1、精品文檔第一章線性微分方程在講這部分之前，我們先來看一個非常熟悉的物理問題.一個一維粒子，初始時刻處于點x=%.初始速度為%,受到阻尼作用，求該粒子的運動軌跡。解：用x(t)表示粒子在任意時刻t的位置，根據牛頓第二定律F=im,有mx=F對于阻尼作用F=-反，于是，粒子的運動方程ink=-kx這是關于時間t的常微分方程，非常簡單。求解得上x(t)=q+c2em結合初始條件x(0)=%,x(0)=v,則哂叫4=，c2=-jkk代入得粒子的運動軌跡k)=%+?(1-內k這就是這門課程的第二部分一一數學物理方程所要討論的內容：將物理問題表述成數學方程，然后用各種方法來求解方程。1.1常系數齊次線性微

2、分方程方程的階：微分方程中未知函數導數的最高階數。線性方程：微分方程中對于未知函數及其所有導數都是一次的，就稱為線性方程，高于一次以上就稱為非線性方程。齊次方程：微分方程不含有不包含未知函數的項。例如11=4%；二階線性，X%=U50t；二階線性，(1。、/=；一階非線性。一、二階常系數齊次線性微分方程求解二階線性微分方程/+P(x)/+Q(x)y=f(x)若f(x)三0為齊次，f(x)wO為非齊次。方程y+py+q戶o稱為二階常系數齊次線性微分方程，其中p、q均為常數。能否適當選取r,使戶產滿足二階常系數齊次線性微分方程，為此將尸e6代入方程y+py+qy=o得(r2+pr+q)erx-0由

3、此可見，只要r滿足代數方程J+pr+q=O,函數卡產就是微分方程的解。特征方程：方程J+pr+q=O叫做微分方程y+py+M)的特征方程。特征方程的兩個根口、口為-p+i5/p-4q%=2特征方程的根與通解：(1)特征方程的實根口、h不相等時，函數y1=ex、丫2=/少是方程的兩個線性無關的解，方程的通解為y=c1erx+c2e1；x.(2)特征方程的實根門=門時，函數弘=。、y2=xeR是二階常系數齊次線性微分方程的兩個線性無關的解，方程的通解為y=(cl+c2x)eIx(3)特征方程有一對共枕復根門，尸處3機函數戶e(*如、戶e(m版是微分方程的兩個線性無關的復數形式的解。函數產產cos冰

4、、產eKsin冰是微分方程的兩個線性無關的實數形式的解，方程的通解為y=eax(cicos/?x+c2sinyflx).例1求微分方程y-2y-3y=0的通解。例2求方程y,+2yz+y=0滿足初始條件yUo=4、e-2的特解。例3求微分方程2y+5戶0的通解。二、線性微分方程的解的疊加y*4-P(x)/+Q(x)y=0(1)定理1如果函數yi(x)和y?(x)是方程(1)的兩個解，那么它們的線性疊加y=Ciyi(x)+c2y2(x)也是方程的解，其中5和口是任意常數。定理2如果函數yi(x)和y?(x)是方程的兩個線性無關的特解，那么它們的線性登加y=c1yi(x)+c2y2(x)是方程的通

5、解。推論如果函數yi(x),yKx),%(x)是n階線性齊次方程y+pl(x)y(z)+p*x)y=0的n個線性無關的解，則y=C】(X)+c?%(x)+%兒(x)是方程的通解，其中c1,C2,，。為n個任意常數。y*+P(x)/+Q(x)y=f(x)(2)定理3如果y(x)二階非齊次線性方程(2)的一個特解，y：(x)和y?(x)是對應齊次方程(1)的兩個線性無關的特解，那么它們的線性會加y=Ciyi(x)+c2y2(x)+y(x)精品文檔精品文檔是方程(2)的通解。定理4如果y；(x)和y；(x)分別是二階非齊次線性方程y+P(x)y，+Q(x)y=(x),y*+P(x)y+Q(x)y=；

6、(x)的特解，那么y；(x)+y；(x)是方程/+P(x)/+Q(x)y=f(x)+(x)的特解。1.2 常系數非齊次線性微分方程二階非齊次方程/+py+qy=f(x)一、待定系數法對于特殊類型的x),可寫出特解y*(x)的待定表達式:&X)類型特解y*(x)的待定表達式a*acos+bsin/?xAcos仆+Bsiny3k+a/+ak+i八六+At*(acosc-bsm網e,c(A?os您+Bsin/k)*(即六+.+3kX+aDe，”(Aid+A/】+.+Ax+A+i)如果，士夕1,0,八是特征方程的重根，則在表達式上再乘以總例1求微分方程2yz-3y=3x+l的一個特解。y*=-x+；例

