1、 線性代數應用實例l 求插值多項式右表給出函數上4個點的值，試求三次插值多項式，并求的近似值。ti0123f(ti)30-16解：令三次多項式函數過表中已知的4點，可以得到四元線性方程組：對于四元方程組，筆算就很費事了。應該用計算機求解了，鍵入：>>A=1,0,0,0;1,1,1,1;1,2,4,8;1,3,9,27, b=3;0;-1;6, s=rref(A,b)得到x = 1 0 0 0 3 0 1 0 0 -2 0 0 1 0 -2 0 0 0 1 1得到，三次多項函數為，故近似等于。在一般情況下，當給出函數在n+1個點上的值時，就可以用n次多項式對進行插值。l 在數字信號處

2、理中的應用- 數字濾波器系統函數u2x1y1/4-1/4z-1x3x2z-13/8圖1 某數字濾波器結構圖數字濾波器的網絡結構圖實際上也是一種信號流圖。它的特點在于所有的相加節點都限定為雙輸入相加器；另外，數字濾波器器件有一個遲延一個節拍的運算，它也是一個線性算子，它的標注符號為z -1。根據這樣的結構圖，也可以用類似于例7.4的方法，求它的輸入輸出之間的傳遞函數，在數字信號處理中稱為系統函數。圖1表示了某個數字濾波器的結構圖，現在要求出它的系統函數，即輸出y與輸入u之比。先在它的三個中間節點上標注信號的名稱x1,x2,x3，以便對每個節點列寫方程。由于遲延算子z -1不是數，要用符號代替，所

3、以取q= z -1，按照圖示情況，可以寫出：寫成矩陣形式為經過移項后，系統函數W可以寫成： 現在可以列寫計算系統函數的MATLAB程序ea705，syms q% 規定符號變量Q(1,2)=q; Q(2,3)=3/8*q-1/4; Q(3,1)=1; % 給非零元素賦值Q(3,3)=0; % 給右下角元素Q（3,3）賦值后，矩陣中未賦值元素都自動置零P=2;1/4;0% 給P賦值W=inv(eye(3)-Q)*P% 用信號流圖求傳遞函數的公式程序運行的結果為W = -16/(-8+3*q2-2*q)-2*q/(-8+3*q2-2*q) -2*(3*q-2)/(-8+3*q2-2*q)-2/(-8

4、+3*q2-2*q)-16/(-8+3*q2-2*q)-2*q/(-8+3*q2-2*q)我們關心的是以y=x3作為輸出的系統函數，故再鍵入 pretty(W(3)整理后得到用線性代數方法的好處是適用于任何復雜系統，并能用計算機解決問題。l 信號與系統課程中的應用-線性時不變系統的零輸入響應 描述n階線性時不變（LTI）連續系統的微分方程為 nm已知y及其各階導數的初始值為y(0)，y(1)(0)，y(n-1)(0)，求系統的零輸入響應。解：當LTI系統的輸入為零時，其零輸入響應為微分方程的齊次解（即令微分方程等號右端為0），其形式為（設特征根均為單根）其中p1，p2，pn是特征方程a1ln+

5、a2ln-1+ anl+ an+1 =0的根，它們可用roots(a)語句求得。各系數C1，Cn由y及其各階導數的初始值來確定。對此有C1+ C2+Cn = y0 y0 = y(0)p1C1+ p2C2+ pnCn=Dy0 (Dy0表示y的導數的初始值y(1)(0)寫成矩陣形式為 即 V·C = Y0 ， 其解為 C =V Y0式中 V為范德蒙矩陣，在MATLAB的特殊矩陣庫中有vander函數可直接生成。MATLAB程序ea703.ma=input('輸入分母系數向量a=a1，a2，.= '); n=length(a)-1;Y0=input('輸入初始條件向

6、量 Y0=y0，Dy0，D2y0，.= ');p=roots(a);V=rot90(vander(p);c= VY0'dt=input('dt='); tf=input('tf= ') 圖2 三階系統的零輸入響應t=0:dt:tf; y=zeros(1，length(t);for k=1:n y= y+c(k)*exp(p(k)*t);endplot(t，y)，gridn 程序運行結果用這個通用程序來解一個三階系統，運行此程序并輸入a=3，5，7，1; dt=0.2; tf=8;而Y0取1，0，0;0，1，0;0，0，1三種情況，用hold on

