1、精選優質文檔-傾情為你奉上挑戰中考系列 (數學 )第一部分函數圖象中點的存在性問題§ 11 因動點產生的相似三角形問題 §12 因動點產生的等腰三角形問題 §13 因動點產生的直角三角形問題 § 14 因動點產生的平行四邊形問題§ 15 因動點產生的面積問題§ 1 6 因動點產生的相切問題§ 17 因動點產生的線段和差問題第二部分圖形運動中的函數關系問題§21由比例線段產生的函數關系問題第三部分圖形運動中的計算說理問題§ 31代數計算及通過代數計算進行說理問題§ 32幾何證明及通過幾何計算進行說

2、理問題第四部分圖形的平移、翻折與旋轉§41圖形的平移§ 42圖形的翻折§ 43圖形的旋轉§ 44 三角形§ 45 四邊形§ 46 圓§ 47 函數的圖象及性質§11 因動點產生的相似三角形問題課前導學 相似三角形的判定定理有3 個，其中判定定理1 和判定定理2 都有對應角相等的條件，因此探求兩個三角形相似的動態問題，一般情況下首先尋找一組對應角相等判定定理 2 是最常用的解題依據，一般分三步： 尋找一組等角， 分兩種情況列比例方程，解方程并檢驗如果已知A D，探求 ABC 與 DEF 相似，只要把夾 A 和 D 的

3、兩邊表示出來，按照對應邊成比例，分ABDE和ABDF 兩種情況列方程ACDFACDE應用判定定理1 解題，先尋找一組等角，再分兩種情況討論另外兩組對應角相等應用判定定理3 解題不多見，根據三邊對應成比例列連比式解方程（組）還有一種情況， 討論兩個直角三角形相似，如果一組銳角相等， 其中一個直角三角形的銳角三角比是確定的，那么就轉化為討論另一個三角形是直角三角形的問題求線段的長，要用到兩點間的距離公式，而這個公式容易記錯理解記憶比較好如圖 1，如果已知 A、 B 兩點的坐標，怎樣求A、 B 兩點間的距離呢？我們以 AB 為斜邊構造直角三角形，直角邊與坐標軸平行，這樣用勾股定理就可以求斜邊 AB

4、的長了水平距離BC 的長就是 A、B 兩點間的水平距離，等于A、B 兩點的橫坐標相減；豎直距離 AC 就是 A、 B 兩點間的豎直距離，等于A、 B 兩點的縱坐標相減圖1圖1圖2例 1湖南省衡陽市中考第28 題二次函數 y ax2 bxc（ a 0）的圖象與x 軸交于 A(3, 0)、 B(1, 0) 兩點，與 y 軸交于點 C(0, 3m)（ m 0），頂點為 D（ 1）求該二次函數的解析式（系數用含m 的代數式表示） ；（ 2）如圖 1，當 m 2 時，點 P 為第三象限內拋物線上的一個動點，設APC 的面積為 S，試求出S 與點 P 的橫坐標 x 之間的函數關系式及S 的最大值；專心-專

5、注-專業1挑戰中考系列 (數學 )（ 3）如圖 2，當 m 取何值時，以A、 D 、C 三點為頂點的三角形與OBC 相似？動感體驗請打開幾何畫板文件名“14 衡陽 28”，拖動點P 運動，可以體驗到，當點P運動到 AC 的中點的正下方時， APC 的面積最大 拖動 y 軸上表示實數m 的點運動， 拋物線的形狀會改變，可以體驗到，ACD 和 ADC 都可以成為直角思路點撥1用交點式求拋物線的解析式比較簡便2連結 OP， APC 可以割補為：AOP 與 COP 的和，再減去AOC3討論 ACD 與 OBC 相似，先確定 ACD 是直角三角形，再驗證兩個直角三角形是否相似 4直角三角形 ACD 存在

