1、第八章向量代數(shù)與空間解析幾何第一節(jié)向量及其線性運算教學目的：將學生的思維由平面引導到空間，使學生明確學習空間解析幾何的 意義和目的。使學生對（自由）向量有初步了解，為后繼內容的學習打下基礎。 教學重點：1.空間直角坐標系的概念2 .空間兩點間的距離公式3 .向量的概念4 .向量的運算教學難點：1.空間思想的建立5 .向量平行與垂直的關系教學內容：一、向量的概念1 .向量：既有大小，又有方向的量。在數(shù)學上用有向線段來表示向量，其長度表示向 量的大小，其方向表示向量的方向。在數(shù)學上只研究與起點無關的自由向量（以后簡稱向 量）。2 .量的表示方法有：a、i、F、OM.等等。3 .向量相等a = b：

2、如果兩個向量大小相等，方向相同，則說（即經(jīng)過平移后能完全 重合的向量）。4 .量的模：向量的大小，記為 a、OM。模為1的向量叫單位向量、模為零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。5 .量平行a/ b ：兩個非零向量如果它們的方向相同或相反。零向量與如何向量都平 行。6 .負向量：大小相等但方向相反的向量，記為 -a二、向量的線性運算1.加減法a+b = c：加法運算規(guī)律：平行四邊形法則（有Jbc時也稱三角形法則），其滿足的運算規(guī)律有交換率和結合率見圖7-a一 42 . ab=c 即 a +(b) =c3 .向量與數(shù)的乘法 人a：設K是一個數(shù)，向量a與兒的乘積九a規(guī)定為(1)兒>0時，

3、九a與a同向，|九a |=九| a |(2)九=0時，九a =0(3)九 <0 時，一a與a 反向，| 九a |=|，J| a |其滿足的運算規(guī)律有：結合率、分配率。設a0表示與非零向量a同方向的單位向量，那么定理1：設向量aw0,那么，向量b平行于a的充分必要條件是： 存在唯一的實數(shù) 入，使b= a例1:在平行四邊形 ABCD中，設AB = a, AD = b，試用a和b表示向量MA、MB、MC和MD ,這里M是平行四邊形對角線的交點。(見圖75)圖74.一：,11解：a +b = AC =2AM ,于是 MA = (a + b)1由于 MC = MA, 于是 MC =1(a+b)1又

4、由于a + b= BD =2MD ,于是 MD(b-a)由于 Mb = Md ,于是 Mb = 1(ba)2三、空間直角坐標系1 .將數(shù)軸(一維)、平面直角坐標系(二維)進一步推廣建立空間直角坐標系(三維)如圖71,其符合右手規(guī)則。即以右手握住Z軸，當右手的四個手指從正向 x軸以一角度2轉向正向y軸時，大拇指的指向就是 z軸的正向。2 .間直角坐標系共有 八個卦限，各軸名稱分別為：x軸、y軸、z軸，坐標面分別 為xoy面、yoz面、zox面。坐標面以及卦限的劃分如圖72所示。圖7-1右手規(guī)則演示圖72空間直角坐標系圖圖73空間兩點M1M 2的距離圖3.空間點M(X, y, Z)的坐標表示方法。

5、通過坐標把空間的點與一個有序數(shù)組一一對應起來。注意：特殊點的表示a)在原點、坐標軸、坐標面上的點；b)關于坐標軸、坐標面、原點對稱點的表示法。4.空間兩點間的距離。 若M i(xi,yi,zi)、M 2(X2,y2,Z2)為空間任意兩點，則M1M2的距離(見圖73),利用直角三角形勾股定理為：2222d2 = M1M2I =|MiN| + NM2 222=M1p +|pN| + NM2而M1P =|x2x1PN =M-yiNM2 = z2 -Z| 所以d = M1M2I =，(x2 xi)2 +(y2 yi)2 +(z2 z1)2特殊地：若兩點分別為 M(x, y,z), o(0,0,0)d

6、= oM = Jx2 + y2 + z2例1：求證以Mi(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)三點為頂點的三角形是一個等腰三角形。證明：M1M2;=(47)2 +(3-1)2 +(12)2 =14M 2M3 2 =(5-7)2 +(2 -1)2 +(3-2)2 =62cCCM3M1 =(5-4)2 +(2-3)2 +(3-1)2 = 6由于 M 2M 3 =M 3M 1 ,原結論成立。例2：設P在x軸上，它到"(0,，2,3)的距離為到點P2(0,1,1)的距離的兩倍，求點 P的 坐標。解：因為P在x軸上，設P點坐標為(x,0,0)PP1| = ,x2 +即 2 +3