7、2求微分方程5y+6戶xe*的通解。y=Cie2x+C2e3x-(x24-2x)e2x二、常數變易法一階非齊次線性微分方程y+py=Q(x)相應齊次方程的通解是yo(x)=Coe-px設非齊次方程有一個特解y(x)=c0(x)(x)由于y(x)=c；(x)%(x)+Co(x)Y(x),代入非齊次方程，可得c；(x)%(x)=Q(x),解得Co(x)=JO(x)epxdx+Co因此，常數變易法得非齊次方程的通解為精品文檔精品文檔y(x)=6-(1Q(x)epxdx+C0)類似的方法考察二階非齊次方程y+py，+qy=f(x)相應齊次方程的通解為y(x)=c1(x)+c2y2(x)設非齊次方程有一

8、個特解y(x)=Cj(x)y(x)+c2(x)y2(x)由于/(x)=c；(x)y1(x)+c；(x)y2(x)+c1(x)y1，(x)+c?(x)y；(x)卜若附加條件c；(x)yi(x)+C2(x)y(x)=0，則y(X)=C】(x)京X)+C2(x)y；(x)yXx)=c1(x)y；(x)+c2(x)j(x)，=c1(x)y1*(x)+c2(x)y；(x)+c；(x)y；(x)+c；(x)y：(x)代入非齊次方程，可得c；(x)乂(x)+c；(x)弘(x)=f(x)所以，系數ci(x),cKx)滿足方程組：c；(x)y(x)+4(x)m(x)=Oc；(x)y(x)+c；(x)y；(x)=

9、f(x)例二階線性微分方程T+濟T=f(t)齊次方程的通解常數變易法設特解為其中Q和C?滿足解得則T=Cjcosd+GsinrzXT(t)=Cj(t)cos6ZX+C;(t)siii6XfC/(t)cosot+Co(t)sinfiX=0一撫；(t)sin+疣;(t)cos=f(t)G(t)=一LJ。f(r)sin2xkk-2k-0代入方程，并合并同事項，得Z(k+2)(k+l)a2+62akxk=0k-0等式右邊為零，因此幕級數各項系數為零，即(k+2)(k+l)a匕2+a?=0從而有如卜遞推公式:a-cor(k+2)(k + l)%遞推得-co2 a,= 2-1-ar a4 =4 4-3_(

10、-1)2(蘇)2a,4!a。-Ctf a13-2-ar coa. =a.=5-4 3 5! 1y業a。(2k)!(2k+ 1)! 1于是，方程的解為y=Ea2kx2k + Ea2ix：k*1k-0k-0=a0 y EQ X- + 與 蟲貯 X-1 = a0 cos ox + 5 sin oxh (2k)!i(2k + l)!上述解的收斂區域為|x|vsqi般的收斂區域判斷補充：精品文檔精品文檔對于正項級數，通常用如下兩個方法比值判別法設正項級數，X，若極限吧點L=/，則當01時，級數發散。根值判別法設正項級數/，若極限蚓啊=0,則當pvl時，級數收斂；當01時，級數發散。應用正項級數收斂判別法

11、，可得到如卜基級數收斂范圍：比值判別法根據正項級數收斂的比值判別法，若極限lim圭亞二二二=lim歸曰|恨-、卜?，則ak（x-xo）kTajP/當01時，級數發散。引入記號R，若lim咀=R存在，則當av=R 根式判別法 若極限!ii,ak（x-飛甘=limJ|x-Xo| + -), = lhn(2k + 2)(2k +1) ,藏)，5二支。(2k)!2匕(2k+l)!對于%（x）應用比值判別法，得收斂區域為|x21=Imi_匚jat-i對于(x)應用比值判別法，得收斂區域為|x?|=limd=lim型辿=lim(2k+3)(2k+2)V8。J8j(2k+1)!j例2在5=0的鄰域上求解y-

12、xy=0答案：y=aoyo（x）+aiyi（x）O收斂無限大。作業:精品文檔精品文檔1 .求歐拉方程x?y+3xy+y=0的通解。答案：y=4*3”。x2 .用常數變易法求方程xR-xy+y=21nx的通解。答案：y=(C】+C?lnx)x+4+21nx。3 .用幕級數法求方程y+x/+y=O的通解。答案：y=aoe2+aIY/x2k+1占(2k+l)!1.4二階常系數線性差分方程一、齊次差分方程方程：yx+2+pyx+i+qyx=f(x)(p,q是常數).若f(x)三0為齊次，f(x)wO為非齊次。對于齊次方程的通解，與微分方程類似地有：定理方程y/2+PYx+1+QYx=0的解為Yx=1，