6、兩種情況圖文解析（ 1）因為拋物線與 x 軸交于 A(3, 0)、 B(1, 0) 兩點，設 y a(x3)(x 1)代入點 C(0, 3m)，得 3m 3a解得 a m所以該二次函數的解析式為y m(x 3)(x1) mx22mx 3m（ 2）如圖 3，連結 OP當 m 2 時， C(0, 6)，y2x2 4x 6，那么 P(x, 2x2 4x 6)由于 S AOP1322 6x 9，SCOP1( xP ) OA ( yP ) (2x 4x 6)3xOC222 3x， S AOC 9，所以 S S APC SAOP SCOP SAOC 3x2 9x 3( x3 ) 227 24所以當 x3

7、時， S 取得最大值，最大值為27 24圖3圖4圖5圖6（ 3）如圖 4，過點 D 作 y 軸的垂線，垂足為E過點 A 作 x 軸的垂線交DE 于 F 由 y m( x 3)( x1) m(x1) 2 4m，得 D ( 1, 4m) 在 Rt OBC 中， OBOC 1 3m如果 ADC 與 OBC 相似，那么 ADC 是直角三角形， 而且兩條直角邊的比為1 3m如圖 4，當 ACD 90°時， OAOC 所以 33m 解得 m 1ECEDm1此時 CAOC3， OC3 所以 CAOC 所以 CDA OBCCDEDOBCDOB如圖 5，當 ADC 90°時， FAFD 所以

8、 4m2 解得 m2 EDEC1m2此時 DAFD222，而 OC3m3 2 因此 DCA 與 OBC 不相似DCECmOB2綜上所述，當 m 1 時， CDA OBC考點伸展 第（ 2）題還可以這樣割補：如圖 6，過點 P 作 x 軸的垂線與 AC 交于點 H由直線 AC： y 2x 6，可得 H(x, 2x 6)又因為 P(x, 2x2 4x 6)，所以 HP 2x26x因為 PAH 與 PCH 有公共底邊 HP ，高的和為 A、 C 兩點間的水平距離 3，所以2挑戰中考系列 (數學 )S SAPC SAPH S CPH 3( 2x2 6x) 3(x3) 227 224例 22014年湖南

9、省益陽市中考第21 題如圖 1，在直角梯形ABCD 中， AB /CD ， AD AB， B 60°， AB 10， BC 4，點 P沿線段 AB 從點 A 向點 B 運動，設 AP x（ 1）求 AD 的長；2·1·c·n·j·y（ 2）點 P 在運動過程中，是否存在以A、 P、 D 為頂點的三角形與以 P、 C、 B 為頂點的三角形相似？若存在，求出x 的值；若不存在，請說明理由；圖 1（ 3）設 ADP 與 PCB 的外接圓的面積分別為S1、 S2，若 S S1S2，求 S 的最小值 .動感體驗請打開幾何畫板文件名“14 益陽

10、21”，拖動點 P 在 AB 上運動，可以體驗到， 圓心 O 的運動軌跡是線段BC 的垂直平分線上的一條線段觀察S 隨點 P 運動的圖象，可以看到， S有最小值，此時點P 看上去象是 AB 的中點，其實離得很近而已思路點撥 1第（ 2）題先確定 PCB 是直角三角形，再驗證兩個三角形是否相似2第（ 3）題理解 PCB 的外接圓的圓心O 很關鍵，圓心 O 在確定的 BC 的垂直平分線上，同時又在不確定的BP 的垂直平分線上而 BP 與 AP 是相關的，這樣就可以以AP 為自變量，求S 的函數關系式圖文解析（ 1）如圖 2，作 CH AB 于 H，那么 AD CH 在 RtBCH 中， B60&#

