1、高三數學圓錐曲線專題一.知識要點1、 直線的斜率公式：k tan匕一 x1 x2 為直線的傾斜角x2 X-兩種常用的直線方程：1點斜式2斜截式2、 直線與圓的位置關系有：相交、相切、相離三種，其判斷方法有：幾何法常用方法假設圓心到直線的距離為 d,圓的半徑為r,那么：d r直線與圓相切d r 直線與圓相交 d r直線與圓相離代數法由直線方程與圓的方程聯立方程組，消元得到一個一元二次方程，那么：0直線與圓相切0 直線與圓相離0直線與圓相交3、圓的弦長假設圓心到弦的距離為 d,圓的半徑為r,弦長是I，那么I 2彳 d2 .4、 圓錐曲線的定義包括長軸，短軸，實軸，虛軸，離心率，雙曲線的漸近線等1橢

2、圓:2雙曲線：3拋物線：2 25、點P(x0, y0)和橢圓 務1 ( aa b2 2點P(xo,yo)在橢圓上卑 卷=1；a bb 0的關系：1點Px0,y0在橢圓外3點Px°,y。在橢圓2Xo2yob22西2a2 yo b21相交:0直線與橢圓相交;0 直線與雙曲線相交,但直線與雙曲線相交不一疋有0,6、直線與圓錐曲線的位置關系 ：由直線方程與圓錐曲線聯立方程組，消元得到一個一元二次方程，那么:當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有一個交點，故0是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；0 直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有0,當直線與拋物線的對稱軸平

3、行時，直線與拋物線相交且只有一個交點，故 件，但不是必要條件。0也僅是直線與拋物線相交的充分條2 相切：0 直線與橢圓相切；0 直線與雙曲線相切;3 相離：0直線與橢圓相離；0直線與雙曲線相離;0 直線與拋物線相切;0直線與拋物線相離。提醒：1直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時的位置關系有兩種情形:相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交，但只有一個交點；如果直線與拋物線的軸平行時，直線與拋物線相交，也只有一個交點7、弦長公式：假設直線y kx b與圓錐曲線相交于兩點 A、B，且x1,x2分別為A、B的橫坐標，貝U ABX2，假設y，y2分別為A、B的縱坐標，那么y2，假

4、設弦AB所在直線方程設為 X ky b，那么 |AB = Vi k2|y1 y2二.例題分析題型1:圓錐曲線定義的問題例題1. (07年高考)在平面直角坐標系 xOy中，圓心在第二象限，半徑為 2 2的圓C與直線y x2 2相切于坐標原點O ,橢圓 冷 - 1與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10 .a29(1) 求圓C的方程；(2) 試探究圓C上是否存在異于原點的點 Q，使Q到橢圓右焦點F的距離等于線段 OF的長假設存在，請求出點Q的坐標；假設不存在，請說明理由.變式1: (2021年一模)圓G：(x4)2y21,圓C2:x2(y2)21，圓C1,C2關于直線丨對稱(1) 求直線丨的方

5、程；(2) 直線l上是否存在點 Q，使Q點到A( 2 2,0)點的距離減去 Q點到B(2、2,0)點的距離的差為4 , 如果存在求出 Q點坐標，如果不存在說明理由變式2： (2021年一模)橢圓G的中心在坐標原點，兩個焦點分別為 R( 2,0) , F2 2, 0，點A(2, 3) 在橢圓G 上,過點A的直線L與拋物線C2 :x2 4y交于B, C兩點，拋物線C2在點B, C處的切線分別為l1, l2,且l1與l2交于點P.(1)求橢圓G的方程； (2)是否存在滿足 PF1 PF2 AF1 AF2的點P?假設存在，指出這樣的點P有幾個(不必求出點P的坐標)；假設不存在，說明理由題型2:圓錐曲線

6、的定值問題2X 例題2 :( 2021年二模)橢圓Ca詁1(a b 0)過點(0,1)，且離心率為于(1) 求橢圓C的方程；(2) A,B為橢圓C的左右頂點，直線l :x 2、2與x軸交于點D，點P是橢圓C上異于A, B的動點，直線AP,BP分別交直線丨于E,F兩點.證明：當點P在橢圓C上運動時，|DE | |DF |恒為定值.2 2變式1：( 2021年一模)橢圓 令與 1( a b 0)上任一點P到兩個焦點的距離的和為 6，焦距為 處2， a b代B分別是橢圓的左右頂點.(I)求橢圓的標準方程；(n)假設P與A,B均不重合，設直線 PA與PB的斜率分別為k,k2，證明：kjk2為定值；題型

