1、習題課對數函數及其性質的應用一、A組1.已知函數y=loga(x+c)(a,c為常數,且a>0,a1)的圖象如圖所示,則下列結論成立的是()A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1解析:由題意可知y=loga(x+c)的圖象是由y=logax的圖象向左平移c個單位長度得到的,結合題圖知0<c<1.根據單調性易知0<a<1.答案:D2.已知a=2-13,b=log213,c=log1213,則()A.a>b>cB.a>c>b

2、C.c>b>aD.c>a>b解析:0<a=2-13<20=1,b=log213<log21=0,c=log1213>log1212=1,c>a>b.故選D.答案:D3.函數f(x)=3-log2(3-x)的定義域為()A.(3,5B.-3,5C.-5,3)D.-5,-3解析:要使函數有意義,則3-log2(3-x)0,即log2(3-x)3,0<3-x8,-5x<3.答案:C4.函數f(x)=log12(x2-4)的單調遞增區間為()A.(0,+)B.(-,0)C.(2,+)D.(-,-2)解析:令t=x2-4>0,

3、可得x>2或x<-2.故函數f(x)的定義域為(-,-2)(2,+),當x(-,-2)時,t隨x的增大而減小,y=log12t隨t的減小而增大,所以y=log12(x2-4)隨x的增大而增大,即f(x)在(-,-2)上單調遞增.故選D.答案:D5.已知y=loga(2-ax)在區間0,1上為減函數,則a的取值范圍為()A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.2,+)解析:由題設知a>0,則t=2-ax在區間0,1上是減函數.因為y=loga(2-ax)在區間0,1上是減函數,所以y=logat在定義域內是增函數,且tmin>0.因此a>1,tmin=2-a&

4、gt;0,故1<a<2.答案:B6.導學號29900104已知函數f(x)=log2x,x>0,3x,x0,直線y=a與函數f(x)的圖象恒有兩個不同的交點,則a的取值范圍是. 解析:函數f(x)的圖象如圖所示,要使直線y=a與f(x)的圖象有兩個不同的交點,則0<a1.答案:(0,17.已知定義域為R的偶函數f(x)在區間0,+)上是增函數,且f12=0,則不等式f(log4x)<0的解集是. 解析:由題意可知,f(log4x)<0-12<log4x<12log44-12<log4x<log441212<x

5、<2.答案:x12<x<28.已知函數f(x)=loga(x+1)(a>0,且a1),g(x)=loga(4-2x).(1)求函數f(x)-g(x)的定義域;(2)求使函數f(x)-g(x)的值為正數時x的取值范圍.解:(1)由題意可知,f(x)-g(x)=loga(x+1)-loga(4-2x),要使函數f(x)-g(x)有意義,則x+1>0,4-2x>0,解得-1<x<2.故函數f(x)-g(x)的定義域是(-1,2).(2)令f(x)-g(x)>0,得f(x)>g(x),即loga(x+1)>loga(4-2x).當a&g

6、t;1時,可得x+1>4-2x,解得x>1.由(1)知-1<x<2,所以1<x<2;當0<a<1時,可得x+1<4-2x,解得x<1,由(1)知-1<x<2,所以-1<x<1.綜上所述,當a>1時,x的取值范圍是(1,2);當0<a<1時,x的取值范圍是(-1,1).9.導學號29900105若-3log12x-12,求f(x)=log2x2·log2x4的最值.解:f(x)=log2x2·log2x4=(log2x-1)(log2x-2)=(log2x)2-3log2x+

7、2.令log2x=t,-3log12x-12,-3-log2x-12,12log2x3.t12,3.f(x)=g(t)=t2-3t+2=t-322-14.當t=32時,g(t)取最小值-14;此時,log2x=32,x=22;當t=3時,g(t)取最大值2,此時,log2x=3,x=8.綜上,當x=22時,f(x)取最小值-14;當x=8時,f(x)取最大值2.二、B組1.(2016·江西南昌二中高一期中)函數y=x·ln |x|的大致圖象是()解析:函數f(x)=x·ln |x|的定義域(-,0)(0,+)關于原點對稱,且f(-x)=-x·ln |-x

8、|=-x·ln |x|=-f(x),所以f(x)是奇函數,排除選項B;當0<x<1時,f(x)<0,排除選項A,C.故選D.答案:D2.(2016·河南許昌四校高一聯考)若函數f(x)=log2(x2-ax+3a)在區間2,+)上是增函數,則實數a的取值范圍是()A.a4B.a2C.-4<a4D.-2a4解析:函數f(x)=log2(x2-ax+3a)在區間2,+)上是增函數,y=x2-ax+3a在2,+)上大于零且單調遞增,故有a22,4-2a+3a>0,解得-4<a4,故選C.答案:C3.已知函數f(x)在區間0,+)上是增函數,g(

9、x)=-f(|x|),若g(lg x)>g(1),則x的取值范圍是()A.110,10B.(0,10)C.(10,+)D.110,10(10,+)解析:因為g(lg x)>g(1),所以f(|lg x|)<f(1).又f(x)在區間0,+)上單調遞增,所以0|lg x|<1,解得110<x<10.答案:A4.已知a=log23.6,b=log43.2,c=log43.6,則a,b,c的大小關系為. 解析:b=log23.2log24=12log23.2=log23.2,c=log23.6log24=12log23.6=log23.6,又函數y=lo

10、g2x在區間(0,+)上是增函數,3.6>3.6>3.2,log23.6>log23.6>log23.2,a>c>b.答案:a>c>b5.已知函數y=logax,當x>2時恒有|y|1,則a的取值范圍是. 解析:當a>1時,y=logax在區間(2,+)上是增函數,由loga21,得1<a2;當0<a<1時,y=logax在區間(2,+)上是減函數,且loga2-1,得12a<1.故a的取值范圍是12,1(1,2.答案:12,1(1,26.導學號29900106若函數f(x)=logax(a>0

11、,且a1)在區間a,2a上的最大值是最小值的3倍,則a的值為. 解析:當0<a<1時,f(x)在區間(0,+)上是減函數,f(x)在區間a,2a上的最小值為loga(2a),最大值為logaa,logaa=3loga(2a),loga(2a)=13,即a13=2a,a=8a3,a2=18,a=24.當a>1時,f(x)在區間(0,+)上是增函數,f(x)在區間a,2a上的最小值為logaa,最大值為loga(2a),loga(2a)=3logaa,loga(2a)=3,即a3=2a,a2=2,a=2.故a的值為24或2.答案:24或27.已知函數f(x)=lg(3x

12、-3).(1)求函數f(x)的定義域和值域;(2)設函數h(x)=f(x)-lg(3x+3),若不等式h(x)>t無實數解,求實數t的取值范圍.解:(1)由3x-3>0,得x>1,所以f(x)的定義域為(1,+).因為(3x-3)(0,+),所以函數f(x)的值域為R.(2)因為h(x)=lg(3x-3)-lg(3x+3)=lg3x-33x+3=lg1-63x+3的定義域為(1,+),且h(x)在區間(1,+)上是增函數,所以函數h(x)的值域為(-,0).若不等式h(x)>t無實數解,則t的取值范圍為t0.8.導學號29900107已知函數f(x-1)=lgx2-x.(1)求函數f(x)的解析式;(2)解關于x的不等式f(x)lg(3x+1).解:(1)令t=x-1,則x=t+1.由題意知x2-x>0,即0<x<2,則-1<t<1.所以f(t)=lgt+12-(t+1)=lgt+11-t.故f(x)=lgx+11-x(-1<x<1).(