11、176;， BC 4，所以 BH 2，CH 2 3 所以 AD 2 3 （ 2）因為 APD 是直角三角形，如果 APD 與 PCB 相似，那么 PCB 一定是直角三角形如圖3，當 CPB 90°時， AP 10 2 8所以AP8 43，而 PC3 此時 APD 與 PCB 不相似AD2 33PB圖2圖3圖4如圖 4，當 BCP 90°時， BP 2BC8所以 AP 2所以 AP 23 所以 APD 60°此時 APD CBPAD2 33綜上所述，當 x 2 時， APD CBP（ 3）如圖 5，設 ADP 的外接圓的圓心為 G，那么點 G 是斜邊 DP 的中點設

12、 PCB 的外接圓的圓心為 O，那么點 O 在 BC 邊的垂直平分線上，設這條直線與BC 交于點 E，與 AB 交于點 F設 AP 2m作 OM BP 于 M，那么 BM PM 5 m在 Rt BEF 中， BE 2， B60°，所以 BF 4在 Rt OFM 中，FM BF BM4 (5 m) m 1， OFM 30°，所以 OM 3 (m1) 3所以 OB2 BM 2OM 2 (5m)2 1 ( m1)2 在 RtADP 中，DP 2AD2 AP2 12 4m2 所3以 GP2 3 m2于是 S S S (GP2 OB2221212)3 m (5m)(m1)33挑戰中考

13、系列 (數學 )(7 m232m 85) 所以當 m16 時， S 取得最小值，最小值為113 377圖 5圖 6考點伸展 關于第（ 3）題，我們再討論個問題問題 1，為什么設AP2m 呢？這是因為線段 AB AP PM BM AP 2BM 10這樣 BM 5 m，后續可以減少一些分數運算這不影響求S 的最小值問題 2，如果圓心 O 在線段 EF 的延長線上， S 關于 m 的解析式是什么？如圖 6，圓心 O 在線段 EF 的延長線上時，不同的是FM BM BF (5 m) 4 1m此時 OB2 BM 2OM 2 (5 m)2 1 (1 m) 2 這并不影響S 關于 m 的解析式3例 3201

14、5 年湖南省湘西市中考第26 題如圖 1，已知直線 y x 3 與 x 軸、 y 軸分別交于 A、B 兩點，拋物線 y x2 bx c 經過 A、B 兩點，點 P 在線段 OA 上，從 點 O 出發，向點 A 以每秒 1 個單位的速度勻速運動；同時，點 Q 在線段 AB 上，從點 A 出發，向點 B 以每秒 2 個單位的速度勻速運動，連結 PQ，設運動時間為 t 秒（ 1）求拋物線的解析式；（ 2）問：當 t 為何值時， APQ 為直角三角形；（ 3）過點 P 作 PE/y 軸，交 AB 于點 E，過點 Q 作 QF/y 軸，交拋物線于點F ，連結 EF，當 EF/PQ 時，求點 F 的坐標；

15、（ 4）設拋物線頂點為M，連結 BP、 BM、 MQ ，問：是否存在t 的值，使以B、Q、M 為頂點的三角形與以O、B、P 為頂點的三角形相似？若存在，請求出 t 的值；若不存在，請說明理由圖 1 動感體驗請打開幾何畫板文件名“15湘西 26”，拖動點P 在 OA 上運動，可以體驗到，APQ 有兩個時刻可以成為直角三角形，四邊形EPQF 有一個時刻可以成為平行四邊形，MBQ 與 BOP 有一次機會相似思路點撥1在 APQ 中， A 45°，夾 A 的兩條邊 AP、AQ 都可以用 t 表示，分兩種情況討論直角三角形 APQ 2先用含 t 的式子表示點 P、 Q 的坐標，進而表示點 E、

16、 F 的坐標，根據 PE QF 列方程就好了 3 MBQ 與 BOP 都是直角三角形， 根據直角邊對應成比例分兩種情況討論 圖文解析 （ 1）由 y x3，得 A(3, 0)， B(0, 3) 將 A(3, 0)、 B(0, 3) 分別代入 y x2bx c，得9 3b c 0,解得b2,c3.c3.所以拋物線的解析式為y x2 2x 3（ 2）在 APQ 中，PAQ 45°，AP 3 t，AQ 2 t分兩種情況討論直角三角形APQ：當 PQA 90°時， AP2 AQ解方程3 t 2t，得 t 1（如圖2）當 QPA 90°時， AQ2 AP解方程2 t 2 (

