1、一元一次不等式與不等式組的研討與應(yīng)用包遵義知識精粹1不等式相關(guān)概念：（1）不等式： 叫做不等式；（2）一元一次不等式： 叫做一元一次不等式；（3）一元一次不等式組： 叫做一元一次不等式組。2不等式的基本性質(zhì)：（1）若則：（2）若,則：（3）若則：（4）若則： （對稱性）（5）若則： （傳遞性）3一元一次不等式的解法當一元一次不等式化為標準形式后（1）當時： （2）當時：（3）當時：若，無解；若，解為任意實數(shù)4一元一次不等式組的解法可先借助數(shù)軸直觀地將公共部分表示出來，再用數(shù)學式子寫出解集，即先求出“組”內(nèi)每個不等式的解集，然后再從“組”角度去求“不等式組”的解集，可自行總結(jié)下表：不等式組數(shù) 軸

2、 表 示解 集口 訣大大取大小小取小大小、小大中間找無解大大、小小找不著一、 感受不等關(guān)系，體會最優(yōu)化思想生活中的不等關(guān)系往往是由相等關(guān)系得到的，相等關(guān)系的解決往往是不等關(guān)系解決的突破口，但真正的應(yīng)用價值往往存在于不等關(guān)系中。例1如圖1，用兩根長度均為l cm的繩子，分別圍成一個正方形和一個圓，猜想正方形和圓的面積哪個大？析： 顯然，所圍成的兩圖形的周長相等，如何利用周長的計算公式分別求出邊長和半徑，再利用面積公式進行計算比較。解： 不難求出所圍成的正方形和圓的面積分別為：由于，所以無論取何值時，圓的面積總大于正方形的面積。二、體會類比思想，輕松求解不等式例2某自來水公司按如下標準收取水費：若

3、每戶每月用水不超過，每立方米收費1.5元，超出部分則每立方米收費2元。為了節(jié)約用水節(jié)省開支，小穎家在計劃用水費用支出時，規(guī)定水費不得超過15元，那么，她家這個月的用水量最多是多少？解： 設(shè)小穎家這個月的用水量是，由于，所以按她家規(guī)定，用水量可以超過，所以得：，即（1）利用“等式”解“不等式”，用“數(shù)”來表示“解集”的解為，與方程類比可得：當時，所以 （2）利用“數(shù)軸”的形象直觀，用“形”來表示“解集”，（可分三步走：1畫數(shù)軸2定界點3走方向） 的解集在數(shù)軸上表示為： （3）數(shù)形結(jié)合，則更勝一籌。如：例3已知不等式的正整數(shù)解是1，2，3。求的取值范圍。析： 首先對題意要正確理解，“關(guān)于的不等式的

4、正整數(shù)解是1，2，3”的意思是：的解集包含了正整數(shù)1，2，3，且僅有1，2，3，換句話說，用數(shù)軸表示則其解集必如右上圖所示。解： 解不等式，因為：， 所以：正整數(shù)解為1，2，3 所以： 即： ， 故的值應(yīng)取。三、提高認識，糾正錯誤甲生：不等式兩邊除以同一個不等于零的數(shù)時，應(yīng)考慮數(shù)的符號和不等式的方向，甲生就沒有注意到這一點，本題中不等式的解集應(yīng)為 乙生：在去分母時，不等式兩邊各項都應(yīng)乘以公分母，而他漏乘了“-1”，因此導致結(jié)果錯誤；丙生： 分數(shù)線不僅有“除號”的作用，而且也起著括號的作用，因此，去分母時，分子上的多項式要用括號括起來，丙生正好忽視了這一點；丁生： 丁生解不等式的過程是正確的，在

5、數(shù)軸上表示解集是錯誤的，在數(shù)軸上表示不等式解集時，解集含有等號應(yīng)畫實心圓點，不含等號時應(yīng)畫成空心圓圈。甲生： 解不等式 解：移項，得 合并同類項，得 系數(shù)化為1，得 乙生： 解不等式 解：去分母，得 移項，合并同類項，得 系數(shù)化為1，得 。丙生： 解不等式 解：去分母，得 移項，合并同類項，得 系數(shù)化為1，得： 。丁生： 解不等式 并把解集在數(shù)軸上表示出來。解：去分母，得 所以 ，解集表示為右圖所示：初學“解一元一次不等式”，對不等式的概念、基本性質(zhì)和同解變形如果掌握不好，會出現(xiàn)一些錯誤，列舉幾例，以幫助同學們提高認識，辨清疑點。四、聯(lián)系實際，體會成功不等式的解與不等式的解集是兩個不同的概念，