7、2 = Jx2 + 11 |PP2| =v x2 +(-1 2 + 12 = Jx2 + 2"|PP = 2 PP2 /. Vx2 +11 = 2Jx2 + 2 二x -二1所求點為：(1,0,0) , (1,0,0)四、利用坐標系作向量的線性運算1 .向量在坐標系上的分向量與向 量的坐標通過坐標法，使平面上或空間的點與有序數(shù)組之間建立了一一對應關 系，同樣地，為了溝通數(shù)與向量的研 究，需要建立向量與有序數(shù)之間的對 應關系。設a = M 1M 2是以M1(x1,y1,z1)為起點、M 2 ( x2 , y2 , z2 )為終點的向量，i、j、k分別表示圖7 5沿x, y, z軸正向的

8、單位向量，并稱它們?yōu)檫@一坐標系的基本單位向量，由圖 7 5,并應 用向量的加法規(guī)則知：M1M2x1)i + (y2 y1)j+(z2 -乙)k或a = ax i + ayj + az k上式稱為向量a按基本單位向量的分解式。有序數(shù)組ax、ay、az與向量a對應，向量 a在三條坐標軸上的投影 ax、ay、az就 叫做向量a的坐標，并記為a = ax, ay, az。上式叫做向量a的坐標表示式。于是，起點為M 1(小，丫1,乙)終點為M2(x2, y2,z2)的向量可以表示為M 1M 2 =x2 -'X1,y2 -'yi,Z2 -"z1特別地，點M(x,y,z)對于原點O

9、的向徑OM =x,y,z注意：向量在坐標軸上的分向量與向量在坐標軸上的投影有本質區(qū)別。向量a在坐標軸上的投影是三個數(shù)ax、ay、az,向量a在坐標軸上的分向量是三個向量axi、 ayj、 azk.2 .向量運算的坐標表示設 a =ax,ay,az , b =bx，by ,bz即 a = ax i +ay j +az k, b = bxi +byj +bz k則(1)加法： a+b = (ax+bx)i+by)j +缸+bz)k 減法： a -b =(axbx)i +(ayby)j +(azbz)k 乘數(shù)：Xa =(；_ax)i +(人ay) j +(九 az) k 或 a+b =ax+bx，a

10、y+by,az+bza - b - ax - bx, ay - by, az - bza = ax, ay, az 平行：若aw。時，向量b/a相當于b = ?a,即bx,by,bz二'ax,ay,az也相當于向量的對應坐標成比例即壇立星ax ayaz五、向量的模、方向角、投影設a =ax,ay,az,可以用它與三個坐標軸的夾角口、P、¥(均大于等于0, 小于等于冗)來表示它的方向，稱口、P、¥ 為非零向量a的方向角，見圖7 6,其余弦表示形式 cosa、cosP、cos?稱為方向余弦。2.方向余弦例:222=axayazax由性質1知aycos：«cos

11、PcosaxayazazM1M2M1M2cosa = a cosotcosP = a cos=M1M 2 cos =ax222x - ay azay222x - ay azaz任意向量的方向余弦有性質：cos2 ：與非零向量a同方向的單位向量為:已知兩點p,當 a = ja2 +ay +a2 #0時，有coscos2； cos2 = 11一ax,ay,az =cos ： ,cos a:,cos Mi(2,2,J2)、M2(1,3,0),計算向量M1M2的模、方向余弦、方向角以及與MiM 2同向的單位向量。解：M1M 2 =1-2 , 3-2, 0-也=-1 ,1,-72M1M27-1)2 12

12、 ( - 2)2=20(2-設a0為與cos.2M1M 2同向的單位向量,由于a0 = cos =,cos :,cos 即得0,112、a = -7，-，-2 223.向量在軸上的投影(1)軸上有向線段的值：設有一軸 u, AB是軸u上的有向線段，如果數(shù) 九滿足M = AB,且當AB與軸u同向時九是正的，當AB與軸u反向時九是負的，那么數(shù) 人叫 做軸u上有向線段 AB的值，記做AB,即h = AB。設e是與u軸同方向的單位向量，則AB 二 e：e(2)設a、b、c是u軸上任意三點，不論三點的相互位置如何，總有AC = AB十BC(3)兩向量夾角的概念：設有兩個非零向量a和b,任取空間一點 O,

