1、2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一測(cè)試(全國(guó)I卷)理科數(shù)學(xué)一、 選擇題：此題共12小題,每題5分洪60分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 ,只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要 求的.1.集合 A=x|x<1, B=x3x <1,那么()A. AQB =：xx <0? b. AUB =R C. A|jB=xx.1)d. AH B =【解析】A =x x<1 , B =x|3x <1 = x x<0. Ap B =x| x<0, AlJ B =x x<1,選 A2.如圖,正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國(guó)古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色局部和白色局部位于正方形的中央成

2、中央對(duì)稱,在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),那么此點(diǎn)取自黑色局部的概率是(1A. 一4兀B.-81 C.-2兀D.4【解析】設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2,那么圓半徑為1那么正方形的面積為2M2 =4,圓的面積為 啟12兀,圖中黑色部分的概率為 那么此點(diǎn)取自黑色局部的概率為 23 .設(shè)有下面四個(gè)命題()1P1：假設(shè)復(fù)數(shù)z滿足uR,那么z三R ; P2 :假設(shè)復(fù)數(shù)z滿足Zzz WR,那么 z1 =z2 ； P4 :假設(shè)復(fù)數(shù) zW R,那么 一zW R .z2 w R,那么zW R ; P3:假設(shè)復(fù)數(shù)Zi , z2滿足A. Pi , P3B. P1 , P4C. P2 , P3D. P2,P4 ,11 a -bi【解析】：

3、設(shè)z =a +bi,那么二=-2=R得到b =0,所以zW R .故P1正確;z a bi a bP2 ：假設(shè) Z2 = 1,滿足z2 ER ,而z =i ,不滿足z2 WR ,故P2不正確；P3 ：假設(shè)乙=1, z2 =2,那么取2=2,滿足取2 w R ,而它們實(shí)部不相等,不是共軻復(fù)數(shù),故P3不正確；P4：實(shí)數(shù)沒有虛部,所以它的共軻復(fù)數(shù)是它本身 ,也屬于實(shí)數(shù),故P4正確；4 .記Sn為等差數(shù)列A.1Q的前n項(xiàng)和,假設(shè)a4 +a5 =24, S =48,那么匕口的公差為()B.2C.4D.8【解析】_ _6 5a4 +a5 =a十3d +a +4d =24 S6 =6& +d =48

4、聯(lián)立求得2j2a1 +7d =24 6a1 15d =48 父3得(21 15戶=24 6d =24 ：d =4選 C5 . 函數(shù)是(f (x )在(-00, 十°°)A. 1-2, 2】)單調(diào)遞減,且為奇函數(shù).假設(shè)f (1 )=-1,那么滿足-1&f(x-2)< 1的x的取值范圍C. b, 4【解析】由于f(x )為奇函數(shù),所以f (1)=-f (1 )=1,于是14f(x 2丹1等價(jià)于f (1 月f (x-2 尸f(1 )|又 f (x )在(. + 8坤調(diào)遞減.-.-K x-2< 1,1WxW3應(yīng)選 D1 6 一一,. c6 .12+x 展開式中x

5、2的系數(shù)為A. 15【解析】1 +B. 20661x =1 1 x FC. 30662(1+x /1+x)的x2項(xiàng)系數(shù)為C2 =D. 356 5=152對(duì) m<1 +x 6的x2項(xiàng)系數(shù)為C6=15,x2的系數(shù)為15+15 =30應(yīng)選Cx,正方形的邊7 .某多面體的三視圖如下圖,其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成,這些梯形的面積之和為長(zhǎng)為2,俯視圖為等腰直角三角形、該多面體的各個(gè)面中有假設(shè)干是梯形A. 10【解析】由三視圖可畫出立體圖C. 14D. 16該立體圖平面內(nèi)只有兩個(gè)相同的梯形的面S梯=2 +4 J<2-2 =6 電梯=6 父2 =12應(yīng)選 B兩個(gè)空白框中,8

6、.右面程序框圖是為了求出滿足3n -2n >1000的最小偶數(shù)n,那么在 O 和可以分別填入1輸出打/A. A >1000 和 n =n +1 B. A >1000 和 n =n +2 C. AW1000 和 n =n +1 D. Aw 1000 和 n = n +2解 由于要求A大于1000時(shí)輸出,且框圖中在“否時(shí)輸出,«<二>"中不能輸入A >1000排除A、B又要求n為偶數(shù),且n初始值為0,中n依次加2可保證其為偶應(yīng)選9 曲線 G：y=cosx,C2：y=sin2X型2X 3,那么下面結(jié)論正確的選項(xiàng)是A.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原

