1、精選優質文檔-傾情為你奉上專題5 導數的應用含參函數的單調性討論“含參數函數的單調性討論問題”是近年來高考考查的一個常考內容，也是我們高考復習的重點從這幾年來的高考試題來看，含參數函數的單調性討論常常出現在研究函數的單調性、極值以及最值中，因此在高考復習中更應引起我們的重視一、思想方法：討論函數的單調區間可化歸為求解導函數正或負的相應不等式問題的討論二、典例講解典例1 討論的單調性，求其單調區間解：的定義域為(它與同號)I）當時，恒成立，此時在和都是單調增函數，即的增區間是和;II) 當時 此時在和都是單調增函數，在和都是單調減函數，即的增區間為和;的減區間為和.步驟小結：1、先求函數的定義域

2、，2、求導函數（化為乘除分解式，便于討論正負）， 3、先討論只有一種單調區間的（導函數同號的）情況，4、再討論有增有減的情況（導函數有正有負，以其零點分界），5、注意函數的斷點，不連續的同類單調區間不要合并變式練習1 討論的單調性，求其單調區間 解：的定義域為 (它與同號)I）當時，恒成立，此時在為單調增函數，即的增區間為，不存在減區間;II) 當時 ; 此時在為單調增函數，在是單調減函數，即的增區間為;的減區間為典例2 討論的單調性解：的定義域為 (它與同號)I） 當時，恒成立 （此時沒有意義） 此時在為單調增函數，即的增區間為II） 當時，恒成立，（此時不在定義域內，沒有意義）此時在為單調

3、增函數，即的增區間為III) 當時, 令于是，當x變化時，的變化情況如下表：(結合g(x)圖象定號) x0增減所以， 此時在為單調增函數，在是單調減函數，即的增區間為;的減區間為小結：導函數正負的相應區間也可以由導函數零點來分界，但要注意其定義域和連續性即先求出的零點，再其分區間然后定在相應區間內的符號一般先討論無解情況，再討論解過程產生增根的情況（即解方程變形中諸如平方、去分母、去對數符號等把自變量x范圍擴大而出現有根，但根實際上不在定義域內的），即根據零點個數從少到多，相應原函數單調區間個數從少到多討論，最后區間（最好結合導函數的圖象）確定相應單調性變式練習2 討論的單調性 解：的定義域為

4、 , 它與同號. 令，當時，無解；當時,(另一根不在定義域內舍去) i)當時，恒成立 （此時沒有意義） 此時在為單調增函數，即的增區間為ii)當時，恒成立，(此時 方程判別式,方程無解)此時在為單調增函數，即的增區間為iii) 當時,當x變化時，的變化情況如下表：(結合g(x)圖象定號) x0增減所以，此時在為單調增函數，在是單調減函數，即的增區間為;的減區間為小結：一般最后要綜合討論情況，合并同類的，如i),ii)可合并為一類結果對于二次型函數（如）討論正負一般先根據二次項系數分三種類型討論典例3 求的單調區間解：的定義域為R， I) 當時，在R上單調遞減，減區間為R，無增區間II) 當時，

5、是開口向上的二次函數， 令, 因此可知（結合的圖象）i) 當時， 所以此時，的增區間為；的減區間為ii) 當時， 所以此時，的增區間為；的減區間為小結：求函數單調區間可化為導函數的正負討論（即分討論其相應不等式的解區間），常見的是化為二次型不等式討論，當二次函數開口定且有兩根時，一般要注意討論兩根大小（分大、小、等三種情況）。含參二次不等式解時要先看能否因式分解，若能則是計算簡單的問題，需看開口及兩根大小，注意結合圖象確定相應區間正負變式練習3 求的單調區間解：的定義域為R， 是開口向上的二次函數，I) 當時，恒成立所以此時在R上單調遞增，增區間為R，無減區間II) 當時 令 因此可知（結合的