13、作OA =a,AOB =b,規(guī)定不超過n的/AOB稱為向量a和b的夾角，記為(a,b) '(4)空間一點A在軸u上的投影：通過點A作軸u的垂直平面，該平面與軸u的父點A 叫做點A在軸u上的投影。(5)向量AB在軸u上的投影：設已知向量 AB的起點A和終點B在軸u上的投影分別 為點A和B ,那么軸u上的有向線段的值 AB叫做向量AB在軸u上的投影，記做Pr juABo2.投影定理性質1：向量在軸u上的投影等于向量的模乘以軸與向量的夾角中的余弦：Pr ju AB = aB cos中性質2:兩個向量的和在軸上的投影等于兩個向量在該軸上的投影的和，即Pr ju(ai a2) = Pr ja-

14、Pr ja?性質3:向量與數(shù)的乘法在軸上的投影等于向量在軸上的投影與數(shù)的乘法。即Pr ju(1a) = , Prja小結：本節(jié)講述了空間解析幾何的重要性以及向量代數(shù)的初步知識，引導學生對向量(自由向量)有清楚的理解，并會進行相應的加減、乘數(shù)、求單位向量等向量運算，空間直角坐標系(軸、面、卦限)，空間兩點間距離公式。 本節(jié)介紹了向量在軸上的投影與投影定理、 向量在坐標軸上的分向量與向量的坐標(注意分向量與向量的坐標的區(qū)別)、向量的模與方向余弦的坐標表示式等概念。作業(yè):第二節(jié)數(shù)量積向量積教學目的：讓學生搞清楚數(shù)量積與向量積的概念及其應用，掌握向量平行、垂 直等重要的結論，為空間曲面等相關知識打好基

15、礎。教學重點：1.數(shù)量積、向量積的概念及其等價的表示形式2. 向量平行、垂直的應用教學難點：1.活學活用數(shù)量積、向量積的各種形式3. 向量平行與垂直的相應結論教學內容：一、數(shù)量積：a)定義：a b = a| b cos日,式中8為向量a與b的夾角。b)物理上：物體在常力F作用下沿直線位移 s,力F所作的功為W = |F|s cos 9其中8為F與s的夾角。2c)性質：I . a a = an .兩個非零向量a與b垂直a _Lb的充分必要條件為： a b= 0m . a b = b aw. (a b) c = a c b cV . (Aa) c = A(a c)人為數(shù)d)幾個等價公式：I.坐標表

16、示式：設 a =ax,ay,az , b =bx,by,bz則a b = axbx ayby azbzn.投影表示式：a b=|a Prj ab=|b Prj baa bin.兩向量夾角可以由 cos8式求解lable) 例子：已知三點 M(1,1,1)、A(2,2,1)和 B(2,1,2),求jAMB提示：先求出向量mA及mA ,應用上求夾角的公式。二、向量積:a) 概念：設向量c是由向量a與b按下列方式定義:的模c = a|bsine ,式中6為向量a與b的夾角。c的方向垂直與a與b的平面，指向按右手規(guī)則從 a轉向bo注意：數(shù)量積得到的是一個數(shù)值，而向量積得到的是向量。b)公式：c = a

17、 bf)性質：I . a a =0n .兩個非零向量a與b平行a/b的充分必要條件為：axb=0 m. a b = b aiv. (ab)c=a c b c九為數(shù)v . (1 a) c = a (1 c) =，( a c)c)幾個等價公式:I .坐標表布式：設a b faybzd)n .行列式表布式:例子：已知三角形ax aybx byaz bzABC的頂點分別為:A(1,2,3)、B(3,4,5)和 C(2,4,7),求三角a =ax，ay,az , b =bx,by,bz則-azby)i (azbx -axbz)j (a*by -3ybx)k形ABC的面積。1_,八解：根據(jù)向量積的定義,=

18、1 AB AC sin/C =，ABm AC由于 AB =2,2,2,AC =1,2,4因此AB AC =4i-6j 2k1*1 -nnJ' 于是 SzABc =1 AB x AC =1<42 +(-6)2 +22 =V14小結：向量的數(shù)量積（結果是一個數(shù)量）向量的向量積（結果是一個向量）（注意共線、共面的條件）作業(yè)：第三節(jié)平面及其方程教學目的：介紹最簡單也是非常常用的一種曲面一一平面，平面是本書非常重 要的一節(jié)，本節(jié)讓學生了解平面的各種表示方法，學生在學習時領 會各種特殊位置平面的表示方法，會求出各種位置上的平面，了解 平面與其法向量之間的關系。教學重點：1.平面方程的求法2.

