1、3.3.2簡單的線性規劃問題第1課時線性規劃的有關概念及圖解法【學習目標】1.了解線性規劃的意義.2.理解約束條件、目標函數、可行解、可行域、最優解等基本概念.3.掌握線性規劃問題的圖解法，并能應用它解決一些簡單的實際問題問題導學預可新知夯實基礎0, y0.該不等式組所表示的平面區域如圖陰影部分所示，求2x+3y的最大值.以此為例，嘗試通過下列問題理解有關概念.知識點一線性約束條件及目標函數1 .在上述問題中，不等式組是一組對變量x, y的約束條件，這組約束條件都是關于x, y的二次不等式，故又稱線性約束條件2 .在上述問題中，是要研究白目標，稱為目標函數.因為它是關于變量 x, y的二次解析

2、式，這樣的目標函數稱為線性目標函數 .知識點二線性規劃問題一般地，在線性約束條件下求線性目標函數的最大值或最小值問題，統稱為線性規劃問題.知識點三可行解、可行域和最優解滿足線性約束條件的解（x, y）叫做可行解.由所有可行解組成的集合叫做可行域.其中，使目標函數取得最大值或最小值的可行解叫做線性規劃問題的最優解.在上述問題的圖中，陰影部分叫可行域,陰影區域中的每一個點對應的坐標都是一個可行解，其中能使式取最大值的可 行解稱為最優解.思考辨析判斷正謾1 .可行域內每一個點都滿足約束條件.(，)2 .可行解有無限多個，最優解只有一個.(X)3 .不等式Ax+ By+ C0表示的平面區域一定在直線A

3、x+ By+ C= 0的上方.(X )題型探究類型一最優解問題命題角度1問題存在唯一最優解,x+2y 8,4xw 16,例1已知x, y滿足約束條件4 4y 0, y0,該不等式組所表示的平面區域如圖陰影部分所示，求考點線性目標最優解題點求線性目標函數的最值解設區域內任一點 P(x, y), z=2x+3y,則 y=-|x+ f, 33啟迪思維探究重點2x+3y的最大值.這是斜率為一2,在y軸上的截距為Z的直線，如圖尸$工+配一H=033由圖可以看出，2 zz 一當直線y=；經過直線x=4與直線x+2y8=0的交點M(4,2)時，截距；的值最大,3 33此時 2x+3y= 14.反思與感悟圖解

4、法是解決線性規劃問題的有效方法，基本步驟(1)確定線性約束條件，線性目標函數;(2)作圖畫出可行域；(3)平移一一平移目標函數對應的直線z= ax+by,看它經過哪個點(或哪些點)時最先接觸可行域或最后離開可行域，確定最優解所對應的點的位置；(4)求值一一解有關的方程組求出最優解的坐標，再代入目標函數，求出目標函數的最值.跟蹤訓練1 已知1Wx+ y 5, - 1 x-y 3,求2x 3y的取值范圍.考點線性目標最優解題點求線性目標函數的最值1Wx+yW5,解作出二元一次不等式組5所表示的平面區域(如圖陰影部分所示)即為可行一 1 w x y w 3域.設 z=2x 3y,變形得 y = 一拉

5、是直線在y軸上的截距， 當直線截距最大時，z的值最小，由圖可知，當直線z= 2x 3y經過可行域上的點 A時，截距最大,即z最小.x y= - 1,解方程組5得A點坐標為(2,3),x+ y= 5,zmin = 2x- 3y=2X 2-3X 3=- 5.當直線z= 2x- 3y經過可行域上的點 B時，截距最小,即z最大.x-1z, 33則得到斜率為2,且隨z變化的一組平行直線. 3x- y= 3,解方程組f得B點坐標為（2, 1）.|x+y= 1,Zmax= 2x 3y= 2X2-3X（-1）=7.-52x- 3y0,例2已知x, y滿足約束條件$x+ y0, y=ax+ z與x+y=2重合時