7、來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移工個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線 6C2B.把C上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移萬個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線_1.、 一,一,r 兀* 、,、,一 ,r C.把Ci上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的萬倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移吊個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線C2D.把Ci上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的TT,i 2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移 五個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線C2【答案】D2兀【解析】G：y=cosx,C2: y =sin I2x 一3首先曲線Ci、C2統(tǒng)一為一三角函數(shù)名,可將Ci：y=cosx用誘導(dǎo)公式處理.y=cosx=co

8、s. x+2 J=sin . x+2卜橫坐標(biāo)變換需將 切=1變成 = 2 ,fc上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短它原來1fyf 即 y =sin !x21y=sinl2x =sin2lx».2.242兀兀 y =sin! 2x =sin2!x .3.3注意切的系數(shù),在右平移需將 曰=2提到括號(hào)外面,這時(shí)x +平移至x +,43,根據(jù)“左加右減原那么,“x才到“x ;需加上if,即再向左平移129.F為拋物線C : y2 =4x的交點(diǎn),過F作兩條互相垂直li,I2,直線li與C交于A、B兩點(diǎn),直線I2與C交于D , E兩點(diǎn),AB十DE的最小值為A.i6【答案】A 【解析】B. i4C. i2D. i0

9、設(shè)AB傾斜角為9 .作AKi垂直準(zhǔn)線,AK2垂直x軸f!af| cos6 +|GF| = AKi 幾何關(guān)系易知?AKi|=AF| 拋物線特性GP =P .1P=P22|af| cose+p= af同理|af|=i - cos 二BFPi cos 二：AB二與,22 'i -cos 二 sin f一 .一 兀,n又DE與AB垂直,即DE的傾斜角為 鼻十日DE _ 2P _ 2Psin2,三十g cos2 8 而 y2 =4x,即 P =2 .21 .2c.sin 2-i4'. AB DE =2P - =4sin cos' =-2 .4 2162sin2 271sin 1

10、cos 【 sin ?coS 二 sin icos 二.TT>16,當(dāng)日=取等號(hào) 4即|AB DE最小值為16,應(yīng)選A10.設(shè)x, y , z 為正數(shù),且 2x =3y =5z,那么0A. 2x ： 3y ：； 5zB. 5z ： 2x ： 3yC. 3y ： 5z ：；2xD. 3y ： 2x ： 5z【答案】Dx l n 33【答案】 取對(duì)數(shù)：xln2 =yln3 =ln5 .=>- 2x>3yy l n 22一.x l n 55xln2 =zln5貝U =<-:2x <5z : 3y < 2x< 5做選 Dz l n 2211.幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家

11、的創(chuàng)業(yè)號(hào)召,開發(fā)了一款應(yīng)用軟件,為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,他們推出了 “解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼的活動(dòng),這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：數(shù)列1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 16,其中第一項(xiàng)為哪一項(xiàng)20,接下來的兩項(xiàng)是20,21,在接下 來的三項(xiàng)式26,21,22,依次類推,求滿足如下條件的最小整數(shù) N ： N >100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2 的整數(shù)哥.那么該款軟件的激活碼是A. 440 B. 330C. 220D. 110【答案】A【解析】設(shè)首項(xiàng)為第1組,接下來兩項(xiàng)為第2組,再接下來三項(xiàng)為第 3組,以此類推.設(shè)第n組的項(xiàng)數(shù)為n,那么

12、n組的項(xiàng)數(shù)和為 也已2由題,N >100,令 叱 +n>100 f n > 14且n w N*,即N出現(xiàn)在第13組之后 2第n組的和為 =2n1n組總共的和為 41- 2_n=2n_2.n假設(shè)要使前N項(xiàng)和為2的整數(shù)哥,那么Nn-項(xiàng)的和2k -1應(yīng)與-2-n互為相反數(shù)2即 2k -1=2+nk WN*,n>14k=logn+ 3f n=29,k=5 那么 n = 29*'1 2'5= 44 0 應(yīng)選 A2二、 填空題 沐題共4小題,每小:5分,:20分.12.向量1,b的夾角為60 °, a =2 ,b'=1,那么a+2b =.【答案】2