19、兩平面的夾角教學難點：平面的幾種表示及其應用教學內容：一、平面的點法式方程1.平面的法線向量定義：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法線向量。平面內的任一向量均與該平面的法線向量垂直。2.平面的點法式方程已知平面上的一點 M 0(x0, y0, z0)和它的一個法線向量n =A,B,C,對平面上的任一點M (x, y, z),有向量 M 0M _L n,即n M0M =0代入坐標式有：A(x ”) B(y - y0) C(z -z0) =0(1)此即平面的點法式方程例1:求過三點Mi (2, - 1, 4)、M2 (1, 3, 2)和 M3 (0, 2, 3)的平面方程。解：先找出這平面的法向量

20、 n ,n=M1M2 M1M3ijk-34-6=14i+9j -k-23-1由點法式方程得平面方程為14(x -2) 9(y 1) -(z -4) =0即：14x 9y -z -15 =0二、平面的一般方程任一平面都可以用三元一次方程來表示。平面的一般方程為：Ax By Cz D = 0幾個平面圖形特點：1） D = 0:通過原點的平面。2） A=0:法線向量垂直于X軸，表示一個平行于 X軸的平面。同理：B=0或C = 0：分別表示一個平行于 y軸或z軸的平面。3） A=B = 0：方程為CZ +D = 0 ,法線向量0,0,C,方程表示一個平行于 xoy面的 平面。同理：AX + D = 0

21、和BY + D = 0分別表示平行于 yoz面和xoz面的平面。4）反之：任何的三元一次方程，例如： 5x+6y-7z+11 = 0都表示一個平面，該平面的法向量為n =5,6,-7例2：設平面過原點及點（6,-3,2）,且與平面4x-y+2z=8垂直，求此平面方程。解：設平面為Ax + By + Cz + D = 0 ,由平面過原點知 D = 0由平面過點（6,3,2”D6A3B+2C=0,n _4,-1,2 . 4A-B 2c =0 = A= B = -2C3所求平面方程為2x+2y-3z=0三.兩平面的夾角 定義：兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角。設平面 口1 : Ax + By

22、+C1z + D1 = 0 , n2 : A2x + B2y + C2z + D2 = 0n1 = Ai, Bi,Ci, 吊= A2,B2,C2按照兩向量夾角余弦公式有：一| AA B1B2 C1C2 |cos-,A12 B12 C12, A2 B22 C22三、幾個常用的結論設平面1和平面2的法向量依次為ni =Ai,BiG和窕=A2,B2,Cz1）兩平面垂直： A1A2 +B1B2+C1C2 =0（法向量垂直）2）兩平面平行:土 生A2 一 B2CC2（法向量平行）3）平面外一點到平面的距離公式：設平面外的一點 P0J0, y0,Z0）,平面的方程為Ax + By + Cz + D = 0

23、 ,則點到平面的距離為d = Ax°By0cz0D、A2B2 c2例3：研究以下各組里兩平面的位置關系：（1） -x 2y-z 1 0, y-3z-1=0(2) 2x -y z -1 =0,-4x 2y -2z -1=0(3) 2x -y -z 1 =0,-4x 2y 2z-2 =0解:cosi =| -1 0 2 1 -1 3|(-1)222 (-1)2、12 321兩平面相父，夾角 a a arccos. 602-115=2,-1,1, 1=-4,2,-2= =-42-2兩平面平行 - M (1,1,0) -1 M (1,1,0) -22-1-1兩平面平仃但不重合。（3） =一兩

24、平面平行-422M (1,1,0)二 I" M (1,1,0)二2所以兩平面重合小結：平面的方程三種常用表示法：點法式方程，一般方程，截距式方程。兩平面的夾角以及點到平面的距離公式。作業(yè):第四節(jié)空間直線及其方程教學目的：介紹空間曲線中最常用的直線，與平面同為本章的重點教學重點：1.直線方程2.直線與平面的綜合題教學難點：1.直線的幾種表達式2.直線與平面的綜合題教學內容：一、空間直線的一般方程空間直線可以看成是兩個平面的交線。故其一般方程為：，A1x + By+C1Z + D1 =0、A2x + B2y+C2z + D2 =0二、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程平行于一條已知直線的非零

