1、對(duì)一些題目的解題反思山東省滕州市第一中學(xué)姚良玲 楊列敏（277500）總剩下些工作要做，經(jīng)著名教育家波利亞曾說(shuō)：“沒(méi)有一道題是可以解決的十全十美的,過(guò)充分的探討總結(jié)， 總會(huì)有點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn)， 總能改進(jìn)這個(gè)解答， 而且在任何情況下， 我們都能 提高自己對(duì)這個(gè)解答的理解水平.”帶著這種啟示，我們認(rèn)真研讀了文1、2和新課程教材中的相關(guān)習(xí)題，現(xiàn)把這些題目的解題反思整理成文，以饗讀者 文1中的探究uuu探究1已知P是 ABC內(nèi)一點(diǎn)，且xPAuuu yPBuuur zPCr 0,求證：S PBC ： S PAC ： S PAB x ： y ： z .uuu實(shí)際上我們知道若點(diǎn) G是 ABC的重心，則GAuuuG

2、Buuir rGC 0,且S GAB S GAC S GBC ,于是根據(jù)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，可以對(duì)文1的證明方法作如下改進(jìn).uuu uuir證明：設(shè)xPA PAuuu ,yPBuuuruuirPB, zPCuuuu uuurPC,則 PAuuurPBuuur rPC 0 ,所以點(diǎn)P是A BC的重心如圖1,且SPA B S PACS PBC ,由此得到：旦星1八八PB PC sin BPCPBC1八-PB PCuur uuuusin BPCuuu lunrPB PCuuir uuurpb|pcyz所以S pbc-S yzPBC ，同理：S PACPACS SS PAC , S PABxz2 sS PAB

3、 .xy所以S PBC ： SPAC ： S PAByzxz1一 x ：xyy： z探究2已知P是 ABC外一點(diǎn), uuu uuu uuur r且 xPA yPB zPC 0,求證：S pbc ： S PAC ： S PAB分析：P是 ABC外一點(diǎn)可知，x, y,z中恰有一個(gè)為負(fù)或恰有兩個(gè)為負(fù).證明：（1）若x,y,z中恰有一個(gè)為負(fù)，不妨設(shè) x 0, y 0,z 0,UULT 設(shè)PAuuu uuu uuur uuu xPA , yPB PB , zPCuuuuPC,則uur uuurPA PBuuuu rPC 0,所以ABC的重心,如圖2,且 S PA BS PAC SPBC ，uuu uur

4、S_ 所以,S-PBCS PBC1 PBII PC sin BPCuur uuur同理S PACPAC1八PB PC sin1-S S S PAC，S PAB xzBPCuuur PCPB PC1 yz.1 c-Sf S PAB .所以 S PBC : SxyPAC : S PAB x : y : z（2）若x,y,z中恰好兩個(gè)為負(fù)，同（1）可證結(jié)論成立. 綜上所述原命題結(jié)論成立.由此可得到以下的一般性結(jié)論：探究3已知點(diǎn)P是 ABC所在平面上一點(diǎn)（O不在ABC的邊上uuu uuu uuur 且 xPA yPB zPC則 S PBC : S PAC : SPABS(2)SPBCI x | S P

5、ACABC x y z S ABC| y|x y zS PABS ABC|z|y（2）由（1）不難利用面積法證得探究4已知四面體 A BCD。為空間中一點(diǎn),uuu aOAuur bOBUUUT cOCuur rdOD 0 ,（a, b, c, d為實(shí)數(shù)且不全為0）,則有:1 1)VO BCDVA BCD|a|a b c d |VO ACDVA BCD|b|Vo ABDVA BCD|c|c dVo ABDVa BCDLcl（2）當(dāng)a,b,c,d全部為0時(shí)，即點(diǎn)O不在四面體A BCD的四個(gè)面上時(shí)，VO BCD : VO ACD : VO ABD : VO ABC|a|:|b|:| c|:|d |卜

6、面給出結(jié)論的簡(jiǎn)單證明先證a b c d0 .假設(shè)a(buuu代入aOAuur bOBuuur uuur cOC dODr0得：buur uuuOB OAuuurOCuuuOAuuur d ODuuuOAuur uur uur 即：bAB cAC d ADuuu uuur uuur0,又因?yàn)锳B, AC, AD不共面，所以b c d 0,所以a0.這b c duuudOD0.與題目條件矛盾，所以auuu uuu uur 再由 aOA bOB cOC得uur aOAuuuOAuurABuuuOAuuurACuuu uur d OA AD即(auuur d)AOuuir bABuuur cACuuu

7、r d AD(*)設(shè)平面ABC的單位法向量為rn,如圖r3.用n與(*)式兩邊取數(shù)量積得(a b cuuur d)AOuuir rdAD n ,從而有BDC圖3* r n uur r(a b c d) AO nuuur d AD.設(shè)O ,D到平面ABC的距離分別為h ,hDuuur r uuur，因?yàn)?AO n,ADrn分別是uur uurrAO,AD在n上的投影，所以u(píng)uur rAO n ,hDuuurADrn，從而| ab c d |h | d | hD，兩邊d |Vo ABC |d |VaBCD ,一、，1 一.同乘以3 S abc，得到：|a b 也就是C回Va BCD|a b c d

