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1、數(shù)學專題數(shù)學建模主題：向量問題模型建構與推廣 淵子編授有這樣一道數(shù)學應用問題：在哪裡建學校，可使附近的三個村子與的三位學生到學校所走路程的和最??？此問題實質(zhì)為：給平面上三點，試尋求一點，使距離和達到最小。這在歷史上被稱作的費馬點問題，所求的點稱為費馬點，就是建學校的位置。問題是：費馬點該如何構造或作圖呢？ 【課前預習】費馬(P. Fermat)是何許人也？數(shù)學解法：我們透過物理的概念來解決這個問題。 在物理學上，力是一種向量，諸力作用在一個點，當達到平衡時，這些力的向量總和剛好是零向量，例如：拔河比賽當雙方勢均力敵（處於平衡狀態(tài)）時，代表兩邊力量一樣大，但方向卻相反，即他們所施力量的向量和為零

2、?，F(xiàn)在取一個平滑的木板，在上面依比例畫出與三個點，並在處各挖一個小洞，取三條繩子紮結於一點，穿過洞各吊掛一隻猴子，如下圖所示。問題一：如果掛在點下方的小猴子重公斤，掛在點下方的中猴子重公斤，掛在點下方的大猴子重公斤，那麼當三股力量達到平衡時，求小猴子與中猴子拉線夾角的值。Solution. 事實上，物理學上還有一個最小位能原理，大意是說，系統(tǒng)會處在總位能最小的狀態(tài)，例如：河流裡的水會往低處流，原因是越低的位置，水的總位能越小。如果將掛猴子的模型調(diào)整為三隻猴子重量都一樣，那麼這樣的模型會有怎樣的意義呢？ 在上述物理模型中（三隻猴子的重量都一樣），考慮底下四個問題：(1) 當三股力量處於平衡狀態(tài)，而且點處於的內(nèi)部時，利用力的向量和為零的觀念，求角度的大小。(2) 當三股力量處於平衡狀態(tài)，而且點處於的內(nèi)部時，利用最小位能原理解釋：此時的點會讓最小。(3) 如何以尺規(guī)作圖求出上述平衡點？或者說，作出讓到三頂點之和為最小的費馬點。Solution.【問題討論】(1)此點可不可能在三角形外(2)何時點會落在的邊上?！締栴}延伸與推廣】1.三邊分別為a,b,c，面積為S，P為其費馬點，則2.費馬問題推廣到二次線段： 當所在平面上的

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