1、 量子力學中常用的級數(shù)和積分摘要：（1）研究背景和目的：在量子力學這門課程中涉及和應用到了許多的積分和級數(shù),尤其是在復雜的計算過程中,為了更好的掌握和熟悉這些積分和級數(shù),便于計算,總結(jié)和說明這些積分和級數(shù)非常有必要和意義.（2）方法：總結(jié)整理教材中涉及的積分和級數(shù)，并查閱參考資料,利用網(wǎng)絡資源補充和完善這些常用的積分和級數(shù).（3）主要結(jié)果：總結(jié)歸納了量子力學中常用的積分和級數(shù),并對其中的一些做了說明和解釋.（4）結(jié)論：本文總結(jié)了量子力學中常用的積分和級數(shù)做了一定的總結(jié)歸納,并對其中的一些做了詳細的說明和擴充.便于以后對這些積分和級數(shù)的學習和查閱.關(guān)鍵詞：量子力學，級數(shù)，積分.一，引言：（1）本

2、領(lǐng)域研究背景的綜述：量子力學中的積分和級數(shù)比較繁雜,對于這些級數(shù)和積分的系統(tǒng)全面的整理總結(jié)不多.（2）為什么進行進一步的研究：在量子力學的學習過程中尤其是計算過程中會用到許多的積分和級數(shù)，這些積分和級數(shù)往往比較復雜和難于理解和掌握，給計算求解過程帶來了許多的麻煩.但是查找起來并不方便.因此為了系統(tǒng)和較全面的掌握和應用這些積分和級數(shù),對它們進行總結(jié)和整理時十分有意義的.這將對量子力學的學習有一定的幫助.本文總結(jié)了量子力學中常用的積分和級數(shù),并對其中的一些做了詳細的說明.（3）研究目的：便于讀者查閱和學習量子中常用的二級分和級數(shù).（4）本文開展的研究工作：整理教材中的典型積分和級數(shù)，查閱相關(guān)資料文

3、獻以及通過網(wǎng)絡資源對其進行補充和完善.(5）本文的研究意義：便于讀者查閱和學習量子力學中常用的積分和級數(shù).二， 對常用積分和級數(shù)的總結(jié)整理1，泰勒級數(shù)（Taylor series）是以于1715年發(fā)表了泰勒公式的英國數(shù)學家布魯克·泰勒（Sir Brook Taylor）來命名的。在數(shù)學上，一個定義在開區(qū)間（a-r, a+r）上的無窮可微實變函數(shù)或復變函數(shù)f 的泰勒級數(shù)是如下的冪級數(shù)：這里,n! 表示n 的階乘而表示函數(shù)f 在點a 處的n 階導數(shù)。如果泰勒級數(shù)對于區(qū)間 (a-r, a+r)中的所有x都收斂并且級數(shù)的和

4、等于f (x)，那么我們就稱函數(shù)f (x)為解析的.當且僅當一個函數(shù)可以表示成為冪級數(shù)的形式時,它才是解析的.為了檢查級數(shù)是否收斂于f (x),我們通常采用泰勒定理估計級數(shù)的余項.上面給出的冪級數(shù)展開式中的系數(shù)正好是泰勒級數(shù)中的系數(shù).如果a=0,那么這個級數(shù)也可以被稱為麥克勞倫級數(shù).泰勒級數(shù)的定義：下面給出了幾個重要的泰勒級數(shù).參數(shù)x 為復數(shù)時它們依然成立.（1）指數(shù)函數(shù)和自然對數(shù):(2)幾何級數(shù):(3)二項式定理:(4)三角函數(shù):(5)雙曲函數(shù):2,傅里葉級數(shù)法國數(shù)學家傅里葉發(fā)現(xiàn)，任何周期函數(shù)都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構(gòu)成的無窮級數(shù)來表示.傅里葉級數(shù)的

5、公式:給定一個周期為T的函數(shù)x(t)，那么它可以表示為無窮級數(shù)：（i為虛數(shù)單位）（1）其中，可以按下式計算：（2）3,黎曼積分由黎曼創(chuàng)立的黎曼積分（Riemann integral）首次對函數(shù)在給定區(qū)間上的積分給出了一個精確定義.對于一在區(qū)間a,b上之給定非負函數(shù)f(x)，我們想要確定f(x)所代表的曲線與x坐標軸所夾圖形的面積，我們可以將此記為.S是函數(shù)f在閉區(qū)間a,b上的黎曼積分,當且僅當對于任意的,都存在,使得對于任意的取樣分割、,只要它的子區(qū)間長度最大值 ,就有：4,冪級數(shù)在數(shù)學中,冪級數(shù)是一類形式簡單而應用廣泛的函數(shù)級數(shù),變量可以是一個或多個.單變量的冪級數(shù)形式為：其中的c

6、和是常數(shù)。稱為冪級數(shù)的系數(shù).5,勒讓德多項式( Legendre Multinomail )將上式中的未知函數(shù) P 記成 y,則勒讓德方程變?yōu)樵O其形式解為 其中, 常數(shù)c和(k=0,1,2)可以通過把y和它的導數(shù)y、y”代入上式來確定.6，積分證明: 由積分表達式的具體形式可以看出, n N 且積分參數(shù)R ;下面就n = 0 與n 為正整數(shù)時的積分分別給出證明.當n = 0 時,積分簡記為 ,并計算得;當n 為正整數(shù)時,有=.7,概率積分當n = 0 ,= 1 時,積分化為概率積分,由積分與積分變量的無關(guān)性,有=,因此（）（）=.將直角坐標改用極坐標積分, 即令x = rcos,y=rsin,

7、則dxdy=rdrd,得=,所以=.8,(x)函數(shù)(x)函數(shù)的定義:廣義積分(x)= ，當x >0時收斂，從而在x > 0的范圍內(nèi)，確定了一個以x為自變量的函數(shù)，稱為(x)函數(shù). 記(x)為(x)= ，（x>0）(x)函數(shù)的性質(zhì):(1)(x1) = x(x) x 介于二整數(shù)間，則(x+1)= x(x)= x(x1)(x1)= x(x1)(x2)(x 2)= =x(x1)(x2)(x3)(xn)(xn),(0<xn<1)（2）x=n(n為自然數(shù))，(n +1) = n(n) = n(n1)(n1)=n(n1)(n2)(n2)=n!(1)，而(1)=. 所以(n +1

8、)=n!（3）x 為半整數(shù)，即x = ( k取奇整數(shù)1，3，5，7，)(+1)= ()=(-1)(-2)()9,B-函數(shù)B-函數(shù)的定義:廣義積分,當m>0，n>0 時收斂，從而在m>0，n>0 的范圍內(nèi)確定了一個以m，n 為自變量的二元函數(shù). 稱之為B-函數(shù). 記B(m,n)為B(m,n) =,(m>0，n>0)(1)B-函數(shù)的性質(zhì)：B(m,n) = B(n,m).（2）B-函數(shù)的遞推公式:B(m+1,n+1)= B(m+1,n).（3）B-函數(shù)的變換形式:在B(m,n)= ，令x = sin2x，則B(m,n)= .10,常用的一些積分公式:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9) (10) 三,結(jié)論本文總結(jié)了量子力學中常用的積分和級數(shù)做了