1、§1.2常用邏輯用語一、知識導學1邏輯聯結詞：“且”、“或”、 “非”分別用符號“”“”“”表示.2命題：能夠判斷真假的陳述句 3簡單命題：不含邏輯聯結詞的命題4復合命題：由簡單命題和邏輯聯結詞構成的命題，復合命題的基本形式：p或q；p且q；非p5四種命題的構成：原命題：若p則q； 逆命題：若q則p；否命題：若p 則q ；逆否命題：若q 則p.6原命題與逆否命題同真同假，是等價命題，即“若p則q”“若q 則p ” .7反證法：欲證“若p則q”，從“非q”出發(fā)，導出矛盾，從而知“若p則非q”為假，即“若p則q”為真 . 8充分條件與必要條件 ：pq ：p是q的充分條件；q是p的必要條件

2、； pq ：p是q的充要條件 . 9常用的全稱量詞：“對所有的”、“ 對任意一個”“ 對一切”“ 對每一個”“任給”等；并用符號“” 表示.含有全稱量詞的命題叫做全稱命題.10常用的存在量詞：“存在一個”、“至少有一個”、“有些”、“有一個”、 “有的”、“對某個”； 并用符號“”表示.含有存在量詞的命題叫做特稱命題.二、疑難知識導析1基本題型及其方法 （1）由給定的復合命題指出它的形式及其構成；（2）給定兩個簡單命題能寫出它們構成的復合命題，并能利用真值表判斷復合命題的真假；（3）給定命題，能寫出它的逆命題、否命題、逆否命題，并能運用四種命題的相互關系，特別是互為逆否命題的等價性判斷命題的真

3、假.注意：否命題與命題的否定是不同的.（4）判斷兩個命題之間的充分、必要、充要關系； 方法：利用定義（5）證明的充要條件是；方法：分別證明充分性和必要性（6）反證法證題的方法及步驟：反設、歸謬、結論.反證法是通過證明命題的結論的反面不成立而肯定命題的一種數學證明方法，是間接證法之一.注：常見關鍵詞的否定：關鍵詞是都是（全是）（）至少有一個至多有一個任意存在否定不是不都是（全是）（）一個也沒有至少有兩個存在任意2全稱命題與特稱命題的關系：全稱命題p:,它的否定:；特稱命題p:,它的否定:；即全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題.否定一個全稱命題可以通過“舉反例”來說明.三、經典例題

4、導講例1 把命題“全等三角形一定相似”寫成“若p則q”的形式，并寫出它的逆命題、否命題與逆否命題.錯解：原命題可改寫成：若兩個三角形全等，則它們一定相似.逆命題：若兩個三角形相似，則它們全等.否命題：若兩個三角形不一定全等，則它們不一定相似.逆否命題：若兩個三角形不一定相似，則它們不一定全等.錯因：對“一定”的否定把握不準，“一定”的否定 “一定不”，在邏輯知識中求否定相當于求補集，而“不一定”含有“一定”的意思.對這些內容的學習要多與日常生活中的例子作比較，注意結合集合知識.因而否命題與逆否命題錯了.正解：否命題：若兩個三角形不全等，則它們不相似.逆否命題：若兩個三角形不相似，則它們不全等.

5、例2 將下列命題改寫成“若p則q”的形式，并寫出否命題.a>o時，函數y=ax+b的值隨x值的增加而增加.錯解：原命題改為：若a>o時，x的值增加，則函數y=ax+b的值也隨著增加.錯因：如果從字面上分析最簡單的方法是將a>o看作條件，將“隨著”看作結論，而x的值增加，y的值也增加看作研究的對象，那么原命題改為若a>o時，則函數y=ax+b的值隨著x的值增加而增加，其否命題為若ao時，則函數y=ax+b的值不隨x值的增加而增加.此題錯解在注意力集中在“增加”兩個字上，將x值的增加當做條件，又不把a>o看作前提，就變成兩個條件的命題，但寫否命題時又沒按兩個條件的規(guī)則

6、寫，所以就錯了.正解：原命題改為： a>o時，若x的值增加，則函數y=ax+b的值也隨著增加.否命題為： a>o時，若x的值不增加，則函數y=ax+b的值也不增加.原命題也可改為：當x的值增加時，若a>o，則函數y=ax+b的值也隨著增加.否命題為： 當x增加時，若ao，則函數y=ax+b的值不增加.例3 已知h>0，設命題甲為：兩個實數a、b滿足，命題乙為：兩個實數a、b滿足且，那么 A甲是乙的充分但不必要條件 B甲是乙的必要但不充分條件C甲是乙的充要條件 D甲是乙的既不充分也不必要條件錯解：,關鍵詞是都是（全是）（）至少有一個至多有一個任意存在否定不是不都是（全是）

7、（）一個也沒有至少有兩個存在任意2全稱命題與特稱命題的關系：全稱命題p:,它的否定:；特稱命題p:,它的否定:；即全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題.否定一個全稱命題可以通過“舉反例”來說明.三、經典例題導講例1 把命題“全等三角形一定相似”寫成“若p則q”的形式，并寫出它的逆命題、否命題與逆否命題.錯解：原命題可改寫成：若兩個三角形全等，則它們一定相似.逆命題：若兩個三角形相似，則它們全等.否命題：若兩個三角形不一定全等，則它們不一定相似.逆否命題：若兩個三角形不一定相似，則它們不一定全等.錯因：對“一定”的否定把握不準，“一定”的否定 “一定不”，在邏輯知識中求否定相當于求

