1、不定積分和微分一、公式和的應用注意：的不定積分為是的原函數是的導數，即 或1、已知不定積分的值，求被積函數或被積函數中的一部分，利用兩邊求導處理已知，求方法：求導得，令，則，即例1（1），求解：對求導得，則（2），求解：對兩邊求導得，即2、已知導數值，求原函數，利用兩邊積分的方法處理已知，求方法：令，則，即，故例2（1），求解：令，則，即 兩邊積分的（2）已知，求解：令，則上式為，即由上面兩式得兩邊積分得（3）設在內可導，且，又，求解：令得，則 即當時，兩邊積分得當時，兩邊積分得又因為設在內可導，所以在內連續而，因為在處連續，則，即故（4）設在處的改變量為（），求解：由 知 即兩邊積分得 得

2、而 故 ，即 故（5）設，求解： 二、已知是的原函數，求被積函數中含有的積分1、由求出，代入積分計算2、把積分轉化為的形式，利用求值例3（1）是的原函數，求解：因為是的原函數，所以而（2）是的原函數，求解：因為，所以則三、已知的表達式，求被積函數中含有的積分1、由求，再把的表達式代入積分計算2、由先求，把含有的積分轉化為的形式處理例4（1），求解：在中，令得 因為所以（2），且求解：令，則，而則 即（3），連續，求解：因為，所以，（4），求解： （5），求解：（6）設，求解：因為，所以 四、利用湊微分法求積分 注意：例5（1），求解： （2）設二階可導， ，求解：（3）設，求解： 因為，所以而

3、，故五、已知，且，求方法：兩邊積分，得，求例6（1）是的原函數，且時，有，又，求解：因為是的原函數，所以，由于 故，兩邊積分得 而 故，又得而，所以 （2）連續，且當時，求解：令，由于則 兩邊積分得 即 故 因為 令得，代入上式故，（3）已知為非負連續函數，且時，求提示：因為，令處理六、變上限積分的導數運算注意：(1)如，則，則(2)如，則由復合函數的求導法則有 (3)如，可得成，則例7（1）已知滿足，求 解：兩邊求導得 即兩邊積分得，所以（2）求一個不恒等于零的連續函數，使它滿足 解：兩邊求導得即 因為是不恒等于零的連續函數，故兩邊積分得在中令，得代入上式有故注意：（1）上題要充分利用已知條

4、件確定初始條件（2）定積分或變上限積分的被積函數有參變量時，必須通過換元，使被積函數不含參變量，然后再求導例8（1）已知連續，求 解：令， 則即 兩邊求導得：因為 ，上式中令得所以 （2）求可導數，使它滿足解：令，則因為，所以兩邊求導得兩邊積分得（3）由方程（）確定是的函數，求 解：對求導得，故（4）是由確定的函數，求 解：對求導得故在中令時，有，即故注意：此題確定的方法（5）設為已知可導奇函數，為的反函數，則解：令，則所以令，則兩邊積分得故（6）設函數可導，且，求解：令，則由于 故七、求分段函數的不定積分先分別求分段函數的各分段在相應區間的原函數，然后考慮函數在分段點處的連續性。如果在分段點

5、處連續，則在處連續例9（1），求 解：當時，當時，因為在處連續，故，即所以（2） 解：當時，當時，當時，求滿足的原函數由于，即 得，又由于，即 得（3）（） 解：分別求出在區間（）上滿足的原函數在上，在上，故八、分段函數的變上限積分例10（1），求，并討論在的連續性解：當時，當時，在上連續，在處，故在處連續（2），求解：令，則當時， 此時當時， 此時九、積分估值估計積分的值方法：（1）令，（2）求，確定和不存在的點（3）在上確定的最值（4）利用估計積分值例11估計積分值解：設函數，其中令，得因為，故所以 十、形如的等式，求和方法：（1）令（2）兩端積分得,求的值（3）把的值代入原式求例12設，

6、求 解：令，則 兩邊積分即 兩邊積分即 故，即十一、已知函數在上的形式，求方法：（1）求（2）對兩邊積分得（3）取，由已知條件求的值確定例13（1）設，求+ 解：兩邊求導得，所以（為常數）又因為當時，所以 （2）設， +，求解：兩邊求導得，所以（為常數）又因為當時，所以 十二、例14 已知，求.解：因為所以兩邊對求導得故 即或當時,令,則,此時兩邊積分得 而 所以,即同理（略）十三、計算1、如果，令得 則 得例15 解：令，即則 所以 即 2、形如的積分，令，然后相加處理例16 解：令，則所以故3、形如令確定例17（1） 解：令比較上式兩端得 即，（2）解：令比較上式兩端得 即，4、利用公式處