6、，最優解有無數個，此時a=1;當a0, y=ax+z與x y=0重合時，最優解有無數個，此時 a=1.綜上，a= 1或a= 1.反思與感悟當目標函數取最優解時，如果目標函數與平面區域的一段邊界（實線）重合，則此邊界上所有點均為最優解.跟蹤訓練2給出平面可行域（如圖陰影部分所示），若使目標函數z=ax+y取最大值的最優 解有無窮多個，則 a等于（）A.1 B.3 C.4 D.5 453 考點線性規劃中的參數問題題點無數個最優解問題答案 B 一, _5-2解析 由題息知，當直線y=ax+z與直線AC重合時，取優解有無否多個，則a=16-3,即a = 5,故選B. 55類型二生活中的線性規劃問題例3

7、營養專家指出，成人良好的日常飲食應該至少提供0.075 kg的碳水化合物，0.06 kg的蛋白質，0.06 kg的脂肪.1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物，0.07 kg蛋白質，0.14 kg脂肪， 花費28元；而1 kg食物B含有0.105 kg碳水化合物，0.14 kg蛋白質，0.07 kg脂肪，花費21元.為了滿足營養專家指出的日常飲食要求，同時使花費最低，需要同時食用食物A和食物B各多少kg?將已知數據列成下表：食物/kg碳水化合物/kg蛋白質/kg脂肪/kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07考點實際生活中的線性規劃問題題點線性規劃在實際問題中的應用解

8、設每天食用x kg食物A, y kg食物B,總成本為z,0.075,7x+ 7y5?I 0.07x+0.14y0.06,I 7x+ 14yA6,則 0.14x+0.07y0.06,即14x+7y6,| xR0，x0,y0,y 0.目標函數為 z=28x+ 21y.作出二元一次不等式組所表示的平面區域，如圖陰影部分所示,2a莘+2卜=022 久久777*把目標函數z=28x+ 21y變形為y= 4x+看， 32 1、一，4 八 它表示斜率為-3,且隨z變化的一族平行直線，3看是直線在y軸上的截距，當截距最小時，z的值最小.由圖可知，當直線 z= 28x + 21y經過可行域上的點 M時，截距最小

9、，即 z最小.7x+ 7y=5,1 4解方程組得M點的坐標為,-.:1 A kg,|14x+7y=6,7 7所以為了滿足營養專家指出的日常飲食要求，同時使花費最低，需要同時食用食物 人，4食物B7 kg.反思與感悟 （1）目標函數z=ax+by（bw0）在y軸上的截距z是關于z的正比例函數，其單調 b性取決于b的正負.當b0時，截距b越大，z就越大；當b0時，截距:越小，z就越大.（2）求解的最優解，和目標函數與邊界函數的斜率大小有關跟蹤訓練3某廠擬用集裝箱托運甲、乙兩種貨物，集裝箱的體積、重量、可獲利潤和托運能力等限制數據列在下表中，那么為了獲得最大利潤，甲、乙兩種貨物應各托運的箱數為貨物體

10、積（m3/箱）（50 kg/箱）利潤（白兀/箱）甲5220乙4510托運限制2413考點 生活實際中的線性規劃問題題點線性規劃在實際問題中的應用答案 4,1解析 設甲、乙兩種貨物應各托運的箱數為x, y,則5 5x+ 4y24,2x+ 5y 0, xC N ,Il y0, ye N.目標函數z= 20x+ 10y,畫出可行域如圖陰影部分所示2x+ 5y= 13,由 S得 A（4,1）.5x+ 4y= 24,易知當直線z=20x+ 10y平移經過點 A時，z取得最大值，即甲、乙兩種貨物應各托運的箱數分另I為4和1時，可獲得最大利潤.檢測評餅達標過美達標檢測-2x,1 .若變量x, y滿足約束條件

11、ix+ y 1,A. 一 5 B.0 C.5 D.5 232考點線性目標最優解題點求線性目標函數的最值答案 C解析 畫出可行域如圖陰影部分（含邊界）所示.1 111.設z=x+2y,即y=2x+2z,平仃移動直線 y= - 2x+2z,當直線y=-2x+ 2過點B，3十寸，z取最大值5,所以（x+2y）max=5.卜+ y3,2 .設變量x, y滿足約束條件ix- y- 1, 則目標函數z=2x+3y的最小值為（）,2x-y 3,A.6 B.7 C.8 D.23考點線性目標最優解題點求線性目標函數的最值答案 B解析作出可行域如圖陰影部分（含邊界）所示.由圖可知，z= 2x+ 3y經過點A（2,