13、.3角軍析】：+2b2 =：+2：2 =|：'2+22b cos60口+2b =22+2父2M2M；+22 =4+4+4 =12. a +2b =屈=2 點(diǎn)13.設(shè)x, y滿足約束條件_|_x 2y <1不等式組W2x +y 2表示的平面區(qū)域如下圖x -y M0由z =3x 2y得y =?x,求z的最小值,即求直線y =-x -的縱截距的最大值2222當(dāng)直線y=|x|過圖中點(diǎn)A時(shí),縱截距最大2x y - -1由J解得A點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),此時(shí)z =3x(1)2父1 =-5x 2y =122x y14 .雙曲線C: -,( a>0 , b>0 )的右頂點(diǎn)為 A,以A為圓

14、心,b為半徑作圓A,圓A與雙曲線Ca b的一條漸近線交于 M , N兩點(diǎn),假設(shè)/MAN =60 0,那么C的離心率為如圖,OA =a, AN =|AM|=b /MAN =60°,AP =OP =JOA T|PAa2-3b24tan 二二APOPb2a2 -3b2又: tan 二=7 23I =33 e =115 .如圖,圓形紙片的圓心為 O,半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形 ABC的中央為O,D、E、F為元O 上的點(diǎn),ADBC/ECA/FAB分別是一 BC ,CA , AB為底邊的等腰三角形,沿虛線剪開后,分別以BC , CA , AB為折痕折起 DBC , ECA, FAB,使得

15、D , E , F重合彳導(dǎo)到三棱錐.當(dāng) ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí),所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為 .【答案】4 15【解析】 由題,連接OD,交BC與點(diǎn)G,由題,OD _LBC3 Q 、 rOG = BC ,SP OG的長(zhǎng)度與BC的長(zhǎng)度或成正比6設(shè) OG =x,那么 BC =2.3x, DG =5-x三棱錐的高 h =、；DG2 -OG2 =125-10x x2 -x f 25-10x-1 0-19._Sa ABC =2g 3x=343x2,那么 V =-SA abc h =43x2 ,拉510x =第；25x4 -10x52 3令 f x =25x4-10x5, x (0,5), f x

16、 =100x3-50x4令 f'(x)>0,即 x4 -2x3<0, x<2,那么 f(x 尸 f (2 ) = 80那么V W 73M聞=45,：體積最大值為4#5cm317-21題為必'考題,每個(gè)試題考2a3sin A解做題：共70分.解容許寫出文字說明、證實(shí)過程或演算步驟.第 生都必須作答.第 22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.一必考題：共60分.16. 4ABC的內(nèi)角A, B ,C的對(duì)邊分別為a, b,c,4ABC的面積為(1)求 sin BsinC ；(2)假設(shè) 6cos B cosC =1, a =3 ,求 AABC 的周長(zhǎng).【解析】此題主要

17、考查三角函數(shù)及其變換,正弦定理,余弦定理等根底知識(shí)的綜合應(yīng)用a21 .(1) . AABC 面積 S =.且 S =-bcsin A3sinA2,a21232 A. . =bcsinA,a =-bcsin A3sinA 2223_2.由正弦7E理得 sin A =sin BsinCsin A, 2,2由 sin A # 0 得 sin Bsin C =.3,321(2)由(1)得 sin B sin C =一,cosB cosC =,/A + B + C =k3 61:cosA =cos( u-B -C )=cos(B +C )=sin BsinC-cosBcosC =31又. =(0,n),

18、：A=60 , sinA= , cosA = 22由余弦定理得a2 =b2 +c2 -bc =9由正弦定理得 b =-a si nB c =a sinC s i nA , sin A2 . a bc=-2 sin BsinC =8sin2 A由得 b +c =V33a +b +c =3 +73即 ABC 周長(zhǎng)為 3 +V3317. (12 分)如圖,在四棱錐 P -ABCD 中,AB / CD 中,且 /BAP =/CDP =90.(1)證實(shí)：平面PAB,平面PAD ;(2)假設(shè) PA = PD =AB =DC , ZAPD =90 2求二面角 【解析】(1)證實(shí)：.一/BAP =/CDP =