17、3 t) ，得 t 1.5（如圖3）4挑戰中考系列 (數學 )圖2圖3圖4圖5（ 3）如圖 4，因為 PE/QF ，當 EF/PQ 時，四邊形EPQF 是平行四邊形所以 EP FQ 所以 yE yP yF yQ因為 xP t，xQ 3 t，所以 yE 3 t， yQ t， yF(3 t)2 2(3 t) 3 t2 4t因為 yE yP yF yQ，解方程 3 t ( t 24t) t，得 t 1，或 t 3（舍去）所以點 F 的坐標為 (2, 3) （ 4）由 y x2 2x 3 (x 1)2 4，得 M(1, 4) 由 A(3, 0)、 B(0, 3) ，可知 A、 B兩點間的水平距離、豎直

18、距離相等，AB 32由 B(0, 3)、 M(1, 4)，可知 B、 M兩點間的水平距離、豎直距離相等，BM2所以 MBQ BOP 90°因此 MBQ 與 BOP相似存在兩種可能：當 BMOB 時，3223 解得 t9 （如圖 5）BQOP2tt4當 BMOP 時，322t 整理，得 t2 3t 3 0此方程無實根BQOB2t3考點伸展 第（ 3）題也可以用坐標平移的方法：由P(t, 0)，E(t,3 t)， Q(3 t, t)，按照 PE 方向，將點 Q 向上平移，得F(3 t, 3)再將 F(3 t, 3)代入 y x2 2x 3，得 t 1，或t 3 §12因動點產生

19、的等腰三角形問題課前導學我們先回顧兩個畫圖問題：1已知線段 AB 5 厘米，以線段 AB 為腰的等腰三角形 ABC 有多少個？頂點 C 的軌跡是什么？ 2已知線段 AB6 厘米，以線段 AB 為底邊的等腰三角形 ABC 有多少個？頂點 C 的軌跡是什么？已知腰長畫等腰三角形用圓規畫圓，圓上除了兩個點以外，都是頂點C已知底邊畫等腰三角形，頂角的頂點在底邊的垂直平分線上，垂足要除外在討論等腰三角形的存在性問題時，一般都要先分類如果 ABC 是等腰三角形，那么存在AB AC， BA BC， CA CB 三種情況解等腰三角形的存在性問題，有幾何法和代數法，把幾何法和代數法相結合，可以使得解題又好又快幾

20、何法一般分三步：分類、畫圖、計算哪些題目適合用幾何法呢？如果 ABC 的 A（的余弦值） 是確定的， 夾 A 的兩邊 AB 和 AC 可以用含x 的式子表示出來， 那么就用幾何法如圖 1，如果 ABAC ，直接列方程； 如圖 2，如果 BA BC，那么 1 ACAB cosA ；如圖 3，如果 CA CB，那么 1 ABAC cosA 22代數法一般也分三步：羅列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗如果三角形的三個角都是不確定的， 而三個頂點的坐標可以用含 x 的式子表示出來， 那么根據兩點間的距離公式，三邊長（的平方）就可以羅列出來5挑戰中考系列 (數學 )圖1圖2圖3圖1例 92014年長沙市

21、中考第26 題如圖 1，拋物線 y ax2 bx c（ a、b、 c 是常數， a0）的對稱軸為y 軸，且經過 (0,0)和 ( a,1) 兩點，點 P 在該拋物線上運動，以點P 為圓心的 P 總經過定點 A(0, 2)16（ 1）求 a、b、c 的值；（ 2）求證：在點P 運動的過程中，P 始終與 x 軸相交；（ 3）設 P與 x 軸相交于 M(x1 , 0)、N(x2, 0)兩點，當 AMN 為等腰三角形時，求圓心P 的縱坐標動感體驗 請打開幾何畫板文件名“ 14 長沙 26”，拖動圓心 P 在拋物線上運動，可以體驗到，圓與 x 軸總是相交的，等腰三角形AMN 存在五種情況思路點撥 1不算