7、3:直線與圓的位置關系問題例題3. ( 2021年一模)動點P與點F (1,0)的距離和它到直線l : x1的距離相等，記點 P的軌跡為曲線G 圓C2的圓心T是曲線G上的動點，圓C2與y軸交于M,N兩點，且| MN | 4.(1) 求曲線G的方程；(2) 設點A a,0 (a 2),假設點A到點T的最短距離為a 1,試判斷直線丨與圓C2的位置關系,并說明理由.變式 1: (2021年一模) A( 2,0) , B(2,0) , C(m, n) (1) 假設m 1, n 3，求 ABC的外接圓的方程；(2) 假設以線段 AB為直徑的圓O過點C (異于點 代B),直線x 2交直線AC于點R，線段B

8、R的中點為D，試判斷直線CD與圓O的位置關系，并證明你的結論.題型4:直線與圓錐曲線位置關系問題例題4. 2021年咼考在平面直角坐標系X2y2xOy中，橢圓 G：r21a b 0的左焦點為a bF1(1,0)，且點 P(0,1)在 G 上.(1)求橢圓G的方程；(2)設直線I與橢圓G和拋物線C2: y24x相切，求直線I的方程.變式1 11二模橢圓C :2 x2 a2.,_3b21a b 0的離心率為云，過坐標原點0且斜1 率為丄的直線I與C相交于A、B，|AB| 2 10 .2求a、b的值；假設動圓x m2 y21與橢圓C和直線I都沒有公共點，試求m的取值圍.題型5:圓錐曲線的相關最值(圍

9、)問題例題5. (2021年高考)拋物線C的頂點為原點，其焦點F 0,c c 0至煩線l : x y 2 0的距離為鼻2 .設P為直線l上的點，過點2P作拋物線C的兩條切線PA,PB，其中代B為切點.求拋物線C的方程;(2)當點P x0,y0為直線l上的定點時，求直線 AB的方程;(3) 當點P在直線l上移動時，求 AF BF的最小值.變式1:(2021年一模)動點P到定點F 72,0的距離與點P到定直線l : X2、2的距離之比為(1) 求動點P的軌跡C的方程；(2) 設M、N是直線丨上的兩個點，點E與點F關于原點O對稱，假設e|fn0，求MN的最小值._ _ 2變式2: (2021年一模)

10、在平面直角坐標系中，點P(1, 1)，過點P作拋物線T0: y x的切線，其切點分別為 M(Xi,yJ、N(X2,y2)(其中 Xi x?).(I)求x-i與x2的值；(n)假設以點 P為圓心的圓E與直線MN相切，求圓E的方程；(川)過原點 0(0,0)作圓E的兩條互相垂直的弦 AC,BD，求四邊形 ABCD面積的最大值題型6:綜合性問題2例題6. (2021年一模)橢圓x2 乞 1的左、右兩個頂點分別為 A、B 曲線C是以A、B兩點為4頂點，離心率為,5的雙曲線設點 P在第一象限且在曲線 C上，直線AP與橢圓相交于另一點 T .(1) 求曲線C的方程；(2) 設點P、T的橫坐標分別為x1、x

11、2，證明：x1 x21 ；(3) 設 TAB與 POB (其中O為坐標原點)的面積分別為 S與S2，且PA PB 15，求S? M 的取值圍.2y n 8 .該圓與參考答案例1、解：(1)設圓心坐標為(m n) (m<0, n>0),那么該圓的方程為直線y = x相切，那么圓心到該直線的距離等于圓的半徑，貝U竺上=242 .<2即m n = 4,又圓與直線切于原點，將點(0, 0)代入，得 m+ n2= 8.聯立方程和組成方程組解得m 222，故圓的方程為 x 2 y 28.2 2(2) a = 5 , a2= 25,那么橢圓的方程為 1 .259其焦距c = #25 9 =

12、 4,右焦點為4, 0,那么OF = 4.要探否存在異于原點的點Q使得該點到右焦點 F的距離等于 OF的長度4,我們可以轉化為探求以2 2右焦點F為頂點，半徑為 4的圓x 4 y 8與1所求的圓的交點數.4 12通過聯立兩圓的方程解得 x= - , y=上.5 5即存在異于原點的點 Q 4 , 12 ，使得該點到右焦點 F的距離等于 OF的長.55變式1、解：1因為圓C1, C2關于直線丨對稱,圓C1的圓心C1坐標為4,0，圓C2的圓心C2坐標為0, 2,顯然直線l是線段C1C2的中垂線， 3分線段C1C2中點坐標是2,1 , C1C2的斜率是k y 匪- , 5分x1 x24 021所以直線

