1、【精品文檔】如有侵權，請聯系網站刪除，僅供學習與交流淺談向量在中學幾何中的應用.精品文檔.淺談向量在中學幾何中的應用摘要：向量是新教材中的新增內容，以向量為載體的解中學幾何問題是新課程高考中出現的新趨勢，本文就有關向量在中學幾何中的應用談談自己的看法。關鍵詞：向量；向量的模；向量的加法和減法；向量與解析幾何；向量與立體幾何一.平面向量在解析幾何中的應用 1.向量坐標與點的坐標向量坐標與點的坐標是不同的，設，則，但當向量是以坐標原點為起點時，向量坐標就是點的坐標，即.例1（01天津）設坐標原點為O，拋物線與過焦點的直線交于A、B兩點，則解：設、，則， ，又拋物線的焦點為，可設直線AB方

2、程為代入得，故。2.利用向量的數量積求夾角由可知,向量的數量積在解決與長度、角度有關的問題時非常有效.例2（04全國）給定拋物線C：y2=4x，F是C的焦點，過點F的直線與C相交于AB兩點，設的斜率為1，求與的夾角的大??；解：拋物線的焦點為F（1，0），直線的斜率為1，所以的方程為將，代入方程，并整理得 設，則有， 夾角的大小為3.利用處理解析幾何中有關垂直的問題例3（04重慶）設是一常數，過點的直線與拋物線交于相異兩點A、B，以線段AB為直經作圓H（H為圓心）.試證拋物線頂點在圓H的圓周上；并求圓H的面積最小時直線AB的方程.分析: 證拋物線頂點在圓H的圓周上,即證,即證解：由題意，直線不能

3、是水平線，故可設直線方程為：.設，則其坐標滿足消去可得 ，則 因此，故O必在圓H的圓周上.又由題意圓心H是AB的中點，故由前已證，OH應是圓H的半徑，且.從而當a=0時，圓H的半徑最小，亦使圓H的面積最小.xBACyO例4（04安徽 春季）如圖（1）,A、B、C是長軸為4的橢圓上的三點，點A是長軸的一個端點，BC過橢圓的中心，求橢圓的方程.解:建立如圖（1）的直角坐標系,則,設橢圓方程為,點C的坐標為,則點B的坐標為.即, 圖 （1） ,即, 將m=1代入,得n=1,代入橢圓方程得, , 故所求的橢圓方程為4.利用平行向量的等量關系式得到點坐標之間的關系例5（04全國）設雙曲線C：，相交于兩個

4、不同的點A、B，設直線l與y軸的交點為P，且求的值.分析:設A、B兩點的坐標，由就得到了A、B兩點坐標的等量關系，再利用韋達定理，通過解方程組得的值。解：由雙曲線與直線相交于兩個不同的點，故知方程組 有兩個不同的實數解,消去y并整理得：設由于都是方程的根，且, 例6（04江蘇）已知橢圓的中心在原點，離心率為 ，一個焦點是F（-m,0）(m是大于0的常數).()求橢圓的方程； ()設Q是橢圓上的一點，且過點F、Q的直線與y軸交于點M. 若，求直線的斜率. 解：（I）設所求橢圓方程是 由已知，得 所以. 故所求的橢圓方程是 （II）設Q，直線當 ，則，得， ， 同理得，于是，故直線的斜率是0，.5

5、從直線的方向向量中得到直線的斜率在直線上任取兩點，則為直線的方向向量，當時，而k即為直線的斜率.例7（03 全國）已知常數>0，向量=（0，）， =（1，0），經過原點O以 +為方向向量的直線與經過定點A（0，）以2為方向向量的直線相交于點P，其中R.試問：是否存在兩個定點E、F，使得|PE|+|PF|為定值.若存在，求出E、F的坐標；若不存在，說明理由.分析：本題的關鍵是從直線的方向向量中求得過點P的兩條直線方程，用交軌法求得點P的軌跡方程,據此再判斷是否存在兩定點，使得點P到兩定點距離的和為定值.解：=（1，0），=（0，）， ，,因此，直線OP和AP的方程分別為和,消去參數，得點的

6、坐標滿足方程,整理得 因為所以得： （i）當時，方程是圓的方程，故不存在合乎題意的定點E和F； （ii）當時，方程表示橢圓，焦點和為合乎題意的兩個定點； （iii）當時，方程也表示橢圓，焦點和為合乎題意的兩個定點. 向量與解析幾何的融合充分體現了數學中的數形結合思想,解決這類問題的關鍵是利用向量的坐標表示,將問題中的形轉化為數的關系,是解析幾何新的解題思想. 二.空間向量與立體幾何用傳統的綜合推理法解立體幾何問題往往需要較強的空間想象力，在解決角度、距離問題時技巧性較強，一旦思路受阻就只能放棄，新課程增加的空間向量利用代數的方法，為解決這些問題提供了通用方法。其顯著優點是減弱了推理論證的成份，

7、用計算來代替論證，其缺點是計算量加大。如果在解決問題的過程中推理論證與向量運算綜合運用，則不失為一種好辦法！方式的選擇 用向量解題有兩種方式可供選擇，一種是直接用向量代數式運算，一種是向量的坐標運算。一般來說，用向量的坐標運算，思維及運算技巧更容易掌握，因而我們盡可能采用坐標運算方式。坐標運算方式的弱點是要精確的寫出各個點的坐標，準確無誤地寫出相關向量的坐標，坐標一錯則全盤皆錯，另外，有些情況下可能并不是很方便建立直角坐標系，此時不妨考慮用代數式運算，只是運算技巧相對要強一些。1. 代數式運算方式 用代數式運算方式的要點是在空間圖形中選擇一組合適的基底，一般選其起點的三個不共面的向量構成基底，