22、不知道，一算真奇妙，原來P 在 x 軸上截得的弦長MN 4 是定值2等腰三角形 AMN 存在五種情況，點P 的縱坐標有三個值，根據對稱性，MAMN和 NA NM 時，點 P 的縱坐標是相等的圖文解析 （ 1）已知拋物線的頂點為(0,0)，所以 y ax2所以 b 0，c 0將 ( a , 1 ) 代入 yax2 ，得 1a2 解得 a1 （舍去了負值） 16164（ 2）拋物線的解析式為y1x2 ，設點 P 的坐標為 ( x, 1 x2 ) 44已知 A(0, 2)，所以 PAx2(1x22)21x44 1x2 4164而圓心 P 到 x 軸的距離為1x2 ，所以半徑 PA圓心 P 到 x 軸

23、的距離4所以在點 P 運動的過程中，P 始終與 x 軸相交（ 3）如圖 2，設 MN 的中點為H ，那么 PH 垂直平分 MN 在 RtPMH 中， PM 2PA21x44，PH2(1x)21x4 ，所以 MH2 416416所以 MH 2因此 MN 4，為定值等腰AMN 存在三種情況：如圖3，當 AM AN時，點 P 為原點 O 重合，此時點P 的縱坐標為 0圖 2圖3圖4圖 5如圖 4，當 MA MN 時，在 Rt AOM 中， OA2， AM 4，所以 OM 23 此時 x OH 2 32 所以點 P 的縱坐標為 1x21(2 32)2( 31)242344如圖 5，當 NA NM 時，

24、根據對稱性，點 P 的縱坐標為也為4 23 如圖 6，當 NA NM 4 時，在 Rt AON 中， OA 2，AN 4，所以ON 23 6挑戰中考系列 (數學 )此時 x OH 2 3 2 所以點 P 的縱坐標為 1x21(2 3 2)2(3 1)242344如圖 7，當 MN MA 4 時，根據對稱性，點P 的縱坐標也為 423 圖 6圖 7考點伸展 如果點 P 在拋物線 y1x2 上運動， 以點 P 為圓心的 P 總經過定點 B(0, 1) ，那4么在點 P 運動的過程中， P 始終與直線 y 1 相切這是因為：設點 P 的坐標為 (x,1x2 ) 已知 B(0, 1) ，所以 PBx2

25、(1 x21)2( 1 x21)21 x21 4444而圓心 P 到直線 y 1 的距離也為 1x21，所以半徑 PB圓心 P 到直線 y 1 的距4離所以在點P 運動的過程中，P 始終與直線 y 1 相切例 102014年湖南省張家界市中考第25 題如圖 1，在平面直角坐標系中，O 為坐標原點，拋物線 y ax2 bxc（ a 0）過 O、 B、 C 三點， B、 C 坐標1824分別為 (10, 0) 和 ( ,) ，以 OB 為直徑的 A 經過 C 點，55直線 l 垂直 x 軸于 B 點（ 1）求直線 BC 的解析式；（ 2）求拋物線解析式及頂點坐標；（ 3）點 M 是 A 上一動點（

26、不同于 O、B），過點 M作 A 的切線，交 y 軸于點 E，交直線 l 于點 F，設線段ME 長為 m，MF 長為 n，請猜想 mn 的值，并證明你的結論；（ 4）若點 P 從 O 出發，以每秒 1 個單位的速度向點B作直線運動，點 Q 同時從 B 出發，以相同速度向點C 作直線運動，經過 t（ 0 t 8）秒時恰好使 BPQ 為等腰三角形，請求出滿足條件的t 值圖 1動感體驗 請打開幾何畫板文件名“14 張家界 25”，拖動點M 在圓上運動，可以體驗到， EAF 保持直角三角形的形狀， AM 是斜邊上的高拖動點Q 在 BC 上運動，可以體驗到， BPQ 有三個時刻可以成為等腰三角形思路點撥

