1、對稱性與守恒量的探究及其應用XX（61010XXX）（東南大學吳健雄學院，南京 211189）摘 要： 本文詳細論述了量子力學中的守恒量和對稱性的定義及相互之間的關系，并且與經典力學作了對比，以課本知識為基礎，對其做了深入的探討，清晰地展示了守恒量與對稱性的推導，并且對二者的應用做了詳細的介紹。關鍵詞： 守恒量；對稱性The discussion and applications of the conservation quantity and the symmetry transformationXX (Chien-Shiung Wu College, Southeast Universit

2、y, Nanjing, 211189)Abstract: The relationship between conservation quantity and symmetry transformation and the definitions of them was discussed, and they were also compared with ones in classical mechanics. Based on the content of textbook, the derivation of them was shown. Besides, the applicatio

3、ns of them were also talked in the essay. key words: The conservation quantity; The symmetry transformation經典力學中守恒量與對稱性之間存在的聯系 早在19世紀中葉就已被人們認識到，而守恒量與對稱,性的密切聯系及廣泛應用是在量子力學建立以后才深入到物理學的日常語言中來的，找出了一個體系的守恒量，往往可以使問題的處理大為簡化。因此，對守恒量和對稱性的研究探討是很有意義的。1.守恒量作者簡介： XX在經典力學中，守恒定律與體系對稱性之間有密切聯系。在一個體系中有的力學量是不隨時間改變的，這種力

4、學量稱為守恒量。對于用Lagrange函數描述的體系，如果在空間坐標平移具有不變性，則體系的動量守恒，若具有空間旋轉不變性，則角動量守恒。Lagrange函數時間平移的不變性，將導致體系的能量守恒。在量子力學發展以后，守恒定律與對稱性的關系更為顯著應用，這與態疊加原理有著密切的聯系。與經典力學相比，量子力學關于對稱性的研究，大大豐富了對體系的認識。處理實際問題時，也能因找到某些守恒量，使問題求解簡化。1.1 守恒量的定義及判定 量子力學體系的一個不顯含時間t的物理量F，若與體系的哈密頓量H對易，即，則稱F是體系的一個守恒量。守恒量在任意狀態下（指在定態或者非定態下）的平均值都不隨時間變化，即

5、（1）所以守恒量的判定條件為： （2）但一般來說，力學量算符一般都不顯含t，即等式的第一項為零，所以在量子力學中，看力學量是否與哈密頓量對易，即是否滿足即可，滿足這個條件的即為守恒量。1.2守恒量的特點及其與經典力學的比較守恒量作為體系中一種特殊的力學量，有別于其他量的特點是：(1)在體系的任何狀態下（定態或非定態），它的各種可能測值（本征值）的幾率都不隨時間變化。只有在非定態且力學量為非守恒量時，力學量的幾率分布及平均值分布才隨時間變化。(2)若在初始時刻體系出于守恒量F的某一個本征態，則將繼續保持該本征態。由于守恒量的這一特點，它的量子數稱為好量子數。(3)若在初始時刻體系并不處于守恒量F

6、的本征態，則以后也不處于F的本征態，但測量F的取值幾率分布都不隨時間變化。與經典力學的比較：(1)與經典力學不同，量子力學的守恒量并不意味著在任何狀態下都有確定的值。這是因為一個任意狀態一般不是力學量F的本征態，在狀態中，F沒有確定的值。F守恒是指在狀態中，它的平均值不變，及取值的幾率不變。如在中心立場中的無自旋粒子，其軌道角動量守恒，但它的波函數并不一定是角動量的本征態。(2)量子力學中各守恒量并不一定都可以同時取確定的值。例如在中心立場中的無自旋粒子，軌道角動量守恒，所以L的三個分量都守恒，但之間相互不對易，所以它們一般不能同時取確定的值。之所以在量子力學中有所不同，實質上是因為測不準原理

7、。 測不準原理是W.Heisenberg在1927年提出的，后來根據波恩對波函數的統計詮釋嚴格證明，并使其表述和含義更準確。海森堡測不準關系式： （3）該關系式反映了波粒二象性，劃分了經典粒子及力學量的概念對微觀粒子的適用度。在普朗克常數的情況下，量子效應可以忽略，就可以看成經典力學中的現象。利用德布羅意關系式，可以把波動性和粒子性聯系起來。2.對稱性2.1對稱性的定義對稱性概念總是和某種變換下的不變性相聯系。所謂的對稱性,一般是指體系的Lagrange量或哈密頓量在某種變換下具有不變性。這些對稱性變換,包括連續變換(如時間平移等)、分力變換(如空間反演等)和對內稟參量的變換(如電荷共軛變換等