13、l的方程是y 1x 2，即y 2x 3. 6分k2假設這樣的Q點存在， 因為Q點到A 2、.2,0點的距離減去 Q點到B2、2,0點的距離的差為4 ,所以Q點在以A 2、2,0和B2、2,0為焦點，實軸長為 4的雙曲線的右支上,2 2即Q點在曲線 1(x2) 上,44y2x 310分又Q點在直線l 上, Q點的坐標是方程組2 xy2的解，1412分4消元得3x212x 130 ,122 43 130 ,方程組無解，所以點P的軌跡上是不存在滿足條件的點Q.14分2 2變式2、1解法1：設橢圓G的方程為牛 E 1 aa b22依題意：a22a32 b2 b24.2 ab216,12.二橢圓C1的方

14、程為2 X16y121.解法2:設橢圓C1的方程為2 X2 a2 y b2根據橢圓的定義得2aAF1AF28，即a c 2 , b212 .橢圓C1的方程為2 X162y121.1解法1：設點B(x1,-42BA (2 X1,3X142X1 ), C(12X2,X24)，貝U BC(X2 X1，；(X|X12), A,B,C三點共線 Be /bA.- X2x132X12X22X1化簡得:X2)12.由x2-x2,得 y -42(分拋物線C2在點B處的切線11的方程為y1 2；X1X1),X1X21 24 X1 .分同理,拋物線C2在點C處的切線12的方程為X2X21 2產.設點P(x, y)，

15、由得：2X1 x21 24X1X2X21 24X2，1而 Xi x2，貝y x(Xi X2).分1代入得 y _ % x2, 10分4那么2x Xi X2, 4y X1X2代入 得4x 4y 12，即點P的軌跡方程為y x 3.分 11假設PFjPF2ARAF2 ，那么點P在橢圓C1上，而點P又在直線y x 3上，12分直線y x 3經過橢圓G 點(3,0),直線y x 3與橢圓G交于兩點分3解法 2：設點 B(X1, y1),C(X2, V2), P(Xo,yo),2121由x 4y,即y X ,得y x.份2X-jl1的方程為y y11 (x X1),12分y1 拋物線C2在點B處的切線X

16、112x y1 X1 .2212-y1-X1 , y4X1 x2點 P(x0, y°)在切線 l1 上,同理,X2- y0- x0 y1 .6 分27 分 2 ° x綜合、得，點 B(X1，yJ,C(X2，y2)的坐標都滿足方程y。 -X0 y.8分經過B(X1,yJ,C(X2, y2)兩點的直線是唯一的，直線L的方程為y0 Xx0 y ,9分2點 A(2,3)在直線 L 上，- y0 x0 3. 分點P的軌跡方程為yx3.11 分假設PFi PF2 AFi AF2 ，那么點P在橢圓Ci上，又在直線y x 3上，12分直線y x3經過橢圓G 一點3,0,直線y x 3與橢圓

17、G交于兩點滿足條件 PF1PF2AF1 AF2的點P有兩個. 14分解法3:顯然直線L的斜率存在，設直線 L的方程為y k x 23，y k x 23,2由消去y，得x2 4kx 8k 120. 4分2 .x 4y,設 B x1, y1, C x2, y2,那么 x1x24k, x1x28k 12. 5分2121由 x24y,即 yx2,得 y x.分42即yx2y1 2xf.1 212-y1X1 , yxx1 .424同理，得拋物線C2在點C處的切線x21 2l2的方程為y2 xx224X11 2冶X2y-xx1,x2k,由24解得2yx2x1 2X?,yx1x22k 3.244拋物線C2在

18、點B處的切線l1的方程為y y1xj ,分10分11 P 2k, 2k 3 . PF1PF2 ARAF2 ,2 2點P在橢圓c1 : L 1 上.16 122 22k 2k 3 1.16 12化簡得 7 k212k30.(*)2由124732280,13分14分滿足條件PF1PF2AF1AF2的點P有兩個可得方程*有兩個不等的實數根滿足條件的點P有兩個.例2、解：1由題意可知，b 1 ,a 22,22且 a b c .(2& 2)y。x° 2(2、2 2)y。x 2即 | DF | (2 & 2) 1 y01;|x。2| DE | | DF | (2、一 2 2) 1