25、向量叫做這條直線的方向向量。已知直線上的一點 Mo（Xo, yo, zJ和它的一方向向量s =m,n, p,設直線上任一點為M（X, y, z）,那么M0M與s平行，由平行的坐標表示式有：x - Xo _ y - yo _ z -Zom n p此即空間直線的對稱式方程（或稱為點向式方程）。（寫時參照書上注釋）如設x - xoy - yo z - Zo +=tm n p就可將對稱式方程變成參數(shù)方程（t為參數(shù)）x = xo mt< y = yo+討、z = zo + pt三種形式可以互換，按具體要求寫相應的方程。例1:用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線x+y+z+1=0、2x 一 y + 3z

26、+ 4 = o解：在直線上任取一點（Xo, yo , Z0 ）,取Xo = 1=< y0 +z0 +2T0n解得“0 3Zo -6=0yo =O,Zo = 2,即直線上點坐標（1,0,-2）因所求直線與兩平面的法向量都垂直取s = n1父n2 =4,-1, -3對稱式方程為：x -1 y 0 z+2.、x 1 4t二=y0 = z_參數(shù)方程：J y = _t例2 一直線過點A（2,3,4）,且和y軸垂直4-1-3z = -2-3t相交，求其方程 解：因為直線和y軸垂直相交，所以交點為B（0,-3, 0）fs=BA =2,0,4,所求直線方程：士2=x3 =三二4兩直線的夾角204兩直線的

27、方向向量的夾角（通常指銳角）叫做兩直線的夾角。設兩直線L1和L2的方向向量依次為 科=mi,n1，p1和S2 =m2,n2, P2,兩直線的夾角可以按兩向量夾角公式來計算cosmm2ngP1P22221n1P1222m2n2 p2兩直線L1和L2垂直： m1m2+n1n2 + p1P2 =0 （充分必要條件）兩直線L1和L2平行:m1P1m2n2P2（充分必要條件）例3：求過點（-3,2,5）且與兩平面x-4z=3和2x y-5z = 1的交線平行的直線方程解：設所求直線的方向向量為s =m,n, p,根據(jù)題意知直線的方向向量與兩個平面的法向量都垂直，所以可以取三、直線與平面的夾角s = ni

28、工n = T,3,1所求直線的方程當直線與平面不垂直時， 直線與它在平面上的投影直線的夾角邛（0 M甲M ：）稱為直線冗與平面的夾角，當直線與平面垂直時，規(guī)定直線與平面的夾角為一。2設直線L的方向向量為s =m,n,p,平面的法線向量為 n =A, B,C,直線與平面的夾角為中，那么sin '=Am Bn CpA2 B2 C2 m2 n2 p2ABC直線與平面垂直：S/n 相當于 一二一=一（充分必要條件）m n p直線與平面平行：s_L n相當于Am + Bn +Cp = 0（充分必要條件）平面束方程：'x+y z1=0 ,一_ 過平面直線的平面束萬程為xy+z+1=0（Ai

29、x Biy Ciz Di） （A2x B2y C2z D2） =0四、雜例：例1:求與兩平面x 4z=3和2x y5z= 1的交線平行且過點 （3, 2, 5）的直線方程。解：由于直線的方向向量與兩平面的交線的方向向量平行，故直線的方向向量s 一定與兩平面的法線向量垂直，所以i j ks= i 0-4 =（4i +3j +k）2 -1 - 5因此，所求直線的方程為x 3 y-2 z-54 一 3 一 1例2:求過點（2, 1, 3）且與直線"=三垂直相交的直線方程32-1解：先作一平面過點 （2, 1, 3）且垂直于已知直線（即以已知直線的方向向量為平面的 法線向量），這平面的方程為

30、3(x -2) 2(y -1) -(z -3) =0再求已知直線與這平面的交點。將已知直線改成參數(shù)方程形式為x= -1+31y=1+2tz=-t,一、一 一 3.一、,2 13 3并代入上面的平面方程中去，求得t= °,從而求得交點為（2,13,-9）77 77以此交點為起點、已知點為終點可以構成向量s即為所求直線的方向向量21336s =2,1 -一,3 =2,-1,47777故所求直線方程為x - 2 y -1z -3T =F =4八、'x + y z 1 = 0.例3：求直線/在平面x+ y+ z = 0上的投影直線的萬程x-y+z+1=0解：應用平面束的方法'