13、其中r滿足特征方程r2+pr+q=0。(1)特征方程的實根打、口不相等時，方程的通解為yx=C1rJ+C2r；(2)特征方程的實根尸門時，方程的通解為yx=(G+C2X)rX(3)特征方程有一對共胡復根尸社10札記a士豆=2鏟2,.=揚+加,0=arctanS,即方程丫a的解為yx=(/eip)x=二皿，則方程的通解為yx=不仁】cos(x)+C2sin(x)。例i求y肝2+4丫萬+1+3yx=0的通解解其特征方程d+41+3=0,存根-1,-3.原方程有通解yx=G(-i)x+c2(-3)x(GC是任意常數)例2求y滸2+4yx=的通解-解其特征方程”+4=0,有根-21,21.4=2,。=

14、3,則原方程布.通解2yx=2X(C1cos()+C2sin(F)，(Ge是任意常數).例3求差分方程3yz-2yx=0的通解.解其通解為yx=C(2(C為任意常數).13/二、非齊次差分方程對于非齊次方程的通解，與微分方程類似地，可以用待定系數法求解。耳X)類型特解y*(x)的待定表達式a/ap?+3+afc+i+Ax+.+AcX+At(a+22d1+ax+h金1)A?/+Ax+Al+i)如果,1是特征方程的r重根，則在表達式上再乘以必。例4求丫川+4y、=2的通解解前例已知其齊次的通解,故只需求一個特解一令Yx=b0,代入的b0=：,所以它的通解為yx=2xgcos()+C2sin(e)+

15、2,(G，J是任意常數).225例5求y+4y、=2/的通解.解令y=b2x,b22+4b2x=2x,所以b=1,所以其通解8/rvrvyx=2x(c1cos()+C2sin(虧)+5)，(G,C?是任意常數).例6求力.3y的通解.解顯然其齊次方程的通解為L=C,3(C為任意常數).設其特解為丫*=2*,所以有b2i-3b-2x=2x,從而得b=L因此，原方程的通解為yx=C3x-2x.例7求yl-yx=3+2x的通解.解其齊次方程的通解為y,=c(c為任意常數).設其特解為y、=x(Ax+B),所以有(x+l)(A(x+l)+B)-x(Ax+B)=3+2x,從而得A=l,B=2因此，原方程

16、的通解為yx=x2+2x+C.三、差分方程的應用例8某家庭從現在著手從每月工資中拿出一部分資金存入銀行，用于投資子女的教育。并計劃20年后開始從投資帳戶中每月支取1000元，直到10年后子女大學畢業用完全部資金。要實現這個投資目標，20年內共要籌措多少資金？每月要向銀行存入多少錢？假設投資的月利率為0.5%解：設第n個月投資帳戶資金為5元，每月存入資金為a元。于是，20年后關于Sn的差分方程模型為Sn+1=1.005Sn-l000并且S120=0,So=Xe解得x=90073.45o精品文檔精品文檔從現在到20年內，Sn滿足的差分方程為Sn+i=L005Sn+a且So=0,S240=90073

17、.45o解得a=194.95o例9動態供需均衡模型（蛛網定理）設Dt表示t期的需求最,不表示t期的供給量,Pf表示商品t期價格，則傳統的動態供需均衡模型為：Dt=a-bPt,（1）、=%+*.（2）Dt=S,，（3）其中a,b.arb1均為已知常數。式表示t期（現期）需求依賴于同期價格：（2）式表示t期（現期）供給依賴于1）期（前期）價格；（3）式為供需均衡條件。分一a解：若在供需平衡的條件下，而且價格保持不變，即日=史_】=匕。靜態均衡價格Pe=上9。動態供U+b需均衡模型的等價差分方程b齊次方程通解R=，非齊次方程特解耳=言=巳方程的通解為史+Pe.若初始價格P。已知時，將其代入通解可求得

18、任意常數A=Po-Pe，則通解為史=（P0_Pe）（_?）+Pe如果初始價格R=R，那么再三R。這表明沒有外部干擾發生，價格將固定為常數值P即靜態均衡。如果初始價格PwP那么價格史將隨t的變化而變化。如果&1,則blimR=limKR-PjfT+Pe=Pet-Hb表明動態價格pt隨著t的無限增大逐漸地振蕩趨近于靜態均衡價格pe。精品文檔精品文檔例10凱恩斯(KeynesJM)乘數動力學模型設工表示t期國民收入，J為t期消費，%為t期投資，%為自發(固定)投資，AI為周期固定投資增量.凱恩斯國民經濟收支動態均衡模型為：=Ct+It,(1)Ct=a+bX-(2)L=Io+a(3)(1)式為均衡條件，即國民收入等于同期消費與同期投資之和；(2)式為消費函數，即現期消費水平依賴于前期國民收入(消費滯后于收入一個周期)，a(20)為基本消費水平，b為邊際消費傾向(OVbVl)；(3)式為投資函數，這里僅考慮為固定投資。在式中消去q和y得到一階常系數非齊次線性差分方程：X-bX_】=a+Io+AI方程的一個特解*=，則方程的通解為X=Ab=a+Io+AI1-b其中A為任意常數。稱系數一為凱恩斯乘數。1b例1