6、在不等式的應(yīng)用問題中，只有真正明確了解了它們的實際意義后，才能從解題中找出符合條件的解。例4有人問一位老師，他所教的班有多少學生，老師說：“一半的學生在學數(shù)學，四分之一的學生在學音樂，七分之一的學生念外語，還剩下不足6位同學在操場踢足球。”試問這個班共有多少位學生？甲生：解：設(shè)這個班共有位同學，則有： 所以，。又因為是正整數(shù)故這個班的同學人數(shù)不確定，只要是小于或等于55的正整數(shù)都符合條件。乙生：解：設(shè)該班共有位同學，則：，所以。又因為都是正整數(shù)，則是2，4，7的最小公倍數(shù)。所以。故該班學生共有28人。診斷： 在解集中尋找符號條件的解時，一定要思考周全，捕捉到的條件信息要處理準確，乙生的解答是正

7、確的。五、他山之石，可以攻玉解不等式組和解方程組的方法類似嗎？例5解不等式組：甲生：解：由可得：解不等式得故：原不等式組的解集為。乙生：解：取，它滿足，把代入會得到，這說明甲錯了。錯在什么地方呢？解不等式組不能套用解方程組的方法由兩個方程變形為一個方和求解，具體到本題，由完全可以推出，但由并不能推出和，也就是說，的解集并不能保證是原不等式組的解集。丙生：解：解不等式，得解不等式，得在數(shù)軸上表示的解集如下：故這個不等式組的解集為。診斷：解不等式組和方程組的方法截然不同，解不等式組，既不能用代入法，也不能用加減法，而應(yīng)分別解不等式組中的每一個不等式，然后利用數(shù)軸找出他們的公共部分，在這里，老師同意

8、乙生的評價，丙生的解答完全正確。六、挑戰(zhàn)自我，學以致用設(shè)計生產(chǎn)方案，追求利潤目標是企業(yè)決策人的一項常規(guī)技能，要想追求高額利潤，找出最佳方案是基礎(chǔ)，假若你是一家服裝廠的廠長，你能設(shè)計出下面問題的最佳方案嗎？例6（2000年黃岡中考題）某服裝廠現(xiàn)有A種布料70m，B種布料52m，現(xiàn)計劃用這兩種布料生產(chǎn)M、N兩種型號的時裝共80套，己知做一套M型號是時裝需A種布料0.6m，B種布料0.9m，可獲利潤45元；做一套N型號時裝需要A種布料1.1m、B種布料0.4m，可獲利潤50元。請你設(shè)計最佳生產(chǎn)方案。析： 從題目所提供的信息知道，最佳生產(chǎn)方案是指：如何安排生產(chǎn)M、N兩種型號的時裝，使得所獲利潤最大，并

9、且所需A種布料不多于70m，B種布料不多于52m，因此我們可將問題轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組等數(shù)學問題來解。解： 設(shè)生產(chǎn)N型號的時裝套數(shù)為x，則生產(chǎn)m型號的時裝有（80x）套，用這批布料生產(chǎn)這兩種型號的時裝所獲的總利潤為y元，根據(jù)題意可得不等式組為：因為x為整數(shù)，所以x的取值范圍為40，41，42，43，44。又因為 即經(jīng)檢驗當時，y有最大值當時，y最大值即：當N型號時裝生產(chǎn)44套時，所獲利潤最大，最大利潤是3820元。運用數(shù)學知識解決實際問題的難點是“數(shù)學建模”，其方法是：從實際問題中獲取必需的信息分析、處理有關(guān)信息將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題（建立數(shù)學模型）解答這個數(shù)學問題從而解答原實際問題。本例

10、以近年來一道中考題為背景，用這種方法揭示了尋找最佳方案的途徑，值得廣大讀者去體會。訓練平臺一、 填空題：1若，則 ；若，則 ；2006 2006（用不等號填空）；2不等式的解有 個，其中正整數(shù)解有 個，它們是 ；3根據(jù)下列數(shù)軸，寫出的范圍 ，并由的范圍化簡 ； 二、選擇題：（填“”或“”）4若由得到，則一定有 （ ） 為任意實數(shù)5若為有理數(shù)，則下列各式一定正確的是 （ ） 6已知中，為正數(shù)，則的取值范圍是 （ ） 三、綜合題： 7某學校學生外出春游，每小時走4km，出發(fā)后2h，校方由緊急通知，必須在40min內(nèi)送到，通訊員騎自行車至少以怎樣的速度才能在40min內(nèi)將通知送到？8水是人類最寶貴的資源之一，我國水資源人均占有量遠遠低于世界平均水平。為了節(jié)約用水，保護環(huán)境，學校于本學期初便制定了詳細的用水計劃。如果實際每天比計劃多用一噸水，那么本學期的用水總量將會超過2300噸；如果實際每天比計劃節(jié)約一噸水，那么本學期用水總量將會不足2100噸，如果本學期的在校時間按110（22周）計算，那么學校計劃每天用水應(yīng)控制在什么范圍（結(jié)果保留四個有效數(shù)字）？附 ：訓練平臺習題參考答案：1 2無