31、x +y -z-1 =0，一_設過直線的平面束萬程為x y + z +1 =0(x y - z-1) (x - y - z 1) =0即(1 )x (1 - )y (-1 )z -1 = 0這平面與已知平面 x + y + z = 0垂直的條件是(1) 1 (1 - ) 1 (-1)1-0解之得 = -1代入平面束方程中得投影平面方程為y z 1 = 0所以投影直線為y -z -1 = 0、x+y+z = 0小結：本節(jié)介紹了空間直線的一般方程，空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程，兩直線的夾角(注意兩直線的位置關系)，直線與平面的夾角(注意直線與平面的位置關系) 作業(yè):第五節(jié)曲面及其方程教學目的：介

32、紹各種常用的曲面，為下學期學習重積分、線面積分打下基礎。 學生應該會寫出常用的曲面方程，并對已知曲面方程能知道所表示 曲面的形狀。教學重點：1.球面的方程2. 旋轉曲面的方程教學難點：旋轉曲面教學內容：一、曲面方程的概念1 .實例：水桶的表面、臺燈的罩子面等，曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡。2 .曲面方程的定義：如果曲面 S與三元方程F(x,y,z)=0(1)有下述關系：(1) 曲面S上任一點的坐標都滿足方程(1)(2) 不在曲面S上的點的坐標都不滿足方程(1)那么，方程(1)就叫做曲面S的方程，而曲面 S就叫做方程(1)的圖形。(3) 種常見曲面(1)球面例1:建立球心在 M 0(

33、x0, y0, z0)、半徑為R的球面的方程。解：設M0(X0,y0,Z0)是球面上的任一點，那么M0M =R即：,(x x0)2 (y y。)2 - (z-z0)2 = R或：(x -x0)2 (y - y0)2 (z-Z0)2=R2特別地：如果球心在原點，那么球面方程為(討論旋轉曲面)x2 + y2 +z2 = R2(2)線段的垂直平分面(平面方程)例2：設有點A(1,2,3)和B(2,-1,4),求線段AB的垂直平分面的方程。解：由題意知道，所求平面為與A和B等距離的點的軌跡，設 M(x, y,z)是所求平面上的任一點，由于| MA|=|MB | ,那么v(x -1 2 + (y 2f

34、+(z3 2 =x-2 2 +(y+lf +(z4)2化簡得所求方程2x-6y 2z-7 =0研究空間曲面有兩個基本問題：(1)已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程。(2)已知坐標間的關系式，研究曲面形狀。旋轉曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面叫做旋轉曲面，旋轉曲線和定直線依次叫旋轉曲面的母線和軸。二、旋轉曲面的方程設在yoz坐標面上有一已知曲線 C,它的方程為 f (y, z) = 0把這曲線繞z軸旋轉一周，就得到一個以 z軸為軸的旋轉曲面，設 M1(Q y1,z1)為曲線C 上的任一點，那么有f ( yi , Zl) = 0(2)當曲線C繞z軸旋轉時，點 Mi也繞

35、z軸旋轉到另一點 M (x,y,z),這時z= zi保持不變，且點M到z軸的距離d =4X? +y2 = |y1將zi = z, yi =±/x2+y2代入(2)式，就有螺旋曲面的方程為f( - . x2 y2 ,z) =0旋轉曲面圖繞哪個軸旋轉，該變量不變，另外的變量將缺的變量補上改成正負二者的完 全平方根的形式。常用旋轉曲面：錐面(直線繞直線旋轉，兩直線的夾角 3 (0°豆90° ),方程為：22/22、z = a (x y ) 其中a -cot ：三、柱面1 .定義：平 行于定直線并沿曲線定曲線 C移動的直線L形成的軌跡叫做柱面。定曲線C:準線動直線L:母線

36、2 .特征：x, v, Z三個變量中若缺其中之一（例如y）則表示母線平行于 y軸的柱面。3:幾個常用的柱面： 22 _ 2 _.，一，一b）圓枉面：x +y =R （母線平行于z軸）2c）拋物枉面：y =2x （母線平行于z軸） 四、二次曲面 1、定義:三元二次方程表示的曲面叫做二次曲面 2、截痕法用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加 以綜合，從而了解曲面的全貌，這種方法叫做截痕法。3、幾種特殊的二次曲面1 .橢球面方程為2 22上L = =13 , 22a b c使用截痕法，先求出它與三個坐標面的交線:-2222工+上1ix+z=122 -1 ,422 ,a ba cz = 0J - 0，22y+ z=1221,這些交線都是橢圓。再看b cx =0這曲面與平行于坐標面的平面的交線：橢球面與平面z = Z1的交線為橢圓（|z1 |<c）,同理與平面x = x和y = y1的交線也是橢圓。2x-24 a ,22.T(c -z1 )