12、1）時，z有最小值，z的最小值為7.3 .在如圖所示的坐標平面的可行域內（陰影部分且包括邊界），目標函數z=x+ ay取得最小值的最優解有無數個，則 a的值為（）04,2)A. 3 B.3 C.1 D.1考點線性規劃中的參數問題題點無數個最優解問題答案 A1 2 一 11解析 一=，a=- 3.a 413，x+ 2yA 2,4.設變量x, y滿足約束條件i2x+y 一 1,A. ?3，6B，3，t-c 31C. 1,6D. 6, - 1考點線性目標最優解題點求目標函數的取值范圍答案 A解析 作出不等式表示的平面區域，如圖陰影部分（含邊界）所示，T/x+2y-2=li /由z=3x y,可得y=

13、3x z,則一z為直線y= 3x- z在y軸上的截距，r_截距越大，z越小，結合圖形可知，當直線y=3xz平移到B時，z最 軟二葉】印1以+1小1 一3 _3 一一小，平移到 C 時，z 取大，可得 Bq, 3 I, zmin= - 2 , C（2,0） , zmax= 6, - 一 齊占 6.5.給出平面區域如圖陰影部分所示，若使目標函數 多個，則a的值為.z=ax+ y（a0）取得最大值的最優解有無窮.十二次L】）0x考點線性規劃中的參數問題題點無數個最優解問題答案35解析 將z= ax+y變形，得 y=ax+z.當它與直線AC重合時，z取最大值的點有無窮多個.kAc= 工，_a=_? 即

14、 a = 7. 555L規律與方法-i.用圖解法解決簡單的線性規劃問題的基本步驟（i）尋找線性約束條件，線性目標函數；（2）作圖一一畫出約束條件（不等式組）所確定的平面區域和目標函數所表示的平行直線系中的任意一條直線1;（3）平移一一將直線1平行移動，以確定最優解所對應的點的位置；（4）求值一一解有關的方程組求出最優解的坐標，再代入目標函數，求出目標函數的最值 .2 .作不等式組表示的可行域時，注意標出相應的直線方程，還要給可行域的各頂點標上字母，平移直線時，要注意線性目標函數的斜率與可行域中邊界直線的斜率進行比較，確定最優解.3 .在解決與線性規劃相關的問題時，首先考慮目標函數的幾何意義，利

15、用數形結合方法可迅速解決相關問題.注重雙基強化落實課時對點練、選擇題1 .若點（x, y）位于曲線y=岡與y= 2所圍成的封閉區域內，則 2xy的最小值為（）A. 6 B. 2 C.0 D.2考點線性目標最優解題點求線性目標函數的最值答案 A解析 如圖，曲線y=|x|與y=2所圍成的封閉區域如圖中陰影部分（含邊界）所示，令z= 2x-y,則y=2x z,作直線y= 2x,在封閉區域內平行移動直線y=2x,當經過點 A（2,2）時，z取得最小值，此時 z= 2X（-2）-2=- 6.x+ 3y- 30,2 .若變量x, y滿足約束條件i2x-y-30,A.9 B. C.1D.：7715考點線性目

16、標最優解題點求線性目標函數的最值答案 A解析 畫出可行域如圖陰影部分（含邊界）所示，令 z=x+y,則 y=x+z.當直線y=x+z過點A時，z最大.2x-y-3=0, I ;x- y+ 1 = 0,得 A（4,5）,，zmax=4+5 = 9.0,3.設變量x, y滿足約束條件ix-y-20, 則目標函數z=y2x的最小值為（）ty-30,4 .設變量x, y滿足約束條件,x 5y+10W0,則目標函數z= 3x4y的最大值和最小值分、x+ y 8 w 0,別為()A.3 , - 11B.-3, - 11C.11, - 3D.11,3考點線性目標最優解題點求線性目標函數的最值答案 A解析 作

