1、雙曲線-專項復習【1、基本知識點】雙曲線的第一定義：雙曲線的第二定義：注意點：（1）雙曲線定義中，“距離的差”一定要加絕對值，否則只表示雙曲線的一支。 （2）定義中的小于這一限制條件標準方程：【2、幾何性質】【 3、弦長公式】1、若直線與圓錐曲線相交于兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標，則，若分別為A、B的縱坐標，則。2、通徑的定義：過焦點且垂直于實軸的直線與雙曲線相交于A、B兩點，則弦長。3、若弦AB所在直線方程設為，則。4、特別地，焦點弦的弦長的計算是將焦點弦轉化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解【4、常見雙曲線題型】題型一雙曲線定義的應用1、如圖所示，在ABC中，已知|AB|=4，且三

2、內角A、B、C滿足2sinA+sinC=2sinB，建立適當的坐標系，求頂點C的軌跡方程解：如圖所示，以AB邊所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，則A(2,0)、B(2 , 0 )由正弦定理得sinA = ，sinB =，sinC =.2sinA+sinC=2sinB，2a+c=2b，即ba=.從而有|CA| |CB|=|AB|=2<|AB|.由雙曲線的定義知，點C的軌跡為雙曲線的右支 a=，c=2，b2= c2 a2 = 6.所以頂點C的軌跡方程為 (x>)【反思感悟】使用雙曲線的定義時易漏掉“差的絕對值”，即|PF1|PF2|=2a，而|PF1|-|PF2

3、|=2a表示一支2、P是雙曲線1上一點，F1、F2是雙曲線的兩個焦點，且|PF1|9，求|PF2|的值解在雙曲線1中，a4，b2.故c6.由P是雙曲線上一點，得|PF1|PF2|8.|PF2|1或|PF2|17.又|PF2|ca2，得|PF2|17.3、 已知雙曲線的左右焦點分別是、，若雙曲線上一點P使得,求的面積。題型二由方程研究幾何性質4、求雙曲線9y216x2144的實半軸長、虛半軸長、焦點坐標、離心率和漸近線方程解把方程9y216x2144化為標準方程1. 由此可知，實半軸長a4，虛半軸長b3； c5， 焦點坐標是(0，5)，(0,5)；離心率e； 漸近線方程為y±x.【反思

4、感悟】求雙曲線的幾何性質可先將雙曲線方程化為標準形式1 (或1)，再根據它確定a，b的值，進而求出c.5若方程1表示雙曲線，則實數k的取值范圍是()Ak<2，或2<k<5 B2<k<5 Ck<2，或k>5 D2<k<2，或k>5解析由題意知：(|k|2)(5k)<0，即或解得：k>5，或2<k<2.故選D.題型三由幾何性質求雙曲線的標準方程6、設雙曲線與橢圓1有相同的焦點，且與橢圓相交，一個交點A的縱坐標為4，求此雙曲線的標準方程解方法一設雙曲線的標準方程為1(a>0，b>0)，由題意知c23627

5、9，c3.又點A的縱坐標為4，則橫坐標為±，于是有解得所以雙曲線的標準方程為1.方法二將點A的縱坐標代入橢圓方程得A(±，4)，又兩焦點分別為F1(0,3)，F2(0，3)所以2a|4，即a2，b2c2a2945，所以雙曲線的標準方程為1.方法三若考慮到雙曲線與橢圓有相同的焦點，則可設雙曲線為1(27<<36)，再將點A(±，4)代入求，進而求方程，不過這種解題方法有一定的技巧性7、求實軸長為4且過點A(2，5)的雙曲線的標準方程解析由題意知2a4，a220， 若雙曲線焦點在x軸上，則可設方程為1，代入點A(2，5)，得：1，即，矛盾因此設雙曲線的方程

