞推公式,考查使用裂項相

15、消法求和,從而使用組合知識判斷不同數列個數,代入驗證即得.52a526Ca3.(2019湖南岳陽一模,16)已知從1開始的連續奇數蛇形排列形成寶塔形數表,第一行為1,第二行為3,5,第三行為7,9,11,第四行為13,15,17,19,如圖所示,在寶塔形數表中位于第i行,第j列的數記為ai,j,例如a3,2=9,a4,2=15,a5,4=23,若ai,j=2019,則i+j=()1351197131517192927252321A.64B.65C.71D.72答案答案C由數表可知:第1行有1個奇數,第2行有2個奇數,第n行有n個奇數,則前n行共有個奇數,設2019在第n行中,又2019是從1開

16、始的連續奇數的第1010個奇數,則有解得n=45,即2019在第45行,則前44行共990個數,又第45行的奇數從右到左,從小到大,則2019為第45行從右到左的第1010-990=20個數,即2019為第45行從左到右的第45-20+1=26個數,故i=45,j=26,故i+j=45+26=71,故選C.(1)2n n(1)1010,2(1)1010,2n nn n4.(201953原創題)已知數列an中,a1=3,且n(n+1)(an-an+1)=2.(1)求數列an的通項公式;(2)設bn=,求數列bn的前n項和Sn.12(1) 2nna aan解析解析(1)解法一:由題意知,an-an+1=2,(2分)n2時,an-1-an=2,an-2-an-1=2,a1-a2=2,以上(n-1)個式子左右兩邊分別相加得a1-an=2,(4分)又a1=3,an=1+(n2).又a1=3符合上式,故an=1+(nN*).(6分)解法二:由題意知,an-an+1=2,(2分)an+1-=an-,an-=an-1-=a1-=3-2=1,an=1+.(6分)2(1)n n111nn111nn1121nn111211n2n2n2(1)n n111nn21n2n2n21n212n(2)解法一: