1、定積分的應用(一)平面圖形的面積1.求曲線y = X 2S2(1 )= a =3 ,1 a與直線y = x 2所圍成的平面圖形的面積.(1990 年)2 2 9【解答】S丿(x 2)-x2dxp2 .已知曲線y=a、x,a 0與y=l n.x在點(xo,y)處有公共切線如圖，(1)求a的值與切點坐標；(2)兩曲線與x軸所圍成的平面圖形的面積S.(1994年)【解答】在該點既相交又相切(縱坐標相等；斜率相等)(1)由題意知乳小川曲0得a(2) 列出F(x) = -xj f(x)dx,并驗證它所滿足的羅爾定理的條件； L.(a(x)：仝=(lnx)：仝2xo2&。px解得a L,1 =1 n .

2、x0即有a ，切點為(e,1);xo124(2)選取y作為積分變量，則有S = Jo(e2y -e2y2)dy=乞一o623. 在曲線y = x2,x_0上某點A作一切線，使之與曲線以及 x軸所圍 成的平面圖形的面積為 丄，試求(1)切點坐標；(2)過切點A的切12線方程.(1988年)【解答】切點坐標為(1, 1),切線方程為y = 2x-1.4. 設曲線J : y = 1 - x2,0空x乞1與兩坐標軸所圍成的平面區域被曲線L2: ax2分為面積相等的兩部分，其中a為大于零的常數，試確 定常數a的值.(1991年)丄1【解答】S = J 氣1-x2-ax2)dx , S = .0(1-x2

3、)dx 二 ST 5 則有5. 設曲線丫 = e：x 0，試在曲線上找一點使過該點的切線與兩坐標軸 所圍成的平面區域面積最大，并求出該面積.(1992年)【解答】設切點為P(a,e)，則過該點的切線斜率為e，切線方程為 y-e=-e(xa);切線與兩坐標軸分別交于(0,(1 a)e)和(1 a,0)； 從而求得 !(1 a)1 (本題核心)證明F (x)的單調性，從而證明滿足F (x)=0的 的唯一性.11提示：要證 Ef(x)dx,設 F(x)=-xJ f (x)dx-x以微分中值定理作為解題主要理論依據的題在考研中經常出現，本題也屬此類,但以積分形式出現，有新意.e = S(a)，求得駐點

4、為1， 1 (舍去).2所求點為(1,eJ)，面積為2eJ.6. 設y二f(X)是0,1上的任一非負連續函數，(1)證明存在：(0,1)使得在0,上以f()為高的矩形面積等于,1上 以y = f(x)為曲邊的曲邊梯形的面積；_2 f (x)若y二f (x)在(0,1)內可導且f (x)-，證明是唯一的.X(1998年數一 6分)難度0.28,區分度0.43(11)【考查知識點】(1) 根據題目描述的幾何意義，列出欲求的應滿足的式子;1f ( ) f (x)dx7. 設曲線極坐標方程為亍二ea，(a . 0)，則該曲線上相應于二從0變到2二的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積為 丄一1).4a(20

5、03年數學二填空)【分析】在極坐標系下，由曲線r =r(R，直線，及八1所圍成的 平面圖形的面積為丄fr2(0)d日，于是有A(e昭)2d日=-e2珀旳.22 *o2 o8. 位于曲線y二xe(0乞x ： *)下方，x軸上方的無界圖形的面積 是1. (2002年數學二填空)【分析】這是無窮區間上的廣義積分的幾何應用題， 所求面積用廣義 積分表示為 xedx；本題難度值為0.80，區分度為0.45，屬于 第V類試題.9. (2001年數學二)設L是一條平面曲線，其上任意一點P(x,y)(x 0)到 坐標原點的距離，恒等于該點處的切線在y軸上的截距，且L過點(-1,0).(1)求曲線L的方程;求L

6、位于第一象限部分的一條切線，使該切線與L以及兩坐標軸所 圍圖形的面積最小.【分析】第一問顯然是解微分方程的定解問題，其中關鍵是列出微分方程 ：xyy-xy ;第二問是最值問題，關鍵是寫出圖形面積的表達 式.本題得分率較低，一個主要的錯誤是對截距的理解，寫成了 y-xy , 這樣往下就不好做了 .本題難度值為0.35,區分度為0.55,屬于V類.fe2x x 蘭 010 .設F (x)2；, S表示夾在x軸與曲線y二F(x)之間的面積,le , x 0對于任意的t 0, S(t)表示矩形X豈t,0豈y豈F (t)的面積.求S(t)二S - S(t)的表達式與最小值.(2004年數學四)【分析】畫