8、)，而每一種變換下的不變性，都對應著一種守恒率，也一定意味著存在著某種不可觀測量或不可分辨性，例如：時間平移不變性對應著能量守恒，意味著時間原點不可觀測；空間平移不變性對應著動量守恒, 意味著空間的絕對位置不可觀測；空間轉換不變性對應著角動量守恒，意味著空間的絕對方向不可觀測。2.2量子力學中對稱性變換的條件一個量子體系的態隨時間的演化，遵守薛定諤方程： （4）設體系在某種線形變換（存在逆變換，不顯含t ） （或） （5）體系在變換下的不變性表現為：與遵守相同的動力學規律，即要求也遵守 （6）即： （7）用運算得： （8）用薛定諤方程（4）比較, 不變性要求表現為： （9）即： （10）這就是

9、體系哈密頓量在變換下不變性的數學表達，凡滿足式（10）的變換，稱為體系的對稱性變換。而式（10）成立與否取決于體系哈密頓量的對稱性。按式（10）要求，體系在變換下的不變性就導致，就是體系的一個守恒量。所以說, 利用對稱性來處理物理問題的一個很重要方面，就是分析守恒量。2.3空間反射性和宇稱守恒在空間反射變換作用下， （11）很明顯，是線性算符，并且它是厄米算符，即。如果系統是空間反演對稱的，那就要求，本身就是一種守恒量的算符。的本征值I為+1或-1，當為+1時為偶宇稱態，-1則為奇宇稱態。 宇稱守恒要求狀態波函數的奇偶性不隨時間變化。3.守恒與對稱的應用3.1守恒量在求解本征值問題中的應用由定

10、理：設體系有兩個守恒量，但，則一般來說體系能級是簡并的。我們知道分析守恒量，能幫助我們判斷能級簡并。 如果體系存在某守恒量，但體系的某條能級E又無簡并態，即對應能級E只有一個態，則可以判定這個態也是的本征態。實際解決問題時，如碰到能級不簡并的，當能量的本征值確定時，即確定了本征態。倘若遇到能級簡并的，且能找到一個守恒量，則可以通過求能量本征態和守恒量的本征態，再用的本征值區分不同的本征態。3.2動力方程的求解化簡對稱性可能導致一些物理量之間存在某種關系，從而使問題簡化。另外，對稱性往往導致某種守恒量，利用它們可以使動力學方程的求解化簡。如物體在中心力場中運動，相對于力心的軌道角動量是守恒量，因

11、為 （11）即：是一個運動積分，由初值決定。這樣，含時間二階微商的牛頓方程就可化為含時間一階微商的方程。所以說，利用對稱性來處理物理問題的一個很重要方面就是分析守恒量。3.3空間各向同性體系的求解先考慮它的一種特殊情況，即體系對于繞某一軸(軸)轉動的不變性，這時，把體系整個地繞軸旋轉時，外界條件沒有什么改變，因為并不存在什么特殊的方向(角度)，所以體系的哈密頓量是不改變的。設把體系繞軸轉過角度的運算記為。體系的一個狀態，經過作用后，一般將變成另外一個新的態，但也可能存在這樣一類特殊的狀態，它經過運算之后，得到的態與原來的態只差一個常數相因子，即類似地可以證明，與成比例。因此上式可以改為與轉角無

12、關，只與體系所處狀態的性質有關。假設體系具有繞軸旋轉的對稱性，即，同時假設在初始時刻體系處于上述特殊的狀態，即則以后任何時刻體系所處狀態仍將具有這種特性，即比例常數并不隨時間改變，是一個運動常數， 代表體系所處狀態的一個守恒量，就是平常所說的角動量的分量。這種特殊的狀態，即為角動量的分量的本征態。3.4守恒量在散射問題中的應用在散射問題中，入射波通常是用平面波描述。把平面波按守恒量的本征態分解。使在中心立場中的影響可以通過得到的分波，一個個處理，使問題簡化，這就是分波法。4.守恒與對稱的關聯與總結守恒量與對稱性不論在經典力學中還是量子力學中都相互聯系，并有著廣泛的應用。守恒量總是與體系的某種對稱性相聯系，如果一個體系存在一個守恒量, 則體系一定具有相似的某種對稱性, 反之則不一定正確。這一點在經典力學中和量子力學中是相同的，但在量子力學中守恒量的含義與在經典力學中的有所不同， 其根源在于量子態的描述和經典力學態的描述不同，這正是微觀粒子具有波動性的反映。量子力學中的守恒量，有一些有經典對應。例如：能量、動量、角動量等，它們是與連續對稱性變換相應的守恒量。但有一些可觀測量并無經典對應，因此，當它們作為量子體系的守恒量時，所相應的對稱性變換在經典力學中并不導致什么有意義的守恒量（例如空間反射不變性），或者守恒量消失（例如