27、 1從直線 BC 的解析式可以得到OBC 的三角比，為討論等腰三角形BPQ 作鋪墊 2設交點式求拋物線的解析式比較簡便3第（ 3）題連結 AE、AF 容易看到 AM是直角三角形 EAF 斜邊上的高 4第（ 4）題的 PBQ 中， B 是確定的，夾 B 的兩條邊可以用含 t 的式子表示分三種情況討論等腰三角形圖文解析 （1）直線 BC 的解析式為 y3x15 （2）因為拋物線與 x 軸交于 O、B(10, 0)42兩點，設 y ax(x 10)代入點 C (18 ,24)，得24a18( 32 ) 解得 a5 55555247挑戰中考系列 (數學 )所以 y5x( x 10)5x225x5(x5

28、)2 125 拋物線的頂2424122424點為 (5,125) （ 3）如圖 2，因為 EF 切 A 于 M，所以 AM EF由24AE AE，AO AM ，可得 Rt AOE Rt AME 所以 1 2同理 3 4于是可得 EAF 90°所以 5 1由 tan 5 tan 1，得 MAME 所以 ME ·MF MA 2，即 mn25MFMA圖 2（ 4）在 BPQ 中， cos B 4 ，BP 10 t， BQ t分三種情況討論等腰三角形BPQ：5如圖 3，當 BP BQ 時， 10 tt解得 t 5如圖 4，當 PB PQ 時， 1BQBP cosB 解方程 1t4(

29、10t) ，得 t80 22513 如圖 5，當 QBQP 時， 1 BPBQ cos B 解方程 1 (10t)4 t ，得 t50 22513圖3圖4圖5圖6考點伸展 在第（ 3）題條件下，以EF 為直徑的 G 與 x 軸相切于點A如圖 6，這是因為AG 既是直角三角形EAF 斜邊上的中線， 也是直角梯形EOBF 的中位線，因此圓心G 到 x 軸的距離等于圓的半徑，所以G 與 x 軸相切于點A例 112014年湖南省邵陽市中考第26 題在平面直角坐標系中，拋物線 y x2 (m n)x mn（ m n）與 x 軸相交于A、B 兩點（點A 位于點 B 的右側），與y 軸相交于點C（ 1）若

30、m2， n 1，求 A、 B 兩點的坐標；（ 2）若 A、B 兩點分別位于y 軸的兩側， C 點坐標是 (0,1)，求 ACB 的大小；（ 3）若 m 2， ABC 是等腰三角形，求n 的值 動感體驗請打開幾何畫板文件名“14 邵陽 26”，點擊屏幕左下方的按鈕（ 2），拖動點 A 在 x 軸正半軸上運動，可以體驗到，ABC 保持直角三角形的形狀點擊屏幕左下方的按鈕（3），拖動點 B 在 x 軸上運動，觀察 ABC 的頂點能否落在對邊的垂直平分線上，可以體驗到，等腰三角形 ABC 有 4 種情況 思路點撥1拋物線的解析式可以化為交點式，用m， n 表示點 A、 B、C 的坐標2第（ 2）題判定

31、直角三角形ABC ，可以用勾股定理的逆定理，也可以用銳角的三角比3第（ 3）題討論等腰三角形ABC，先把三邊長（的平方）羅列出來，再分類解方程圖文解析 （ 1）由 yx2 (mn) xmn (xm)(x n)，且 m n，點 A 位于點 B 的右側，可知 A(m, 0)， B(n, 0)若 m2， n 1，那么 A(2, 0)， B(1, 0)8挑戰中考系列 (數學 )（ 2）如圖 1，由于 C(0, mn)，當點 C 的坐標是 (0, 1)， mn 1， OC 1若 A、 B 兩點分別位于 y 軸的兩側， 那么 OA·OB m( n) mn 1所以 OC2 OA·OB所以