7、出S, Si(t)的圖形，然后建立它們的表達式：矩形面積S(t)=2te/，計算S=1要用到無窮積分，建立S(t) = S S(t)的 表達式；(這就考察了考生能否把一個實際問題轉化為數學問題的綜合能力) 最后應用函數導數與函數極值的關系定理求出S的最小值.(在計算過程中考察了考生對無窮積分斂散性的概念是否理解及計 算無窮積分的能力，同時也考察了考生是否會求函數的最小值.)【解答】(I),S(t)=2te= S(t)=1-2te = tE (0,址)1(II) S(t) = -2(1 -2t)e是唯一駐點11 10 t -,S(t) 0;t-,S(t) 0可知，t=,S(t)為極小值。或2 2

8、 2S”(t) =8(1-t)e 2= S (l)=4 .0= S(1)為極小值也是最小值.2 e2 e11 .已知拋物線y二px2 qx (其中p :：: 0,q 0 )在第一象限內與直線x y =5相切，且此拋物線與X軸所圍成的平面圖形的面積為S.問p和q為何值時，S達到最大值？求出此最大值.(2001年數學三)【分析】這是一道綜合了微分與積分等概念的題目.利用定積分求出S 的面積S( p, q),再利用拋物線與直線相切的條件，確定p和q的關系， 從而將求S( p, q)的極值化為一元函數極值問題.本題難度值為0.54，區分度為0.55，屬于第V類試題.X軸的交點橫坐標【解答】依題意知，拋

9、物線如圖所示，求得它與為 X = o,x2 = _ q=pq3x y = 5,2丄y = px qx,V(1 q)2.面積 S = p P ( px2 qx)dx 二 .因直線與拋物線相切，故它們有唯一公共點由方程組丿 得px2 (q T)x - 5 = 0，其判別式必等于零，因而有p =3323( q 1)從而得到S(q)=誥廠S (小200q (3 ;q)解得駐點q=3.當 0 ： q ： 3 時，S (q)0;當 q 3 時，S (q) ： 0.于是當q=3時，S(q)取得極大值，即最大值. 此時p = - 4，從而最大值為S二竺.532(二) 平面曲線的弧長1.設位于第一象限的曲線y

10、= f(x)過點(,丄),其上任一點P(x,y)處的2 2法線與y軸的交點為Q,且線段PQ被x軸平分.(1)求曲線y = f (x)的方程；已知曲線y =s inx在0,二上的弧長為丨，試用丨表示曲線y = f (x)的弧長s.(2003年數學二)【分析】本題是微分方程與定積分幾何應用題，涉及內容有曲線的法 線,一階微分方程求解，定積分幾何應用等.根據已知條件求出曲線 y =f (x)的方程以及用定積分表示曲線 y =sinx在0,二上的弧長都是基 本要求.但由于y二f(x)是橢圓位于第一象限的部分，其弧長以及y =sinx在0,二上的弧長丨都是算不出來的，故需通過定積分的換元法找到丨與s之間

11、的關系.n 主要錯誤是沒有弄明白第二問的題意，不寫出丨=2 J1 cos2xdx的表達式，便試圖從131 02 14.x3所以拋物線在點M （x, y）處的曲率半徑=（x）二丄二k3(i_y2)2yJ(4x 1)2拋物線上AM的弧長為S = s(x)dx 二由參數方程求導公式得d-dxdsdxd2?X114xdx.dsdsds2,4x1 dxds2-(ds9.本題得分率只有40%,究其原因是不少考生沒有弄清題意，不知道求 什么;其次，雖然給出曲率的一般公式（目的是減少考生背公式的數量） 但仍然有不少考生不知道曲率半徑為曲率的倒數 ，從而無從下手解題. 本題難度為0.51,區分度為0.57,屬于