6、為1.代入A(2，5)，得：1，b216.8雙曲線與橢圓1有相同的焦點，它的一條漸近線為yx，則雙曲線方程為()Ax2y296 By2x2160 Cx2y280 Dy2x224答案D解析由題意知雙曲線的焦點為(0，±4)，即c248，又因一條漸近線方程為yx.所以1.即ab，482a2，a2b224.故選D.9、(重慶高考)已知雙曲線1 (a>0，b>0)的一條漸近線為ykx (k>0)，離心率ek，則雙曲線方程為()A.1 B.1 C.1 D.1解析雙曲線的漸近線方程可表示為y±x，由已知可得k.又離心率ek，所以k.即，故a2b. 答案C10、已知雙曲

7、線1(a>0，b>0)的兩條漸近線方程為y±x，若頂點到漸近線的距離為1，則雙曲線方程為_解析雙曲線頂點為(a,0)，漸近線為xy0， 1，a2.又，b， 雙曲線方程為y21.題型四求雙曲線的離心率11、已知雙曲線的漸近線方程為y±x，則雙曲線的離心率為_；12、設雙曲線1(b>a>0)的半焦距為c，直線l過(a,0)、(0，b)兩點已知原點到直線l的距離為c，則雙曲線的離心率為_解析(1)當焦點在x軸上時，其漸近線方程為y±x，依題意，e21， e；當焦點在y軸上時，其漸近線方程為y±x，依題意，e21， e.(2)直線l的方程

8、為1，即bxayab0. 于是有c，即abc2.兩邊平方得16a2b23c4，16a2(c2a2)3c4. 即3c416a2c216a40，3e416e2160.解得e24，或e2， b>a>0，>1， e21>2，故e24，e2.答案(1)或(2)213、(全國高考)設a>1，則雙曲線1的離心率e的取值范圍是()A(，2) B(，) C(2,5) D(2，)解析雙曲線方程為1， c.e. 又a>1，0<<1.1<1<2. 1<2<4.<e<. 答案B題型五直線與雙曲線14、直線l在雙曲線1上截得的弦長為4，其

9、斜率為2，求直線l在y軸上的截距m.解設直線l的方程為y2xm，由得10x212mx3(m22)0.設直線l與雙曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，由韋達定理，得x1x2m，x1x2(m22)又y12x1m，y22x2m，y1y22(x1x2)， |AB|2(x1x2)2(y1y2)25(x1x2)2 5(x1x2)24x1x25m24×(m22)|AB|4，m26(m22)16. 3m270，m±. 直線l在y軸上的截距為±.題型六直線與雙曲線的位置關系16、已知雙曲線x2y24，直線l：yk(x1)，試討論實數k的取值范圍(1)直線l與雙曲線有兩個

10、公共點；(2)直線l與雙曲線有且只有一個公共點；(3)直線l與雙曲線沒有公共點解由消去y，得(1k2)x22k2xk240(*)(1)當1k20，即k±1，直線l與雙曲線漸近線平行，方程化為2x5，故此方程(*)只有一個實數解，即直線與雙曲線相交，且只有一個公共點(2)當1k20，即k±1時，(2k2)24(1k2)(k24)4(43k2)即k，且k±1時，方程(*)有兩個不同的實數解，即直線與雙曲線有兩個公共點即k±時，方程(*)有兩個相同的實數解，即直線與雙曲線有兩重合的公共點即k或k時，方程(*)無實數解，即直線與雙曲線無公共點綜上所述，當k1或1k1或1k時，直線與雙曲線有兩個公共點當k±1或k±時，直線與雙曲線有且只有一個公共點當k或k時，直線與雙曲線沒有公共點【反思感悟】討論直線和雙曲線的公共點的個數問題，常常歸結為討論含參數的一元二次方程在特定區間內是否存在實根或討論實根的個數問題，但要注意轉化的等價性17、過雙曲線x21的右焦點F作直線l交雙曲線于A、B兩點，若|AB|4，這樣的直線有()A1條B2條 C3條 D4條解析右焦點坐標為(，0)，把x代入雙曲線方程得：y±2，即當直線過右焦點垂直于x軸時，l與雙曲線交的弦長|AB|4，當l與x軸重合時，|AB|2.由數形結合知，還存在兩條