1、銷售額回歸模型 20098511 袁少偉摘要公司銷售額是對公司綜合收益的一個重要表現，某公司希望通過公司與全行業銷售額進行對比來對公司未來銷售額進行預測。我們利用統計回歸的方法，建立了回歸模型，并利用MATLAB軟件進行模型的求解與分析，再通過對模型進行變換，建立了優化后的回歸模型。針對問題一:利用已知數據繪制散點圖并建立起來線性回歸模型，其擬合度是非常的好，看起來是合適的。針對問題二：利用殘差作為隨機誤差的估計值，從的散點圖，能夠從直觀上定性的判斷隨機誤差存在自相關性；也可以用檢驗法去定量判斷，對于本文中，由，隨機誤差存在自相關性。因此，模型是不可取的。針對問題三：為了消除隨機誤差存在的自相

2、關性，我們對模型進行優化變換后得到新的模型：，再對此模型用檢驗法進行判定，由于 ，隨機誤差無自相關性，因此，這個模型就可以作為預測公司的銷售額的問題的回歸模型。關鍵詞： 回歸模型 時間序列 擬合 自相關性檢驗一、 問題重述某公司想用全行業的銷售額作為自變量來預測公司的銷售額，附錄I給出了1977-1981年公司銷售額和行業銷售額的分季度數據（單位：百萬元）。（1） 畫出數據的散點圖，觀察用線性回歸模型擬合是否合適。（2） 建立公司銷售額對全行業銷售額的回歸模型，并用DW檢驗診斷隨機誤差項的自相關性。（3） 建立消除了隨機誤差項自相關性后的回歸模型。年季t公司銷售額y行業銷售額x年季t公司銷售額

3、y行業銷售額x19771978197912341234121234567891020.9621.4021.9621.5222.3922.7623.4823.6624.1024.01127.3130.0132.7129.4135.0137.1141.2142.8145.5145.319791980198134123412341112131415161718192024.5424.3025.0025.6426.3626.9827.5227.7828.2428.78148.3146.4150.2153.1157.3160.7164.2165.6168.7171.7表1 某公司的銷售額與全行業的銷售額

4、二、模型假設：公司的第t次季度銷售額：全行業的第t次季度銷售額:模型I中的常量與系數：由模型求得的公司的第t次季度銷售額：公司的第t次季度銷售額的殘差三、模型的建立與分析1. 繪制散點圖利用已知表格（表1）繪制出散點圖，繪制方法及程序見附錄圖1行業銷售額與公司銷售額數據的散點圖根據圖1，可以看出行業銷售額增大，公司銷售額也增大，且具有一定的線性關系，初步判斷應以一次線性曲線為擬合目標，即選擇線性回歸模型，則目標函數為：2. 模型分析 利用Matlab程序求解a，b。程序設計見附錄。得到回歸系數估計值；則擬合的線性回歸模型I為：參數參數估計值置信區間,0.1793=0.99879 F=1488.

5、8 p=0.007擬合系數和的95%的置信區間分別為：-1.9047 -1.0048和1.9047 0.1793r 中的數據表示模型擬合殘差向量；rint中的數據表示模型擬合殘差的95%的置信區間；在states 的數據中表示包含方差分析的F統計量方差分析的顯著性概率模型方差的估計值四、 自相關性診斷與處理從表面上看得到的基本模型I的擬合度非常之高（），應該很滿意了。但是，這個模型并沒有考慮到我們的數據是一個時間序列（即將表1的年份序號打亂，不影響模型I的結果）。實際上，在對時間序列數據做回歸分析時，模型的隨機誤差項有可能存在相關性，違背模型關于（對時間）相互獨立的假設。殘差可以作為隨機誤差的