7、語句使三次運行生成的圖形畫在一幅圖上，得到圖2。 l 減肥配方的實現設三種食物每100克中蛋白質、碳水化合物和脂肪的含量如下表，表中還給出了80年代美國流行的劍橋大學醫學院的簡捷營養處方。現在的問題是：如果用這三種食物作為每天的主要食物，那么它們的用量應各取多少？才能全面準確地實現這個營養要求。營養每100g食物所含營養(g)減肥所要求的每日營養量脫脂牛奶大豆面粉乳清蛋白質36511333碳水化合物52347445脂肪071.13設脫脂牛奶的用量為x1個單位（100g），大豆面粉的用量為x2個單位（100g），乳清的用量為x3個單位（100g），表中的三個營養成分列向量為： 則它們的組合所具有

8、的營養為使這個合成的營養與劍橋配方的要求相等，就可以得到以下的矩陣方程：用MATLAB解這個問題非常方便，列出程序ag763如下：A=36,51,13;52,34,74;0,7,1.1b=33;45;3x=Ab程序執行的結果為：即脫脂牛奶的用量為27.7g，大豆面粉的用量為39.2g，乳清的用量為23.3g，就能保證所需的綜合營養量。l 人口遷徙模型設在一個大城市中的總人口是固定的。人口的分布則因居民在市區和郊區之間遷徙而變化。每年有6%的市區居民搬到郊區去住，而有2%的郊區居民搬到市區。假如開始時有30%的居民住在市區，70%的居民住在郊區，問十年后市區和郊區的居民人口比例是多少？30年、5

9、0年后又如何？ 這個問題可以用矩陣乘法來描述。把人口變量用市區和郊區兩個分量表示，即其中xc為市區人口所占比例，xs為郊區人口所占比例，k表示年份的次序。在k=0的初始狀態：。一年以后，市區人口為xc1= (1-0.02) xc0+0.06xs0，郊區人口xs1= 0.02xc0 + (1-0.06)xs0，用矩陣乘法來描述，可寫成：此關系可以從初始時間到k年,擴展為,用下列MATLAB程序進行計算：A=0.94,0.02;0.06,0.98x0=0.3;0.7x1=A*x0,x10=A10*x0x30=A30*x0x50=A50*x0程序運行的結果為：無限增加時間k，市區和郊區人口之比將趨向

10、一組常數 0.25/0.75。為了弄清為什么這個過程趨向于一個穩態值，我們改變一下坐標系統。在這個坐標系統中可以更清楚地看到乘以矩陣A的效果。選u1為穩態向量0.25,0.75T的任意一個倍數，令u1=1,3T和u2=-1,1T。可以看到，用A乘以這兩個向量的結果不過是改變向量的長度，不影響其相角（方向）：初始向量x0可以寫成這兩個基向量u1和u2的線性組合；因此式中的第二項會隨著k的增大趨向于零。如果只取小數點后兩位，則只要k>27，這第二項就可以忽略不計而得到適當選擇基向量可以使矩陣乘法結果等價于一個簡單的實數乘子，避免相角項出現，使得問題簡單化。這也是方陣求特征值的基本思想。這個應

11、用問題實際上是所謂馬爾可夫過程的一個類型。所得到的向量序列x1,x2,.,xk稱為馬爾可夫鏈。馬爾可夫過程的特點是k時刻的系統狀態xk完全可由其前一個時刻的狀態xk-1所決定，與k-1時刻之前的系統狀態無關。l 交通流的分析某城市有兩組單行道，構成了一個包含四個節點A,B,C,D的十字路口如圖所示。在交通繁忙時段的汽車從外部進出此十字路口的流量（每小時的車流數）標于圖上。現要求計算每兩個節點之間路段上的交通流量x1,x2,x3,x4。解：在每個節點上，進入和離開的車數應該相等，這就決定了四個流通的方程：節點A: x1+450x2+610節點B: x2+520x3+480節點C: x3+390x