19、90.PA _AB , PD _CD又: AB II CD,.二 PD _L AB又: PD IPA =P ,PD、PAU 平面 PADAB _L平面 PAD,又 AB U 平面 PAB 平面PAB _L平面PAD(2)取AD中點(diǎn)O , BC中點(diǎn)E,連接PO , OE AB 起CD 四邊形ABCD為平行四邊形A-PB -C的余弦值.1 -OE .ZAB由(1)知,AB _L平面PADOE _L平面 PAD,又 PO、AD U 平面 PADOE _PO , OE _ AD又 PA =PD ,. PO _ ADPO、OE、AD兩兩垂直以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系O -xyzPA-IP

20、D=2 , D(W2 ,0,0 )、B(e,2,0 卜 P(0,0,&)、C(-V2,2,0= (/,0, J2 )、PB=(J2,2,J2 )、BC=(-2&,0,0)e y(x , y , z )為平面PBC的法向量PB =02x 2y -.2z-,得_BC =0-2 . 2x =0令y=1,那么z=J2, x=0,可得平面PBC的一個(gè)法向量n=(0 ,1,五)幺PD =90 ；. PD _LPA又知AB _L平面PAD , PD仁平面PAD PD _ AB,又 PAriAB =APD _L平面 PABT !- l即pd是平面PAB的一個(gè)法向量,PD=(t/2 ,0 ,72

21、 )cos PD , n3 由圖知二面角 A-PB弋 為鈍角,所以它的余弦值為 -出18. (12 分)為了抽檢某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,實(shí)驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件,并測(cè)量其尺寸(單位：cm).根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài) 2分布N(N,仃).(1)假設(shè)生產(chǎn)態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(N-3仃,卜+3仃)之外的零件數(shù),求P(X >1 / X的數(shù)學(xué)期望；(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(N-3仃,N+3仃)之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一 天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查

22、.(I)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性：(II)下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：9.95 1 0. 1 29.969. 9610.01 9.929. 9 8 1 0. 0410.26 9.911 0. 1 310.02 9.22 10.04 10.059. 9 516r21 16經(jīng)計(jì)算得 x =£ Xi =9.97, s= £ (x -x ) = J2-16x2 L0.212,其中 x 為抽取的第 i 個(gè) i1:16 -;16零件的尺寸,i =1, 2, HI, 16.用樣本平均數(shù)x作為N的估計(jì)值 巴用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為.的估計(jì)值 口,利用估計(jì)值判斷是否需 對(duì)

23、當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查,剔除(？-3僅,？+39)之外的數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì) N和.(精確到0.01).附:假設(shè)隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布 N(N,仃2 ),那么P(R3j<Z <N+3cj ) = 0.9974. 160.997 40.9592 , ., 0.008 0.09 .【解析】(1)由題可知尺寸落在(H一3仃,R+3ct)之內(nèi)的概率為0.9974落在(N30 ,卜+3仃)之外的概 率為0.0026P(X =0 產(chǎn)C；6 (1 -0.9974 0 0.997416 之0.9592P X _1 =1 -P X =0 ： 1 -0.9592 =0.0408由題可知 X B06

24、, 0.0026),E(X )=16父0.0026 =0.0416(2)(i)尺寸落在(N3仃,N+3.)之外的概率為0.0026由正態(tài)分布知尺寸落在(N-3仃,N+3.)之外為小概率事件,因此上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法合理.(ii)'' -3' -9.97 -3 0.212 =9.334.二+3；.- -9.97 3 0.212 =10.606 (N3仃,N+3.)=(9.334, 10.606 )7 9.22正(9.334 , 10.606 ),二需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程檢查因此剔除9.229 97 16 -9 22 剔除數(shù)據(jù)之后:二二9.22 :10.02.15222222

25、二二9.95 -10.02i10.12-10.02i9.96-10.02i9.96-10.02ir10.01-10.02222229.92 -10.02ir998-10.02：i 何 10.04-10.02)-1：10.26-10.02：i)：9.91-10.02口152222210.13 -10.02 i F10.02 -10.02 i -10.04 -10.02 i F10.05 -10.02 i f 9.95 -10.02 0.00819. (12 分)22橢圓c ： J La2b2=1 (a >b >0),四點(diǎn) R (1, 1), P2(0, 1), P3 11,咚 j,