7、理例18解：5、利用計算，每用一次分部積分法，被積函數的分母次數降低一次例19（1） 解：因為 而 故 （4）解：則令，則原式=由上式知，原式=6、當在上可積，則例20（1） 解： （2）解： 7、積分，作變量替換得則 例21（1）解： 所以 （2）解： 8、利用被積函數的奇偶性求積分如果是上的偶函數，則如果是上的奇函數，則例22解：因為函數是奇函數，故所以 9、湊微分法利用第一換元法和分部積分法常見的湊微分公式 例23（1） 解：（2） 解： （3） 解： 10、分段函數的定積分例24（1） 解：（2） 解：令，當；當則注意：，其中稱為歐拉常數，且（3） 解： （4） 解： （5） 解： (

8、6)解：（7）解：令，當時，；當時，所以 (7) 解：當，得，其中當，得，其中故 （8） 解： (9) 解： 11、利用第二換元法求積分例25（1） 解：令，則， （2）（為自然數） 解：因為則 令 ，則，所以 再令則 （3） 解： 12、被積函數中含有的形式，一般作代換例26 解：令，13、雜題例（1） 解：令，則而 （2）解：           （4）解：（）分析：而故（此方法易想到但太繁，解略）十四、積分的應用1、利用轉軸公式求值如果平面內一點的舊坐標和新坐標分別為和，則轉軸公

9、式為例：設D：， 1) 求D的面積；2)求D繞旋轉一周的繞旋體體積。解 把直角坐標系順時針轉，使為軸，此時轉軸公式為則的各邊界在新坐標系下的坐標為，1）2)2、求值例（）設直線與拋物線所圍成的圖形面積為，它們和直線圍成的圖形面積為，且。（1）求，使最小（2）求該最小值所對應的平面繞軸旋轉所得旋轉體的體積（）設平面圖形由與所確定，求該圖形繞直線旋轉所得旋轉體的體積。（）求曲線與所圍成圖形繞軸旋轉所形成的旋轉體的體積（）過點作拋物線的切線，該切線與拋物線及軸圍成一個平面圖形，求該圖形繞軸旋轉所成的旋轉體體積。（）在曲線（）上求一點，使該點的切線被兩坐標軸所截的線段和該曲線以及過線段端點而垂直于軸的

10、兩直線所圍圖形的面積最小。（）求常數，使曲線與直線所圍圖形的面積最小（）設在上連續，在內，有，證明：在內存在唯一的點，使曲線與兩直線和所圍成圖形的面積是曲線與兩直線和所圍成圖形的面積的面積。（）已知（），求與軸圍成的面積。（）設過，當時，如果它與軸、直線所圍圖形面積為，求使圖形繞軸旋轉所成的體積最小。注意：補充隱函數的積分例：設函數是由確定的隱函數，求（換元法）習題1、求值（1），求（2），求 （3），求2求值（1），求（2），求（3），且，求（4），且，求（5）設在處的改變量為，求（6）是的原函數，求3 是的原函數，求4（1），求，（2），求（3）是的一個原函數，求（4），求（5），求（6）

11、，求（7），求（8）的一個原函數為，求5（1） （2）（3），求（4），且，求6（1）是的原函數，且時，有，又，求（2）設，且 ，當時，有，試求。7（1）設時，其中連續，求(2)設是上的已知連續函數，求函數，使，且當時，的表達式(3)，求(4)求，在上的極值和最值(5)在內連續，且，求(6)（），求8（1）已知連續，求（2）已知連續，求、（3）設是的連續函數，求（4）設（），求（5），的導數與為等價無窮小，求(6)設f(x)在（，+）內連續，且，求。(7)求，其中f(t)為已知的連續函數，為已知可微函數。（8）已知當時，的導數與為等價無窮小，則（9）設在上可導，有，其中為常數，求(10)，求（

12、11）已知，其中由方程組確定，求9（1），求（2），求（3） （4） （5）（6）（7）（8）的不定積分為，求（9）求，其中10（1），求（2）設，求（3）設在上連續，且，求11（1）證明（2）證明（2）估計積分值12（1）設，求和（2）設，求（3）設，求、13(1)設時，求（2）當時，設，。求的關系14設，如果，且時，求15求積分（1） （2）16求積分（1） (2) 17求積分（1） （2） （3）18求積分19求積分（1）（2）20求積分（1）（2）21（1）證明（2）求 （3）（4） （5）22求積分23求積分（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）注意：積分

13、可在分母中提出一個，湊微分處理。例24求積分（1） （2） （3） (4) （5） (6) （7） （8） （9）25（1）（2）（3）（4） （5） (6)(7) (8) (9)(10) (11) (12)(13)(14) (15) (16) (17) (18)(19) (20) (21)26求積分（）（做代換） （）（）設為閉區間內使得被積式有意義的一切值所構成的集合，求積分 。(4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) （）求拋物線和直線圍成的平面圖形繞直線旋轉一周所得的旋轉體體積。（）求由曲線所圍圖形的面積，并求當該圖形繞直線旋轉一