17、出可行域如圖陰影部分(含邊界)所示，由圖可知z= 3x 4y經過點A時，z有最小值，經過點 B時，z有最大值.易求得A(3,5), B(5,3).Zmax= 3X54X3=3, Zmin=3X3 4X 5= 11.X1 ,5 .已知a0, x, y滿足約束條件，x+yW3, 若z= 2x+y的最小值為1,則a等于(),ya(x-3),11 八A.4 B.2 C.1D.2考點線性規劃中的參數問題題點 線性規劃中的參數問題答案 B解析 作出不等式組表示的可行域，如圖陰影部分（含邊界）所示.易知直線z= 2x+y過交點B時，z取最小值，x= 1,x=1,由f得fy=a（x3 ）y=- 2a,1 zm

18、in = 2 2a = 1,斛佝 a = 2,故選 B.X 1,6 .已知，x y+ 1 0,若z= ax+y的最小值是2,則a的值為（）2xy2W0,A.1B.2 C.3 D.4考點線性規劃中的參數問題題點 線性規劃中的參數問題答案 B解析 作出可行域，如圖中陰影部分所示，又2=2乂+ y的最小值為2,若a2,則（1,0）為最優解，解得a=2;若a - 2,則（3,4）為最優解，解得a=-2,舍去，故a=2.3（ 0xV2,7 .已知平面直角坐標系 xOy上的區域D由不等式組y y2,確定.若M（x, y）為D上xW V2y的動點，點A的坐標為（2, 1）,則z=OM oA的最大值為（）A.

19、3 B.4 C.3 2 D.4 2考點線性目標最優解題點求線性目標函數的最值答案 B解析由線性約束條件0WxW 也yW2,x12,10 .在線性約束條件 僅+yWIO, 下，z= 2xy的最小值是 ,3x+ y12考點線性目標最優解題點求線性目標函數的最值答案 7p+ 3y12,解析 如圖作出線性約束條件 x x+ yW10,下的可行域，包含邊界Ux+y12H 2x-y=o三條直線中x+3y=12與3x+y=12交于點A(3,3),x+y=10 與 x+3y=12 交于點 B(9,1),x+y=10 與 3x+ y=12 交于點 C(1,9),作一族與直線 2x- y= 0平行的直線l: 2x

20、- y= z.即y=2x-z,然后平行移動直線l,直線l在y軸上的截距為一z,當l經過點C時，一z取最大值，此時z最小，即zmin=2X 1-9=- 7.11 .某公司租賃甲、乙兩種設備生產A, B兩類產品，甲種設備每天能生產 A類產品5件和B類產品10件，乙種設備每天能生產 A類產品6件和B類產品20件.已知設備甲每天的租賃費 為200元，設備乙每天的租賃費為300元，現該公司至少要生產 A類產品50件，B類產品140件，則所需租賃費最少為 元.考點 生活實際中的線性規劃問題題點線性規劃在實際問題中的應用答案 2 300解析 設需租賃甲種設備 x臺，乙種設備y臺,5x+ 6y 50, 10x

21、+ 20yA 140, x N , yC N.目標函數為 z=200x+300y.作出其可行域（圖略），易知當x= 4, y=5時，z= 200x+300y有最小值2 300.三、解答題12x+ y4,12.設 x,求z = x+ y的取值范圍y 滿足 ix y 1, lx- 2y 2,考點線性目標最優解題點求線性目標函數的最值解 作出約束條件表示的可行域，如圖所示,z= x+ y表示直線 y = x+ z過可行域時，在 y軸上的截距，當目標函數平移至過可行域內的A點時，z有最小值.2x+ y= 4,聯立f解得A(2,0).x- 2y= 2,Zmin = 2, z 無最大值. x+yC 2 , +8).13.某運輸公司接受了向抗洪救災地區每天送至少180 t支援物資的任務.該公司有8輛載重為6 t的A型卡車與4輛載重為10 t的B型卡車，有10名駕駛員，每輛卡車每天往返的次數為A型卡車