26、P4 -中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.(1)求C的方程；(2)設(shè)直線l不經(jīng)過B點(diǎn)且與C相交于A、B兩點(diǎn),假設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率的和為_1,證實(shí)：l 過定點(diǎn).【解析】(1)根據(jù)橢圓對(duì)稱性,必過P3、P4又R橫坐標(biāo)為1,橢圓必不過P ,所以過B , P3 , P4三點(diǎn)3點(diǎn)),將2(0,1),月.-1,三代入橢圓方程得1X3,解得 a2 =4, b2 =1,_L+Z _1十尸1且 b2.橢圓C的方程為：+y2 =1.4(2)當(dāng)斜率不存在時(shí),設(shè)l ：x=m, A(m , yA ), B(m , -yA ) kP2 A kP2B =7得m=2,此時(shí)l過橢圓右頂點(diǎn),不存在兩個(gè)交點(diǎn),故不滿足.當(dāng)斜率存在時(shí)

27、,設(shè)l ： y =kx +b(b 01 )A. , y1 B 4,y2 )y=kx»b聯(lián)立 4 22,整理得(1+4k Jx +8kbx +4b 4=0x2 4y2 -4 =0XiX2 =-8kb4b2 -4那么 kP2A kPB 二"二 三 J kx1b -X2 x1 4 b122x1x2x x28kb2 -8k -8kb2 8kb1 4k2 4b2 -48k b -1J = -1,又 b #14(b+1'(b1) 乂 b 21 4k=b=-2k-1,此時(shí)A = -64k,存在k使得:>0成立.,直線l的方程為y=kx2k1當(dāng)x = 2時(shí),y =-1 ,所以

28、l過定點(diǎn)(2 , -1 ).20. (12 分)函數(shù) f x =ae2x , a -2 ex -x.(1)討論f (x )的單調(diào)性；(2)假設(shè)f (x冶兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.【解析】(1)由于 f (x )=ae2x +(a -2 px -x故 fx )=2ae2xa-2ex-1=aex-12ex1當(dāng)a宅0時(shí),aex _1 <0, 2ex十1 >0.從而f '(x戶0恒成立.f (x )在R上單調(diào)遞減當(dāng) a >0 時(shí),令 f x )=0 ,從而 aex _1 =0,得 x = lna.x(-, ln a)-ln a(ln a , +°o)f (x )0+

29、f (X)單調(diào)減極小值單調(diào)增綜上,當(dāng)a E0時(shí),f (x)在R上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時(shí),f (x)在(-,-ln a)上單調(diào)遞減,在(-ln a,收)上單調(diào)遞增 (2)由(1)知,當(dāng)a M0時(shí),f (x )在R上單調(diào)減,故f (x)在r上至多一個(gè)零點(diǎn),不滿足條件.1 -當(dāng) a A0時(shí),fmin = f (-ln a )=1 十ln a .令 g a =1令 g a i-1 -1 .ln a .a1 1 1-+lna a >0 1那么g'(a )=十一 >0.從而g a用(.,+如)上單倜增,而 aaag(1 )=0.故當(dāng)a >1,那么 fmina =1 ,那么 f

30、min1二1 一一In aa1=1 In aa=g (a )>0 ,故f (x )>0恒成立,從而f (x )無零點(diǎn),不滿足條件.=0,故f (x )=0僅有一個(gè)實(shí)根x=lna = 0,不滿足條件.0<a <1,那么1aa2fmin =1+lna<0,注息到一ln a >0 . f (_1+1 > 0aeee3 ,. 1.f (x 脛(-1, -ln a )上有一個(gè)實(shí)根,而又 ln . 一 -1 Aln=ln a . aaf 11n(- -1) =eInln a e+a -2,ln . 3 -1 IJ la J3-1 二9-1 -ln §-1,.-1 . 0a aa 0.0 <a <1 時(shí),g (a )<0 .當(dāng) a =1時(shí) g(a )=0 .當(dāng) a >1 時(shí) g(a )>0,3,應(yīng).Tn a , ln -一-1 上有一個(gè)頭根. a應(yīng), 一此a )上單調(diào)減,在(-ln a , +比)單調(diào)增,故f (x )在r上至多兩個(gè)實(shí)根.3城(1,-lna)及l(fā)na , ln . -1上均至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根,故f ( x )在r上恰有兩個(gè)a實(shí)根.綜上,0 ：二 a :二 1.(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做,那么按所做的