8、這樣圖形中任何其他向量總可以用這一組基來表示，把相關向量表示出來以后，就可用向量內積運算來討論向量所成的角，特別是通過內積為零來證明線線垂直，用向量共線來說明線線平行等等。例8.證明：若四面體的兩對對棱垂直，則第三對對棱也垂直。 已知：四面體中求證：證明:選取從點出發的三條棱的方向向量構成一組基底，令向量，兩式相減得： 圖（2） 所以 即有命題得證。 例9.已知邊長為的正三角形的中線與中位線相交于點，將此三角形沿折成二面角，(1)求平面平面；(2)當二面角為多大時，異面直線與互相垂直？ 解:（1）因為DE為中位線，所以=。 圖（3）又G為DE中點，所以而所以DE平面，又平面經過，所以平面平面（

9、）選取以作為始點的三個向量構成一組基底，則令得因為所以角即二面角的大小。例10.是二面角棱上的一點，分別在平面上引射線如果那么二面角的大小為_解:在上取作向量并設其模長為，在上取作向量，使其模長為分別過作垂直于于點，則所成的角即二面角 的平面角。 圖（4）所以二面角的大小為。評析：此題和前兩題比較起來說，似乎沒有明確選擇基底，實際上是以點為始點的三個向量作為基向量了。2. 向量坐標運算方式用向量坐標運算方式，(1).建立空間直角坐標系，注意盡可能利用已經存在的過同一個點的兩兩垂直的三線，如果沒有三線垂直，也可找兩線垂直，然后作出第三線和兩線垂直。一般軸應是右手系空間直角坐標系。事實上坐標系是右

10、手系還是左手系不是問題的關鍵，重要的是所寫的點的坐標須與所建立的坐標系相一致。(2).寫出需要用到的點的坐標。此步一定要仔細，不能有一點的差錯。(3).寫出所要用到的向量。特別注意是用終點坐標減去起點坐標！(4).通過計算解決具體問題；1).求異面直線所成的角設異面直線和的方向向量分別為、，兩直線所成的角設為，則有，注意異面直線所成角的范圍，所以分子對內積取絕對值。2).證直線和平面平行要證直線和平面平行，一種方法是看平面上是否有和向量共線的向量，若在平面上，且有，只須交待直線不在平面上，即可判定，第二種方法是求出平面的法向量，如果，即，即可判定/平面。（圖5） A B B n n 圖（5）

11、圖（6）3). 證直線和平面垂直要證直線和平面垂直，只須求出平面的法向量，然后判定是否等于，即它們是否共線，若共線則說明平面。（圖6）4). 證二平面平行要證平面平面，求出兩平面的法向量，若，則.（圖7） n m 圖（7） 圖（8）5).證二平面垂直要證平面平面，求出兩平面的法向量，若，則。（圖8）6).求斜線與平面所成的角求斜線與平面所成角，先求出平面的法向量，設線面角為，則有注意平面的法向量與所成的角與線面角之間的關系是,或者是（如圖9），不論是哪種情況，兩向量夾角的余弦的絕對值總是線面角的正弦（線面角的范圍是）。 7). 求二面角的平面角求二面角的平面角，只需 求出兩個半平面的法向量，則

12、有 圖（9）設二面角的平面角為，則與的關系是相等還是互補，至于具體到一個題目中它們是相等還是互補，取決于法向量的方向，一種相對準確的判定方式圖示如下（圖10）： 當兩個平面處于重合時，讓其法向量方向一致，則當繞交線旋轉時，其法向量隨之一起旋轉，此時不論二面角是多大，總與之相等。 圖（10-1） 圖（10-2） 圖（10-3）8). 求點面距及線面距 點面距與線面距總是可以相互轉化的，如圖（11）求直線到平面的距離，也就是求點到平面的距離，它是在求斜線段與平面所成的線面角的基礎上進行的，利用6）中的方法求出了，即可得： 圖（11）9).求異面直線間的距離兩異面直線與之間的距離最終也要轉化為線面距

13、，過作的平行平面，則到平面距離即兩異面直線間的距離，進一步可轉化為點面距來求解，方法如8）所示。 實際求解時，平面是不用作出的，因 圖（12）為如圖12所示，只要向量能夠表示出來，則平面的法向量可通過解出，也可理解為兩異面直線公垂線的方向向量，知道了，在兩異面直線上分別選一點構成線段，即平面的斜線段（如），它與平面的線面角的正弦，即所以兩直線間的距離為3.平面的法向量的求法在以上的解法中，求平面的法向量是關鍵，在高中階段只能用解方程的方式來求法向量。首先設平面的法向量為，在平面上任找兩個不共線且已知坐標的向量如。建立方程組解出即可，如果方程無解，說明法向量的豎坐標不可能為1，此時只需將所設法向量坐標中的豎坐標由1改為，相應地將改為1，再解方程。例11.如圖13，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，側棱分別是與的中點，點在平面上的射影是的重心，（1）求與面所成的角的大小，（2）求點到平面的距離。解：（1）建立如圖(13)所示空間直角坐標系，設底面的腰，則各點的坐標為:，為中點，利用中點公式可求得，在底面上的射影為，而為的重心，利用重心公式可得。所以設平面ABD的法向量為則有方程即，解得 圖（13），即。設與平面所成角為，則有又點為在平面上的射影，由解得，代入上式得，即與平面所成角為。（2）平面的法向