1、第十二章 微分方程一、會解一階微分方程例1. 若連續(xù)函數(shù)滿足，則等于（A ）（07）(A) ； (B) ；(C) ； (D) 。例2. 微分方程的通解為 （03）例3設(shè)，求微分方程滿足的特解.(02)例4. ; 解 將方程變形為 , 即. 其通解為 , 即原方程的通解為.例5. ; 解 將方程變形為 , 其通解為 , 即原方程的通解為.例6. 設(shè)可導(dǎo)函數(shù)j(x)滿足 , 求j(x). 解 在等式兩邊對x求導(dǎo)得 j¢(x)cos x-j(x)sin x+2j(x)sin x=1, 即 j¢(x)+tan xj(x)=sec x. 這是一個一階線性方程, 其通解為 =cos x

2、(tan x+C)=sin x+Ccos x. 在已知等式中, 令x=0得j(0)=1, 代入通解得C=1. 故j(x)=sin x+cos x .二、可降階微分方程求解例1. 求微分方程 ， ，的特解。(05)解：令，則，代入原方程得 由 得到， 由 由得到于是三、線性微分方程解得結(jié)構(gòu)性質(zhì)練習(xí)例1. 已知y=1、y=x、y=x2是某二階非齊次線性微分方程的三個解, 則該方程的通解為_. 解 容易證明非齊次線性微分方程的任意兩個解的差是對應(yīng)齊次線性微分方程的的解. 因此y1=x-1和y2=x2-1都是對應(yīng)齊次線性微分方程的的解. 顯然y1與y2是線性無關(guān). 所以非齊次線性微分方程的通解為 y=

3、C1(x-1)+C2(x2-1)+1. 四、常系數(shù)齊次線性微分方程求解例1下列各組函數(shù)那組可以組成方程的通解（ B ）； （04）(A)；(B)；(C)；(D)例2. 微分方程的通解是 （02）五、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程求解例1在用待定系數(shù)法確定非齊次線性微分方程的特解時，可以設(shè)特解的形式為 （05）例2.求微分方程滿足初始條件的特解。（07）解：對應(yīng)齊次微分方程的特征方程為： ，故特征根 ，從而齊次微分方程的通解為： 因 不是特征根，故可令非齊次方程特解為： 代入方程解得 ，于是原方程通解為： 代入初始條件得，,所以特解為：例3. 求微分方程的通解.(04）解: 對應(yīng)的齊次方程為, 特

4、征方程 , 解得 齊次方程的通解為 ，設(shè)將代入, 則整理得 解得 即 所以原方程的通解為例4. 求微分方程的通解.(06)解：對應(yīng)齊次微分方程的特征方程為： ，故特征根 ，從而齊次微分方程的通解為： 因 不是特征根，故可令非齊次方程特解為：代入方程解得 ，于是特解為 則原方程通解為：例5.設(shè)函數(shù)連續(xù)，且滿足，求. (03)解 等式兩邊對x求導(dǎo)得 , 再求導(dǎo)得微分方程 j¢¢(x)=ex-j(x), 即j¢¢(x)+j(x)=ex. 微分方程的特征方程為 r2+1=0, 其根為r1, 2=±i, 故對應(yīng)的齊次方程的通解為 j=C1cos x+C2sin x. 易解