19、 y0 1(2、一 2 2) 1 % 1|x° 2|x° 2|2而x° y 1，即4y： 4 x,代入上式，4 | DE | | DF | 1 , 所以 | DE | |DF | 為定值 1.4y：|x0 4|4y：4 xo10分12分14分解得a 2,2所以，橢圓的方程為 y21.4(2) A( 2,0), B(2,0).設 P(x°,y°) ,22 ,直線AP的方程為y (X 2)，令x 2 2，那么y X02即 |DE | (2 邁 2) | y0 | ;|X02|直線BP的方程為y2)，令x 2.2，那么yx。 2又 2c 4.2 ,

20、c 2 2 , b2a2c24設卩心丫00, A3,0),B(3,0),2Xgyo1，即 y0貝U k1yo, k2xo 3y。xo 349(9勺X：9221 Xo_即ki k2 J 汽Xo 9 Xo 9ki h為定值8例3、(1)解法1：設動點P的坐標為 x,y ,依題意，得PF x 1 ,即J X 1 2 y2 x 1 ,2分化簡得：y2 4x,曲線C1的方程為y2 4x.4分解法2：由于動點P與點F(1,0)的距離和它到直線l : x 1的距離相等，根據拋物線的定義可知，動點P的軌跡是以點F(1,0)為焦點，直線丨為準線的拋物線.2分曲線C1的方程為y2 4x.4分(2)解：設點T的坐標

21、為(x。，y。),圓C2的半徑為r ,t點T是拋物線G : y2 4x上的動點，2 y。4xo( xo 0).i122二 AT xo ayo 0 6 分:jfXo 2ax° a4x°x0 a 2 4a 4. a 2, a 2 0,那么當x0a 2時，AT取得最小值為2，8分依題意得 2-.廠1a 1,兩邊平方得a2 6a 50,解得a 5或a 1 (不合題意，舍去).10分二 Xo a 2 3, y2 4x) 12,即 y 2.3.圓C2的圓心T的坐標為 3,2-.3 .T圓C2與y軸交于M ,N兩點，且| MN | 4, I MN | 2.廠x4.- r 4 x2.13

22、.12 分點T到直線丨的距離d x0 14 Vl3 ,y2 Dx Ey F 0,直線l與圓C2相離.14分法2 :線段AC的中點為直線AC的斜率為k1342DF 0由題意可得42DF 0解得DE 0,F4,13 D、3EF0 ABC的外接圓方程為x22y420，即xy2 4.-6變式1、解：1法1：設所求圓的方程為 x2線段AC的中垂線的方程為、3X *，線段AB的中垂線方程為x 0 ,ABC的外接圓圓心為0,0，半徑為r 2 , ABC的外接圓方程為2 2x y 4. 6分2為半徑法 3: :ioc| ；1 02 3 02 2，而 |OA| |OB| 2 , ABC 的外接圓是以 O 為圓心

23、， 的圓， ABC的外接圓方程為x2 y24. 6 分法4 :直線AC的斜率為k13，直線BC的斜率為k2<3, k1 k21，即AC BC3 ABC的外接圓是以線段 AB為直徑的圓， ABC的外接圓方程為x2 y24 .分2由題意可知以線段 AB為直徑的圓的方程為 x2 y2 4，設點R的坐標為2,t, A,C, R三點共線,分，而 aC (m 2,n) , aR(4,t)，那么4n t(m 2),直線CD的斜率為. mnk2nR的坐標為(2,上丄m 22nnm 2m 212)，點D的坐標為(2,m(m 2)n 2nm24分，.直線2n2)，CD的方程為y10m)，化簡得mx ny 4

24、圓心O到直線CD的距離dr，所以直線CD與圓O相切.14例4、解：(1):依題意：c=1,貝V： a2b21,2 2 設橢圓方程為： x yb21 b2將P(0,1)點坐標代入，解得：b2 1所以 a2 b2 11 12故橢圓方程為:(2)設所求切線的方程為：y kx my2 x 2kx m消除y2 '(2 k 1) x2 24kmx (2m2)1 (4km )24(2k21)(2m22)m2 2k21化簡得:同理：聯立直線方程和拋物線的方程得:y kx my2 4x消除y得：k2x2 (2km 4)x m202 2km 42 4k2m2 0化簡得：km 1將代入解得：2 k4 k21

