1、空間幾何平行垂直證明專題訓練?知識點講解一、“平行關系”常見證明方法一（一）直線與直線平行的證明1）利用某些平面圖形的特性：如 平行四邊形的對邊互相平行2）利用三角形中位線性質3）利用空間平行線的傳遞性：m/a,m/ba/b平行于同一條直線的兩條直線互相平行。4）利用直線與平面平行的性質定理：如果一條直線與一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和 交線平行。a IIa垂直于同一個平面的兩條直線互相平行5）利用平面與平面平行的性質定理:如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行./a a/bb6）利用直線與平面垂直的性質定理:a / b7）利用平面內直線與直線

2、垂直的性質:在同一個平面內.垂直于同一條直線的兩條直線互相平行8）利用定義：在同一個平面內且兩條直線沒有公共點（二）直線與平面平行的證明1）利用直線與平面平行的判定定理:aababaaaa常見證明方法利用平面與平面平行的判定定理1）abbP/a/ab/利用某些空間幾何體的特性2)3)利用某些平面圖形的特性直角三角形的兩條直角邊互相垂直1)2)利用直線與平面垂直的性質3)如果一條直線與一個平面垂直，則這條直線垂直于此平面內的所有直線2）利用平面與平面平行的性質推論3）利用定義：直線在平面外，且直線與平面沒有公共點“垂直關系”常見證明方法利用定義：兩個平面沒有公共點看夾角：兩條共個平面內的任一直線

3、平行于另一個平面（二）平面與平面平行的證明（一）直線與直線垂直的證明b P面直線的夾角為 90° ,則兩直線互相垂直兩個平面互相平行，4）利用平面與平面垂直的性質推論:如果兩個平面互相垂直，在這兩個平面內分別作垂直于交線的直線，則這兩條直線互相5）利用常用結論： 如果兩條直線互相平行，且其中一條直線垂直于第三條直線，則另一條直線也垂直于第三條直線。如果有一條直線垂直于一個平面，另一條直線平行于此平面，那么這兩條直線互 相垂直。ab /（二）直線與平面垂直的證明1)2)3)利用某些空間幾何體的特性：如長方體側棱垂直于底面等看直線與平面所成的角：如果直線與平面所成的角是直角,則這條直線垂

4、直于此平面。 利用直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直,則該直線垂直于此平面。a ba l l4)利用平面與平面垂直的性質定理：兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。5）利用常用結論： 一條直線平行于一個平面的一條垂線，則該直線也垂直于此平面。a / b b 兩個平面平行，一直線垂直于其中一個平面，則該直線也垂直于另一個平面。1)2)3)（三）平面與平面垂直的證明利用某些空間幾何體的特性：如 長方體側面垂直于底面 等看二面角：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面 角），就說這連個平面互相垂直。利用平面與平面垂直的

5、判定定理一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直題型一：平行（線線平行、線面平行、面面平行）例1.如圖，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，E、F分別是 AB、AiC的中點，求證：EF/平面ABC;（兩種方法證明）AB方法一:方法二:例2.如圖，正三棱柱 ABC ABG中，D是BC的中點， 求證：AB 平面ADCi .（兩種方法證明）方法一:方法二:3 .如圖，在底面為平行四邊行的四棱錐P ABCD中，點E是PD的中點.求證：PB 平面AEC ;（兩種 方法證明）方法一:方法C4 .如圖，E、F、O分別為PA, PB, AC的中點,方法證明）方法一：G是OC的中點，求證： FG/平面BOE

6、;（兩種方法課后練習1.已知空間四邊形 ABCM, E,F,G,H分別為AB,BC,CD,DA的中點.求證：AC平面EFG.H2 .已知空間四邊形 ABCD中，E,F,GH分別為AB,BC,CD,DA 的中點.求證：EF 平面BGH.3 .已知在四棱錐 P-ABCD中，ABCD為平行四邊形，E為PC的中點，。為BD的中點.求證：OE 平面ADP4 .已知在四棱錐 P-ABCD中，ABCD為平行四邊形，E為PC的中點.求證：PA/平面BDE5 .正方體ABCD AB1C1D1中，E,G分別是BC,CiDi中點.求證：EG 平面BDD1B16 .如圖，在四棱錐 O ABCD中，底面ABCD四邊長為

7、1的菱形， M為OA的中點，N為BC的中點 證明：直線MN |平面OCD ;B N CCiO平面 ABiDi;7 .在四錐P-ABCD中，底面四邊形 ABCD是平行四邊形，E,F分別是AB , PD的中點.求證：AF /平 面PCE9.已知正方體 ABCD -A1B1C1D1,。是底ABCD對角線的交點.求證:題型二：垂直（線線垂直、線面垂直、面面垂直）1 .如圖，在直三棱柱 ABC AB。中，點D在B。上，AD B1C求證：平面 AQD 平面BBCQ .2 .如圖，正三棱柱 ABC AB。中，D是BC的中點，.求證：直線 ADB£；3.如圖，四棱錐 P ABCD的底面是正方形,PD

8、 底面ABCD，點E在PB上.求證：平面AEC 平面 PDB ；4.如圖，直三棱柱 ABC ABC1中，AB=1,AC AA 百，z ABC= 60 .求證：AB ACA5.直三棱柱ABC AB1c1中,BAC 90°, AB AC AA 2, M、N 分別是 BC、CC1 的中點，求證:B1M 平面 AMN ;6.如圖，在三棱錐 P ABC中，/PAB是等邊三角形，/ PAC=/PBC=90o。求證：AB，PC課后練習1 .如圖，ABOABCD是正四棱柱.求證：BDL平面ACCAi；2 .如圖，四棱錐 P ABCD的底面是正方形，PD 底面ABCD，點E在PB上.求證：平面AEC

9、平面 PDB ；D為CiC的中點，ABi與AiB3 .如圖，三棱柱 ABC ABQi的所有棱長都相等，且 AiA 底面ABC,連結OD , (1)求證：OD平面ABC ; (2)求證：AB1 平面ABD 。4.如圖所示，四邊形平面ACE(1)求證：AEABCD為矩形，AD 平面ABE, F為CE上的點，AE EB BC 2 ,且BF平面BCE ; (2)求證：AE 平面BFD ; (3)求三一棱車B C BGF的體積r。E5.如圖，正四棱柱(1)求證：BD1ABCD A1B1C1D1的側棱長為1,底面邊長為2, E是棱BC的中點。/平面CQE ; (2)求三棱錐D DBC的體積.DAB 60 , AD A