32、 OC OB OAOC所以 tan 1 tan 2所以 1 2又因為 1 與 3 互余，所以 2 與 3 互余所以 ACB 90°（ 3）在 ABC 中，已知 A(2, 0) ， B( n, 0)， C(0, 2n)討論等腰三角形ABC，用代數法解比較方便：由兩點間的距離公式，得AB2 (n 2)2，BC 2 5n2 ，AC2 4 4n2當 AB AC 時，解方程 (n 2)2 4 4n2，得 n4 （如圖 2）3當 CA CB 時，解方程 4 4n25n2，得 n 2（如圖 3），或 n 2（ A、 B 重合，舍去）當 BA BC 時，解方程 (n 2)2 5n2，得 n5 1 （

33、如圖 4），或 n5 1 （如圖 5）22圖1圖2圖3圖4圖5考點伸展 第（ 2）題常用的方法還有勾股定理的逆定理由于 C(0, mn)，當點 C 的坐標是 (0, 1)， mn 1由 A(m, 0)， B( n, 0)， C(0,1) ，得 AB2 (m n)2 m2 2mn n2 m2 n2 2，BC 2 n2 1， AC2m2 1所以 AB2 BC2 AC2于是得到Rt ABC， ACB 90°第（ 3）題在討論等腰三角形ABC 時，對于 CA CB 的情況，此時A、 B 兩點關于 y 軸對稱，可以直接寫出B( 2, 0)，n 2例 122014年湖南省婁底市中考第27 題如圖

34、 1，在 ABC 中， ACB 90°，AC 4cm，BC 3cm如果點 P 由點 B 出發沿 BA 方向向點 A 勻速運動，同時點 Q 由點 A 出發沿 AC 方向向點 C 勻速運動，它們的速度均為 1cm/s連結 PQ，設運動時間為 t（ s）（ 0 t 4），解答下列問題： （ 1）設 APQ 的面積為 S，當 t 為何值時， S 取得最大值？ S 的最大值是多少？（ 2）如圖 2，連結 PC ，將 PQC 沿 QC 翻折，得到四邊形 PQP C，當四邊形 PQPC 為菱形時，求 t 的值；（ 3）當 t 為何值時， APQ 是等腰三角形？圖1圖2圖3圖4動感體驗 請打開幾何畫

35、板文件名“ 14 婁底 27”，拖動點 Q 在 AC 上運動，可以體驗到，當點 P 運動到 AB 的中點時， APQ 的面積最大，等腰三角形 APQ 存在三種情況還可以9挑戰中考系列 (數學 )體驗到，當QC 2HC 時，四邊形PQPC 是菱形思路點撥1在 APQ 中， A 是確定的，夾A 的兩條邊可以用含t 的式子表示2四邊形PQPC 的對角線保持垂直，當對角線互相平分時，它是菱形，圖文解析 （ 1）在 Rt ABC 中， AC 4， BC 3，所以 AB 5， sinA 3 ， cosA 455作 QD AB 于 D，那么 QD AQ sinA3APQ113t t所以 S SAPQD (5

36、 t)55223 (t 25t) 3 (t5)2+15當 t5 時， S 取得最大值，最大值為15 10102828（ 2）設 PP與 AC 交于點 H，那么 PP QC，AH APcosA 4(5t) 5如果四邊形 PQP C 為菱形，那么PQ PC所以 QC 2HC 解方程 4t 244，得 t20APQ 存在三種情況：(5 t)（ 3）等腰三角形513如圖 5，當 AP AQ 時， 5 t t解得 t5 如圖 6，當 PA PQ 時，21AQAP cos A 解方程 1t4(5t) ，得 t40 如圖 7，當 QA QP22513時， 1 AP AQ cos A 解方程1 (5t )4