25、0解得：k2 -,k21舍去，故k二或者k 2 2 2當k 1時，m 2,當k 1時，m 2巧F2_故切線方程為：y x 、.2或者y- x . 2229分10分12分14分變式1、解：1證明：將2 y b21，消去X，得(a2 b2)y2 2b2yb2(1a2)由直線I與橢圓相交于兩個不同的點,422-4b 4b (a b )(1 a )4a2b2(a2b2 1)0所以a2 b21(2)解：設 A(x1, y1)，B(X2, y2)由,y1y22b2a2 b2，y1 y2b2(1a2)a2 b2因為AF2FB,得y12y2所以,y12b272 口y2，yyb2(1 a2)a2 b222y2消

26、去y，得b2(1 a2)a2 b22(-)2化簡，得(a2b2)(a2I)8b21i分因F是橢圓的一個焦點，那么c=i, b2=a2i代入式，解得a29b2-1Q Zk13分2，2所以，橢圓的方程為2x22y2i 1 4 分97例5、解析(i)依題意d -0 c 23逅解得c i (負根舍去)2拋物線C的方程為X24y ；(2)設點 A(Xi, yi), B(x2, y2) , P(xo,y°),2 1 2 1由 x 4y,即 y x ,得 y x. ks5u42拋物線C在點A處的切線PA的方程為yyiXi),Xi12x yi Xi .222Xiyi 4xi, y 7x yi .點

27、P(xo, y°)在切線 h上，- y°x° yi .2同理，yo x2 xo y2.2x綜合、得，點 A(Xi, yi), B(X2, y2)的坐標都滿足方程y。 一 x。 y.2經過A(xi, %)月(冷，y2)兩點的直線是唯一的，x直線AB的方程為y0 x0y，即xox2y2y00 ；2(3)由拋物線的定義可知AFyi i, BF y2i ,所以 AF BFyi i y2 iyi y2 y,y2 i4y2y2yoy1y22xo2yo,1 *yo2o聯立YiY2AFBF2yox2消去X得y22yo2yo x(? 1=yo 2yo2 y02Xoyo=2yo2y&

28、#176;+5=221 9yo+2 2當yoAF BF取得最小值為變式1、(1)解：設點P x, y ,依題意,X ,2y2x 2悶2整理，得4所以動點P的軌跡C的方程為1.(2)解：點E與點F關于原點O對稱,點E的坐標為 、,2,o ./ M、N是直線丨上的兩個點,N .2, y2 (不妨設可設 M 2 .2, % ,/ eMjfN o,- 3邁 yj .2,Y2即 6y1y20 .即y2y1由于 y2，那么y1y1 y26y1 *y2o.26 .當且僅當比.、6 , y2V6時，等號成立.故MN的最小值為2J6.變式2、解析：I由y X2可得，y 2x .直線PM與曲線T0相切，且過點P1

29、, 1 , 2為2X1Xi'2，或為12,同理可得：x22，或 X212X1X?，X1X2n由I知,X1X22, X1X21，那么直線MN的斜率ky1 y22X12X2x1X2X1X2X1x2 , -6 分直線M的方程為:X1 X2XX1)，又 y12X1 , y X2 (X1X2)Xx1 x1x2，即 2x y點P到直線MN的距離即為圓E的半徑，即|2 1 1|4、廠 '一 521664故圓E的面積為S 4 r2455|bd1川四邊形 ABCD的面積為S - AC2不妨設圓心E到直線AC的距離為d1，垂足為E1 ；圓心E到直線BD的距離為d2,垂足為E2 ;AC2 . r2d

30、12, BD2 , r2 d2,10EE1OE2d12dfOE2(120) ( 10)2 211所以(BD2 .'r2 dl 'r2 d；,2 x 2小 2z ,2d2) 2r (d1d|)2222 ，當且僅當d1d2時等號成立14例 6、(1)解：依題意可得，A( 1 , 0)、B(1 , 0),b=2.所以雙曲設雙曲線C的方程為x2 £ = 1(b>0)，因為雙曲線的離心率為.5 ,所以 廠尸、5，b21線C的方程為x2證法1:設點程為 y=k(x+1).y = k(x +1)聯立方程組2,2 y dx += 142£=1.4P(X1, y1) , T(X2, y2) , (xi>0 , yi>0 , i=1 , 2)，直線 AP的斜率為 k(k>0)4分,那么直線AP的方整理，得(4+k 2)x 2+2k2x+k2 4=0,解得 x= 1 或,2X=±A.所以4+k2_ 4 k2X2 = 4+k2，同理可得，洛=,4 k2-8分y1) , T(X2, y2) , (Xi>0,所以X1 x 2 =1.證法2:設點P(x 1,yi>0, i=1 , 2)，那么kAP十X1 +1，kATy?x2 +1因為kAF= k AT,所以y2x1