8、補集，而“不一定”含有“一定”的意思.對這些內容的學習要多與日常生活中的例子作比較，注意結合集合知識.因而否命題與逆否命題錯了.正解：否命題：若兩個三角形不全等，則它們不相似.逆否命題：若兩個三角形不相似，則它們不全等.例2 將下列命題改寫成“若p則q”的形式，并寫出否命題.a>o時，函數y=ax+b的值隨x值的增加而增加.錯解：原命題改為：若a>o時，x的值增加，則函數y=ax+b的值也隨著增加.錯因：如果從字面上分析最簡單的方法是將a>o看作條件，將“隨著”看作結論，而x的值增加，y的值也增加看作研究的對象，那么原命題改為若a>o時，則函數y=ax+b的值隨著x的值

9、增加而增加，其否命題為若ao時，則函數y=ax+b的值不隨x值的增加而增加.此題錯解在注意力集中在“增加”兩個字上，將x值的增加當做條件，又不把a>o看作前提，就變成兩個條件的命題，但寫否命題時又沒按兩個條件的規(guī)則寫，所以就錯了.正解：原命題改為： a>o時，若x的值增加，則函數y=ax+b的值也隨著增加.否命題為： a>o時，若x的值不增加，則函數y=ax+b的值也不增加.原命題也可改為：當x的值增加時，若a>o，則函數y=ax+b的值也隨著增加.否命題為： 當x增加時，若ao，則函數y=ax+b的值不增加.例3 已知h>0，設命題甲為：兩個實數a、b滿足，命題

10、乙為：兩個實數a、b滿足且，那么 A甲是乙的充分但不必要條件 B甲是乙的必要但不充分條件C甲是乙的充要條件 D甲是乙的既不充分也不必要條件錯解：,故本題應選C.錯因：（1）對充分、必要、充要條件的概念分不清，無從判斷，憑猜測產生錯誤；（2）不能運用絕對值不等式性質作正確推理而產生錯誤.正解：因為 所以兩式相減得故即由命題甲成立推出命題乙成立，所以甲是乙的必要條件.由于同理也可得因此，命題甲成立不能確定命題乙一定成立，所以甲不是乙的充分條件，故應選B.例4 已知命題甲：a+b4, 命題乙:a且b，則命題甲是命題乙的 .錯解：由逆否命題與原命題同真同假知，若a=1且b=3則a+b=4成立，所以命題

11、甲是命題乙的充分不必要條件.錯因 ：對命題的否定不正確.a且b的否定是a=1或b=3.正解：當a+b4時,可選取a=1,b=5，故此時a且b不成立(a=1).同樣，a,且b時，可選取a=2,b=2,a+b=4，故此時a+b=4.因此，甲是乙的既不充分也不必要條件.注：a且b為真時，必須a,b同時成立.例5 已知p是r的充分不必要條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，那么p是q成立的 ( )A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件分析：本題考查簡易邏輯知識.因為prsq但r成立不能推出p成立，所以,但q成立不能推出p成立，所以選A解：選A 例6 已知關于x的一元二次方

12、程 (mZ) mx24x40 x24mx4m24m50 求方程和都有整數解的充要條件.解：方程有實根的充要條件是解得m1.方程有實根的充要條件是，解得故m=1或m=0或m=1. 當m=1時，方程無整數解.當m=0時，無整數解；當m=1時，都有整數.從而都有整數解m=1.反之，m=1都有整數解.都有整數解的充要條件是m=1.例7 用反證法證明：若、，且，則、中至少有一個不小于0證明： 假設、均小于0，即： - ； - ； -； +得， 這與矛盾， 則假設不成立， 、中至少有一個不小于0 例8 已知命題p:方程x2mx1=0有兩個不等的負根；命題q:方程4x24(m2)x10無實根若“p或q”為真

13、，“p且q”為假，求m的取值范圍分析：“p或q”為真，則命題p、q至少有一個為真，“p且q”為假，則命題p、q至少有一為假，因此，兩命題p、q應一真一假，即命題p為真，命題q為假或命題p為假，命題q為真.解： 若方程x2mx1=0有兩不等的負根，則解得m2，即命題p：m2若方程4x24(m2)x10無實根，則16(m2)21616(m24m3)0解得：1m3.即q：1m3.因“p或q”為真，所以p、q至少有一為真，又“p且q”為假，所以命題p、q至少有一為假，因此，命題p、q應一真一假，即命題p為真，命題q為假或命題p為假，命題q為真.解得：m3或1m2.四、典型習題導練1方程至少有一個負根，

14、則（ ）A. 或 B. C. D.2“”是“或”的（ ） A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3三個數不全為0的充要條件是（）A.都不是0.B.中至多一個是0.C.中只有一個是0.D.中至少一個不是0.4由命題p:6是12的約數，q:6是24的約數，構成的“p或q”形式的命題是：_ _，“p且q”形式的命題是_ _，“非p”形式的命題是_ _.5若，試從A. B. C. D. E. F. 中，選出適合下列條件者，用代號填空：（1）使都為0的充分條件是 ；（2）使都不為0的充分條件是 ；（3）使中至少有一個為0的充要條件是 ；（4）使中至少有一個不為0的充要條件是 6分別指出由下列各組命題構成的邏輯關聯詞“或”、“且”、“非”