37、t 得 t25 22513圖5圖6圖7圖8考點伸展 在本題情境下，如果點 Q 是 PPC 的重心，求 t 的值如圖 8，如果點 Q 是 PP C 的重心，那么 QC 2 HC 解方程 4 t 2 4 4 (5 t) ，得 t 60 33523例 132015年湖南省懷化市中考第22 題如圖 1，已知 Rt ABC 中， C 90°，AC 8，BC 6，點 P 以每秒 1 個單位的速度從A 向 C 運動， 同時點 Q 以每秒 2 個單位的速度從A B C 方向運動， 它們到 C 點后都停止運動，設點P、Q 運動的時間為t 秒（ 1）在運動過程中，求P、 Q 兩點間距離的最大值；（ 2）

38、經過 t 秒的運動，求ABC 被直線 PQ 掃過的面積S 與時間 t 的函數關系式；（ 3）P，Q 兩點在運動過程中，是否存在時間t，使得 PQC 為等腰三角形若存在，求出此時的 t 值，若不存在，請說明理由（52.24 ，結果保留一位小數）動感體驗 請打開幾何畫板文件名“15 懷化 22”，拖動點 P 在 AC 上運動，可以體驗到，PQ與 BD 保持平行，等腰三角形PQC 存在三種情況思路點撥 1過點 B 作 QP 的平行線交AC 于 D，那么 BD 的長就是PQ 的最大值2線段 PQ 掃過的面積S 要分兩種情況討論，點Q 分別在 AB、BC 上3等腰三角形PQC 分三種情況討論，先羅列三邊

39、長10挑戰中考系列 (數學 )圖文解析（ 1）在 Rt ABC 中， AC 8，BC 6，所以 AB 10如圖 2，當點 Q 在 AB 上時，作 BD /PQ 交 AC 于點 D ，那么 ABAQ2t2 ADAPt所以 AD 5所以 CD 3如圖 3，當點 Q 在 BC 上時， CQ162t2 CP8t又因為 CB62 ，所以 CQCB 因此 PQ/BD 所以 PQ 的最大值就是 BD CD3CPCD在 RtBCD中， BC 6， CD 3，所以 BD 3 5 所以 PQ 的最大值是 35 圖1圖2圖 3圖 4（ 2）如圖 2，當點 Q 在 AB 上時， 0 t 5，S ABD 15由 AQP

40、 ABD ，得 S AQP( AP )2 所以 S S AQP 15( t ) 2 3 t2 AD55S ABD如圖 3，當點 Q 在 BC 上時， 5t 8， SABC 24因為 SCQP 1CQ CP1(162t)(8 t) (t 8)2 ，22所以 S S ABC S CQP 24 (t 8)2 t2 16t 40（ 3）如圖 3，當點 Q在 BC上時， CQ 2CP， C 90°，所以 PQC 不可能成為等腰三角形當點 Q在AB上時，我們先用 t表示 PQC的三邊長：易知 CP 8 t如圖 2，由 QP/BD ，得 QPAP ，即 QPt 所以 QP3 5 t BDAD355

41、5如圖 4，作 QH AC于 H 在 Rt AQH中， QH AQ sin A 6 t ， AH 8 t 55在 RtCQH 中，由勾股定理，得 CQQH 2CH2(6 t )2(88 t)255分三種情況討論等腰三角形PQC ：（ 1）當 PC PQ 時，解方程8t3 5t ，得5t 65 103.4 （如圖 5所示）當 QC QP 時，( 6 t)2(88 t) 235 t 整理，得55511t 2128t320 0 所以 (11t 40)(t 8) 0解得 t40 3.6（如圖 6所示），或 t 8（舍11去）當 CP CQ時， 8 t(6 t )2(88 t)2整理，得5t216t0 55解得 t16 3.2（如圖 7所示），或 t 0（舍去）5綜上所述，當t的值約為 3.4，3.6，或等