14、周所得旋轉體體積（1）求和內部的公共部分的面積（2）過點作拋物線的切線，求該切線與上述拋物線及軸圍成的圖形面積，并求該圖形繞軸旋轉一周所成的體積。()假設曲線：（0）、軸和所圍成的平面區域被曲線：分為面積相等的的兩部分，其中是大于零的常數，試確定的值。()求拋物線與所圍平面圖形的面積（）求曲線，與直線所圍平面圖形的面積（）求由曲線，及所圍圖形的面積（）曲線（）與交于點，過坐標原點和點的直線與曲線圍成一平面圖形，問為何值時，該圖形繞軸旋轉所得旋轉體體積最大，并求最大值。（）設定義在上，為上的任一點，問當為何值時，圖中兩個陰影部分的面積之和取最小值（）曲線（1）在原點與（）之間找一點，使這點的左右

15、兩邊的陰影部分的圖形面積相等，并寫出的表達式（1）求（1）求在之間由曲線所圍圖形的面積（1）求拋物線及其在點和點處的切線所圍成的圖形的面積（1）求由曲線（）與直線及所圍圖形分別繞軸、軸及旋轉所成的旋轉體體積（1）拋物線通過點，且當時，它和直線及所圍成的圖形的面積是，問該圖形繞軸旋轉而成的旋轉體的體積為最小時，是多少？1. 什么是積分變限函數？所謂“積分變限函數”就是用定積分定義的函數，其中自變量出現在積分的上限或下限。在講牛頓-萊布尼茨定理時，我們用定積分對一個連續函數 f(x) 函數，定義了一個這樣的函數：由于這個函數的自變量 x 在積分上限，我們稱這樣的函數為“積分上限函數”。在微積分里證

16、明了：這個積分上限函數是 f(x) 的原函數，或者說，f(x) 是這個積分上限函數的導數。這個結論直接導致了微積分基本定理：牛頓-萊布尼茨公式。當然，變量也可能出現在積分下限，甚至上限和下限都可以含有自變量，我們把這類函數統稱為“積分變限函數”。積分變限函數與以前所接觸到的所有函數形式都很不一樣。首先，它是由定積分來定義的；其次，這個函數的自變量出現在積分上限或下限。因此，這種函數給人一種新鮮感、神秘感。一些同學甚至對這種函數形式感到很茫然。2. 為什么函數要用定積分來表示？哪些函數要用積分來表示？有的人覺得奇怪，為什么有的函數要表示成積分的形式？其實，并不是數學家們故弄玄虛，故意要把函數寫成

17、這種復雜的形式來為難我們，這實在是不得已而為之的事情。因為有很多函數（有不少還是重要的函數）沒有辦法寫成我們喜歡的初等函數的形式（有限的形式），它們只能用這種積分的形式來表示。例如，概率積分（也叫誤差函數）就是一個積分上限函數。由于數學家已經證明其被積函數 e(-x2)  的原函數不是初等函數，所以這個積分是“積不出”的 (我們不能用定積分的牛頓-萊布尼茨公式求出原函數，再代入上、下限)。所以這個函數就只能寫成積分上限函數的形式。（當然，我們也可以將被積函數展開成冪級數，再逐項積分，然后代入上、下限。這樣可以把這個積分上限函數表示成無窮級數的形式。見教材下冊226頁，例4）。這種“積

18、不出”的積分變限函數大量存在于很多學科領域。在數學中，我們把這種函數稱為由積分定義的“特殊函數”（Special function）（其中包括伽馬函數、貝塔函數、概率積分（誤差函數）、正弦積分函數（余弦積分函數）等等）。這些函數的研究已經超出非數學專業本科生的學習范圍。3. 積分變限函數的有圖形嗎？圖形怎么作出？請問：你是否曾經親眼看見過積分變限函數的圖形？ 我想，絕大多數同學都會說：“沒有！”（不管在教材上、還是在課堂上。） 有的同學可能會說：“它們還有圖形？我怎么沒有想過這個問題？”是的，積分變限函數（跟其他形式的函數一樣）是有圖形的。由于積分上限函數一般不是初等函數，所以它們的圖形很難畫

19、出。因為要作出積分變限函數的圖形，你必須計算大量的定積分（還要用近似計算的方法）。這就是為什么微積分教材中有很多積分變限函數，但是我們卻看不到這些函數的圖形！在課堂上，老師也不可能在黑板上用粉筆畫出它們的圖形。但是，如果利用先進的計算工具，這種情況就可以改變。今天，我們利用計算機和數學軟件（例如Maple、Mathematica、Matlab），就不難作出積分變限函數的圖形。因為對于計算機而言，計算大量的定積分是輕而易舉的事情，我們只要用數學軟件編出一個小小的程序，計算的事情由計算機去完成就可以了。4. 一些積分變限函數的圖形下面就讓我們來親眼看一看利用數學軟件Maple編程畫出的一些積分變限函數的圖形。這些圖形使得積分變限函數不再神秘。（1）正弦積分函數 (Sine integral function 或 Sine integral)（教材下冊，227頁，例5）with(plots):quxian:=plot(int(sin(t)/t,t=0.01.x),x=-40.40,thickness=3):display(quxian,title="The sine integral function"); （2）誤差函數（概率積分）(Error function)（教材下冊，226頁，例4）