8、 |同理可得 VO型D 也J，Va bcd|a b c d |VO ABD Lc| VO ABD cjVA bcd| a b c d |VA bcd | a b c d | (2)由(1)顯然成立.新課程中的題目1.人教A版教材(必修1 P25習(xí)題1.2 B組第4題)如圖4所示，一座小島距離海岸線上最近的點(diǎn)P的距離是2km,從點(diǎn)P沿海岸整棟12km處有一個(gè)城鎮(zhèn).(1)假設(shè)一個(gè)人駕駛的小船的平均速度為3km/h,步行的速度是5km/h, t (單位:h)表示他從小島到城鎮(zhèn)的時(shí)間，x (單位:km)表示此人將船停在海岸處距 P點(diǎn)的距離，請(qǐng)將t表示為x的函 數(shù).(2)如果將船停在距點(diǎn) P 4km處，

9、那么從小島到城鎮(zhèn)要多長(zhǎng)時(shí)間(精確1h)?(3)若這個(gè)人駕駛小船從小島到城鎮(zhèn)的時(shí)間最短，此人應(yīng)將小船停在海岸線P點(diǎn)多遠(yuǎn)處？(2)略第(3)問(wèn)一般是在高三復(fù)習(xí)時(shí)增設(shè)的，戶_城耨此題大多解法是這樣的.L12Jbq-412kmk-圖 4小島設(shè)停在距點(diǎn)P xkm處,則所用時(shí)間為t,t 12x4x23法1令t0,得一（舍去） 2所以當(dāng)x1.5km, t有最小值.2tan12 2tan122 sin12 1253sin所以tan3cos5 cos3cos515 cos5 3sin ，則cos2. /u sin(9 u2tanx 2tan 2tan1,所以，從而43 3 88 ,時(shí),t有取小值.如圖5.4 2

10、3cosu2 16,所以u(píng)min 4此時(shí)應(yīng)有若進(jìn)一步反思以上解法便有了下面的漂亮的快捷解法法3.根據(jù)光學(xué)知識(shí)光是沿直線傳播，于是可設(shè)小島為BAB t3B作直線AC5BD解得PA13 3（AB AC）,由此過(guò)點(diǎn)C作一條射線C,D且使sin DCP ,過(guò)點(diǎn)355CD ,與PC交于點(diǎn)A,則點(diǎn)A就是所求小船所停岸處.由BPA: CDA ,3 34 22.人教A版教材數(shù)學(xué)必修（5）第101頁(yè)B組第2題.如圖6.樹(shù)頂A離地面am,樹(shù)上另一點(diǎn) B離地面b m,在離地面cm的C處看此樹(shù)，離此樹(shù)多遠(yuǎn)時(shí)看 A, B的視角最大?對(duì)于a b c的情況，我們?cè)诮虒W(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生最先想到的思路 是余弦定理，那么根據(jù)余弦定理我

11、們得到方法一：過(guò)點(diǎn)C做CD AB交AB的延長(zhǎng)線與點(diǎn) D在 ABC 中，AC2 x2 (a c)2, BC2x2 (b c)2,到2x2(a c)2 (b c)2 (a b)2 ， ,2 x2 (a c)2x2 (b c)2AC12 (a c)(b c)2(a c)(b c) (a2 b2 2c2 2ac 2bc) (a b 2c)2; (a b)2(a b)2 (a c)(b c) 2(a c)(b c) -1 x BC2 AB2 cosC 2AC BC當(dāng)且僅當(dāng)2x(a b)222(a 0 (b C 時(shí),即:(a b)2x2x q(a c)(b c)時(shí)，cosC有最小值，從x2 (a c)(b

12、 c)x2 (a c)2x2 (b c)2x4 2(c2 ab bc ac)x2 (a c)2(b c)24222222x (a b 2c 2ac 2bc)x (a c) (b c)1(a2 b2 2ab)x2x4 (a2 b2 2c2 2ac 2bc)x2 (a c)2(b c)21222_2_22x (a b 2c 2ac 2bc) (a c) (b c)222 2(a b)2(a b)2(a b)2x2而角C有最大值.反思上面的過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)由于上述方法中涉及根號(hào)的運(yùn)算，導(dǎo)致了上述解法復(fù)雜，由此我們?nèi)粼龠M(jìn)一步思考不難想到可以利用到角公式選擇角的正切值作為切入點(diǎn)進(jìn)行研究，證法如下：法二：過(guò)點(diǎn)

13、C做CDAB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)設(shè) BCDACD,CD x,在 BCDtanACD 中tana c，則xtan( )tantan1 tan tan.a cb c1x xa b(a c)(b c)當(dāng)且僅當(dāng)x , (a c)(b c)時(shí)，視角最大為arctan2、.(a c)(b c),這樣便得到了比法一在計(jì)算上簡(jiǎn)單的解題方法.而實(shí)際上再琢磨一下等號(hào)成立的條件，又不難發(fā)現(xiàn)另外一種巧 妙的解法.根據(jù)平面幾何知識(shí)應(yīng)該有這樣一個(gè)定理：如圖7,已知直線li與12相交于點(diǎn)O , M ,N是12上的兩定點(diǎn)，MPN最大，并且有OP2OM ON .由此根據(jù)此經(jīng)過(guò)M , N兩點(diǎn)的圓與直線 11相切于點(diǎn) P ,此時(shí)定理我們便有了以下快捷的解法 法三：過(guò)C作CD AB交AB的延長(zhǎng)線于D ,由平面幾何知識(shí)可知，經(jīng)過(guò)A, B兩點(diǎn)的圓與直 線DC相切于點(diǎn)D時(shí)，ACB最大，從而 CD2 DB DA,即：DC J(a c)(b c).對(duì)于c a b的情況同理可得，當(dāng)DC J(a c)(b c)時(shí)，所得視角最大.對(duì)于a c b的情況可以由題意明確看出點(diǎn)C在線段AB上時(shí)夾角最大.該題顯然與2004年全國(guó)聯(lián)賽第12題,200