12、V類試題.3.設曲線L的極坐標方程為r =rL） ,M（rJ）為L上任意一點，M（2,0） 為L上一定點若極徑OM,OM與曲線L所圍的曲邊扇形面積等于L 上M0,M兩點間弧長值的一半，求曲線方程.（1997年數學二）（三）旋轉體的體積1. 平面圖形A由x2 y2x及廠x所確定，求A繞x=2旋轉一周 的旋轉體體積.（1993年數學二,9分）2. 求由曲線y=3-x2-1與x軸所圍成的封閉圖形繞y=3旋轉一周的旋轉體體積.（1994年數學二,9分）(四) 綜合題目1過坐標原點作曲線y =ln x的切線，該切線與曲線y=ln x及x軸圍成 平面圖形D,求D的面積A;求D繞x=e旋轉一周所得旋轉體的體

13、積V.(2003年數學一)【分析】本題考察切線方程的求法； 平面圖形的面積；旋轉體的體積 等基礎知識，比較容易.【解答】設切點為(x0,lnx0)，切線斜率為y =-，切線方程為y = ln X。丄(x -X。).Xo以(x,y)=(0,0)代入得x。二e.于是切點為(e,1)，切線方程為x二ey .1 1(1) 面積 A= L(ey _ey)dy = ?e_1.115(2) 體積7 二 (e -ey)2dy (e -ey)2dy(5e2-12e 3)、0、06【典型錯誤】本題第一問的解答情況很好，絕大多數考生都能夠得到正確的面積值1只有少數考生將面積寫成A= 0 (ey -e)dy ；第二問

14、的考試結果比預想的要差，從解答情況上看，旋轉軸不是坐標 軸并不是出錯的主要原因，錯誤多數是因為用錯了體積公式，如將公、 、 1 2 、 1 2式寫成 V =二.0(ey -ey) dy，或 V =二.0(e -ey) -(e - ey) dy這說明有些考生仍然只是死記公式，并不了解公式的來歷，從而也沒有真正理解公式中各部分的意義.2. 求曲線y = x2-2x，與直線x = 1,x = 3以及x軸所圍成的平面圖形面積為S,并求該平面圖形繞y軸旋轉一周所得的旋轉體體積 V.(1997 年數學四)s=2;x_x3.(2004年數學二)曲線 八與直線x=O,x=t(t .0)及y=0圍成一曲線梯形，

15、該曲線梯形繞x軸旋轉一周得一旋轉體，其體積為V(t),側面積為S(t)，在x=t處的底面積為F(t) .(I)求型的值；(11)計算極限14.t F(t)【分析】分別寫出旋轉體的體積，側面積以及底面積，不必積分，便可 求器及計算問誥(I) S(t)訂；2兀=2訂(X_Ke e ,)dx,2為=2.x_xt e e 2V(t) () dx =t ex2)2dx2t-t/ee2二(2)0 2j x2 i (II) F(t)*ze 十e 、2S(t)廣%=: () = limlim2J和 F (t)t-te +e d=im -t 匚=1t 八-e e考查知識點求解旋轉體的體積，側面積,底面積即定積分

16、在幾何上的 應用部分內容，主要錯誤是有一些考生對旋轉體體積，側面積的公式的 來龍去脈不了解，死記硬背，因而常常會出現錯誤.設直線y二ax與拋物線y二x2所圍成的平面圖形面積為S,它們與直線 x-1所圍成的平面圖形面積為S2，且a1 , (1)試求a的值使SS2 達到最小值；(2)求該最小值所對應的平面圖形繞x軸旋轉一周所得 旋轉體的體積.(？)3. 有一平底容器，其內側壁是由曲線x =(y) (y _0)繞y軸旋轉一周而 成的旋轉曲面，容器的底面圓的半徑為2m.根據設計要求當以3m3/min 的速率向容器內注入液體時，液面的面積以二m2/min的速率均勻擴大 (假設注入液體前，容器內無液體)(1)根據t時刻液面的面積，寫出(y)與t之間的關系；求曲線x =(y)的方程.本題為綜合性應用題，為了給學生提供解題思路，設計了臺階即第一問 因而降低了難度；建立旋轉體體積和(y),從而得到(y)與t之間的關 系，然后通過對求導得到微分方程.法2:根據液體體積的變化用微元法直接建立微分方程.最后解微分方程即得到曲線xO)的方程.本題得分率極低，超過1/3的