6、估計值，畫出的散點圖（圖1），能夠從直觀上判斷的自相關性。模型I的殘差可以在計算中得到，如表2，數據的散點圖如圖2，可以看到，大部分點子落在第1,3象限，表明存在正的自相關。為了對的自相關性作定量診斷，并在確診后得到新的結果，我們考慮如下模型：其中，是自相關系數， ，相互獨立且服從均值為零的正態分布，t123456-0.0261-0.06200.02200.16380.04660.0464t7891011120.0436-0.0584-0.0944-0.1491-0.1480-0.0531t131415161718-0.02290.10590.08550.10610.02910.0423t19

7、20-0.0442-0.0330表2模型I的殘差圖2 模型I的散點圖根據模型I得到的殘差計算統計量如下：圖3 與值對應的自相關狀態對于顯著性水平，查D-W分布表，得到檢驗的臨界值和?，F在，由圖2可以認為隨機誤差存在自相關。且正自相關系數的估計值對模型中的變量作變換：；.則模型I化為：；代入數據得到：將式中還原為原始變量得到結果即是模型II：；結果分析：根據模型II得到的殘差計算統計量如下：現在，由圖2可以認為隨機誤差無自相關，從機理上看，對于帶滯后性的經濟規律作用下的時間序列數據，加入自相關的模型II更為合理，而且在本題當中，衡量與實際數據擬合程度的指標剩余標準差從模型I的0.36514減小到

8、0.28329 。我們將模型II、模型I的計算值與實際數據的比較，以及兩個模型的殘差表示在表3中，可以看出模型II更合適一些。表3 模型I、模型II的計算值與殘差五、模型評價與預測 通過對本文的分析，對于數據為時間序列的回歸模型的建立后，必須檢驗隨機誤差是否存在自相關性。如果無自相關性，則可以用此模型進行預測：如果存在自相關性，則必須對模型進行變換，得到新的模型后重復上述步驟，直到無自相關性后，模型才可以進行預測。 用模型II對未來的公司的銷售額進行預測時，需先估計未來的全行業一季度的銷售額比如,設時，容易由模型II得到六、參考文獻1何曉群，劉文卿.應用回歸分析，北京：中國人民大學出版社，20

9、012姜啟源等 編著，數學模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003.83劉勇，白林 著 基于MATLAB的回歸分析模型在經濟預測分析中的應用 成都理工大學七、附錄.由原始數據繪制散點圖在EXCEL中建立輸入數據，并根據數據繪制散點圖，選擇合適的坐標軸。.模型分析在MATLAB中輸入：% 構造資本論觀測值矩陣mx=ones(20,1) ,x;alpha=0.05;% 線性回歸計算b,bint,r,rint,states=regress(y,mx,alpha)輸出結果：b = bint = -1.9047 -1.0048 ； 0.1732 0.1793r = -0.0261-0.06200.

10、0220 0.1638 0.0466 0.0464 0.0436 -0.0584 -0.0944 -0.1491 -0.1480 -0.0531 -0.0229 0.1059 0.0855 0.1061 0.0291 0.0423 -0.0442 -0.0330rint = -0.1954 0.1433 ; -0.2319 0.1078 ; -0.1529 0.1969 ; 0.0132 0.3143 ; -0.1288 0.2220 ; -0.1304 0.2231 ; -0.1352 0.2225 ; -0.2367 0.1198 ; -0.2691 0.0803 ; -0.3136 0.

11、0153 ; -0.3129 0.0169 ; -0.2323 0.1262 ; -0.2037 0.1578 ; -0.0664 0.2781 ; -0.0879 0.2589 ; -0.0621 0.2743 ; -0.1440 0.2023 ; -0.1287 0.2134 ; -0.2116 0.1233 ; -0.1972 0.1311rint = -0.1954 0.1433 ; -0.2319 0.1078 ; -0.1529 0.1969 ; 0.0132 0.3143 ; -0.1288 0.2220 ; -0.1304 0.2231 ; -0.1352 0.2225 ; -0.2367 0.1198 ; -0.2691 0.0803 ; -0.3136 0.0153 ; -0.3129 0.0169 ; -0.2323 0.1262