1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上無窮級數(shù)1. 級數(shù)收斂充要條件：部分和存在且極值唯一，即：存在，稱級數(shù)收斂。2.若任意項級數(shù)收斂，發(fā)散，則稱條件收斂，若收斂，則稱級數(shù)絕對收斂，絕對收斂的級數(shù)一定條件收斂。.2. 任何級數(shù)收斂的必要條件是3.若有兩個級數(shù)和，則 ，。 收斂，發(fā)散，則發(fā)散。 若二者都發(fā)散，則不確定，如發(fā)散，而收斂。4三個必須記住的常用于比較判斂的參考級數(shù)：a) 等比級數(shù)：b) P級數(shù)： c) 對數(shù)級數(shù)： 5.三個重要結(jié)論收斂存在正項（不變號）級數(shù)收收，反之不成立，和都收斂收，收6 常用收斂快慢正整數(shù) 由慢到快連續(xù)型 由慢到快7.正項（不變號）級數(shù)斂散性的判據(jù)與常用技巧1. 達朗貝爾比值法

2、 2. 柯西根值法 3. 比階法 代數(shù)式 極限式 ，其中：和都是正項級數(shù)。 ， ，也可選用基準(zhǔn)級數(shù)就可知原級8、任意項級數(shù)的斂散性的判據(jù)與常用技巧 萊布尼茨判交錯級數(shù)（任意項級數(shù)的特例） 收斂。這是一個必要條件，如果不滿足，則必發(fā)散，若只有不滿足，則不一定收斂還是發(fā)散，要使用絕對收斂判別其斂散性。 任意項級數(shù)判斂使用絕對值，使之轉(zhuǎn)換為正項級數(shù)，即絕對收斂、條件收斂或發(fā)散。 任意項級數(shù)判斂的兩個重要技巧： 微分積分法。換成連續(xù)變量，再利用微積分相關(guān)定理與性質(zhì)。 階無窮小試探法。在不能估計出通項的無窮小階次時，使用該試探法， 9.冪級數(shù) 1阿貝爾（Abel）定理如果級數(shù)當(dāng)點收斂，則級數(shù)在圓域內(nèi)絕對

3、收斂；如果級數(shù)當(dāng)點發(fā)散，則級數(shù)在圓域外發(fā)散。由阿貝爾（Abel）定理可見收斂點集或發(fā)散點集是分別連接成對稱連續(xù)區(qū)域，這一定理是引入冪級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂區(qū)域概念的理論依據(jù)。注意，除外，該定理并沒有完全保證圓上每一點的斂散性，正確理解阿貝爾定理是學(xué)好冪級數(shù)的關(guān)鍵。如推論：如果不是僅在一點收斂，也不是在整個數(shù)軸上都收斂，則必有一個確定的正數(shù)存在，使得：10冪級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂區(qū)域已知，若；則根據(jù)比值判斂法有：收斂。收斂半徑：。收斂區(qū)間：級數(shù)在收斂；冪級數(shù)的收斂區(qū)間是非空點集，對至少在處收斂，對至少在處收斂。由阿貝爾定理可以推出：冪級數(shù)的條件收斂點只能位于收斂區(qū)間端點。收斂域：由于

4、級數(shù)在收斂區(qū)間的端點上（收斂半徑上）收斂性待定，故收斂域是、或四種情況之一。 3在收斂區(qū)域內(nèi)的性質(zhì) (1) 的和函數(shù)連續(xù)并有任意階導(dǎo)數(shù)； (2) 可逐項微分 (3) 可逐項積分 (4) 絕對收斂。11利用泰勒公式可將常用初等函數(shù)展開成冪級數(shù)泰勒級數(shù)展開的充要條件是泰勒公式中余項（包括拉氏余項，佩亞若余項）為零。以下是幾個常用的麥克勞林展開結(jié)論。 ，5. 冪級數(shù)求和方法 函數(shù)項級數(shù)求和方法 一般先求收斂域，然后逐次積分或微分，利用上述10各泰勒級數(shù)結(jié)論進行零部件組裝 數(shù)項級數(shù)求和方法 構(gòu)造輔助冪級數(shù)法。付立葉級數(shù) 1周期函數(shù)展開成付里葉級數(shù)為在上周期為的周期函數(shù)，則特別地，當(dāng)時 當(dāng)是偶函數(shù) 當(dāng)是奇函數(shù)2非周期函數(shù)展開成付里葉級數(shù)方法 如果非周期函數(shù)只是定義在區(qū)間，兩種區(qū)間可以令相互轉(zhuǎn)換，為了利用付里葉級數(shù)展開，必須將拓展，其方式有兩種，即：（1）偶拓展 令 ，使成為上的周期偶函數(shù)，展開后取上的函數(shù)值即為的付里葉展開。（2）奇拓展 令 ，使成為上的周期奇函數(shù)，展開后取上的函數(shù)值即為