12、4+600節點D: x4+640x2+310將這組方程進行整理，寫成矩陣形式：圖3 單行線交通流圖其系數增廣矩陣為： 用消元法求其行階梯形式，或者直接調用U0=rref(A,b),可以得出其精簡行階梯形式為注意這個系數矩陣所代表的意義，它的左邊四列從左至右依次為變量x1,x2,x3,x4的系數，第五列則是在等式右邊的常數項。把第四列移到等式右邊，可以按行列寫恢復為方程，其結果為：x1=x4+330, x2=x4+170, x3=x4+210 00由于最后一行變為全零，這個精簡行階梯形式只有三行有效，也就是說四個方程中有一個是相依的，實際上只有三個有效方程。方程數比未知數的數目少，即沒有給出足夠

13、的信息來唯一地確定x1,x2,x3,和x4。其原因也不難從物理上想象，題目給出的只是進入和離開這個十字路區的流量，如果有些車沿著這四方的單行道繞圈，那是不會影響總的輸入輸出流量的，但可以全面增加四條路上的流量。所以x4被稱為自由變量，實際上它的取值也不能完全自由，因為規定了這些路段都是單行道，x1,x2,x3,和x4。都不能取負值。所以要準確了解這里的交通流情況，還應該在x1,x2,x3,和x4中，再檢測一個變量。l 價格平衡模型在Leontiff成為諾貝爾獎金獲得者的歷史中，線性代數曾起過重要的作用，我們來看看他的基本思路。假定一個國家或區域的經濟可以分解為n個部門，這些部門都有生產產品或服

14、務的獨立功能。設單列n元向量x是這些n個部門的產出，組成在Rn空間的產出向量。先假定該社會是自給自足的經濟，這是一個最簡單的情況。因此各經濟部門生產出的產品，完全被自己部門和其它部門所消費。Leontiff提出的第一個問題是，各生產部門的實際產出的價格p應該是多少，才能使各部門的收入和消耗相等，以維持持續的生產。Leontiff的輸入輸出模型中的一個基本假定是：對于每個部門，存在著一個在Rn空間單位消耗列向量vi，它表示第i個部門每產出一個單位（比如100萬美金）產品，由本部門和其他各個部門消耗的百分比。在自給自足的經濟中，這些列向量中所有元素的總和應該為1。把這n個vi，并列起來，它可以構成

15、一個n×n的系數矩陣，可稱為內部需求矩陣V。舉一個最簡單的例子，假如一個自給自足的經濟體由三個部門組成，它們是煤炭業、電力業和鋼鐵業。它們的單位消耗列向量和銷售收入列向量p如下表：由下列部門購買每單位輸出的消耗分配銷售價格p（收入）煤炭業電力業鋼鐵業煤炭業0.0.40.6pc電力業0.60.10.2pe鋼鐵業0.40.50.2ps如果電力業產出了100個單位的產品，有40個單位會被煤炭業消耗，10個單位被自己消耗，而被鋼鐵業消耗的是50個單位，各行業付出的費用為：這就是內部消耗的計算方法，把幾個部門都算上，可以寫出其中于是總的價格平衡方程可以寫成為：p  Vp = 0( I

16、 V ) p =0此等式右端常數項為零，是一個齊次方程。它有非零解的條件是系數行列式等于零，或者用行階梯簡化來求解。用MATLAB語句寫出其解的表示式：V=0.,0.4,0.6;0.6,0.1,0.2;0.4,0.5,0.2,U0 = rref(eye(3)-V,zeros(3,1)程序運行的結果為這個結果是合理的，簡化行階梯形式只有兩行，說明I-V的秩是2，所以它的行列式必定為零。由于現在有三個變量，只有兩個方程，必定有一個變量可以作為自由變量。記住U0矩陣中各列的意義，它們分別是原方程中pc，pe，ps，的系數，所以簡化行階梯矩陣U0表示的是下列方程：這里取ps為自由變量，所以煤炭業和電力業的價格應該分別為鋼鐵業價格的0.94和0.85倍。如果鋼鐵業產品價格總計為100萬元，則煤炭業的產品價格總計為94萬，電力業的價格總計為85萬l 網絡的矩陣分割和連接在電路設計中，經常要把復雜的電路分割為局部電路，每一個電路都用一個網絡黑盒子來表示。黑盒子的輸入為u1,i1，輸出為u2,i2，其輸入輸出關系用一個矩陣A來表示(如圖所示)： A i1 i2A是2×2矩陣，稱為該局部電路的傳輸矩陣