6、圖象）與隨x變化情況如下表x00增減增 所以此時，的增區間為；的減區間為小結：三次函數的導函數是常見二次函數，當二次函數開口定時對其正負進行討論的，要根據判別式討論：無根的或兩根相等的導函數只有一種符號，相應原函數是單調的較簡單應先討論；然后再討論有兩不等根的，結合導函數圖象列變化表，注意用根的符號代替復雜的式，最后結論才寫回個別點處導數為0不影響單調性只有在某區間內導數恒為0時，相應區間內原函數為常數，一般中學所見函數除分段函數和常函數外不會出現此種情況總結：求單調區間要確定定義域，確定導函數符號的關鍵是看分子相應函數，因此討論點有：第一是類型（一次與二次的根個數顯然不同)；第二有沒有根（二

7、次的看判別式），第三是有根是否為增根（在不在定義根內；第四有根的確定誰大；第五看區間內導函數的正負號（二次函數要看開口）確記要數形結合，多數考題不會全部討論點都要討論的，題中往往有特別條件，不少討論點會同時確定（即知一個就同時確定另一個）判別式與開口的討論點先誰都可以，但從簡單優先原則下可先根據判別式討論，因為當導函數無根時它只有一種符號，相應原函數在定義域內（每個連續的區間）為單調函數較簡單導數的應用含參函數的單調性討論班級 姓名 1.已知函數，求的單調區間.解： 2.已知函數f(x)=xax+(a1)，討論函數的單調性,求出其單調區間.解： 的定義域為.(1)(2) 若即時，>0,

8、故在單調遞增.若0<,即時，由得，；由得，故在單調遞減，在單調遞增.若,即時，由得，；由得，故在單調遞減，在單調遞增.綜上所述，當，單調增區為 ,減區間是;當時，的減區間是，增區間是；當時，在定義域上遞增，單調增區為 （不存在減區間）; 當時，的減區間是，在增區間是.3.已知函數,討論函數的單調性.解： 因為， 所以 (1) 當時，當時，；當時，；所以函數在上單調遞增，在上單調遞減；(2) 當時，的圖像開口向上，I) 當時，所以函數在R上遞增；II) 當時，方程的兩個根分別為 且 所以函數在，上單調遞增， 在上單調遞減；(3) 當時，的圖像開口向下，且 方程的兩個根分別為且 所以函數在，

9、上單調遞減， 在上單調遞增。綜上所述，當時，所以函數在上單調遞增， 在，上單調遞減；當時，在上單調遞增，在上單調遞減；當，所以函數在，上單調遞增， 在上單調遞減；當，函數在R上遞增；4.已知函數.討論的單調性.解：因為的定義域為所以 ，令 ，則同號法一：根據熟知二次函數性質可知g(x)的正負符號與開口有關，因此可先分類型討論： 當時，由于<1，開口向下,結合其圖象易知 ，,此時，函數 單調遞減；時，此時，函數單調遞增.當時， 開口向上,但是否在定義域需要討論：因所以i) 當時，由于<1，開口向上,結合其圖象易知 ，此時，函數單調遞增.時，,此時，函數 單調遞減； ii)當時，g(x

10、)開口向上且，但兩根大小需要討論： a) 當時，恒成立，此時，函數 在上單調遞減； b) 當，g(x)開口向上且在（0，）有兩根 時，此時，函數單調遞減； 時，此時，函數 單調遞增； 時，此時，函數單調遞減； c) 當時，g(x)開口向上且在（0，）有兩根 時，此時，函數單調遞減； 時，此時，函數 單調遞增； 時，此時，函數單調遞減；小結：此法是把單調區間討論化歸為導函數符號討論，而確定導函數符號的分子是常見二次型的，一般要先討論二次項系數，確定類型及開口；然后由于定義域限制討論其根是否在定義域內，再討論兩根大小注，結合g(x)的圖象確定其在相應區間的符號，得出導函數符號。討論要點與解含參不等

11、式的討論相應。法二： i)當時，由于<1，開口向下,結合其圖象易知 ，,此時，函數 單調遞減；時，此時，函數單調遞增. ii)當時，由于<1，開口向上,結合其圖象易知 ，此時，函數單調遞增.時，,此時，函數 單調遞減； 時 g(x)開口向上且i)當時，恒成立，此時，函數 在上單調遞減； ii)當，g(x)開口向上且在（0，）有兩根 時，此時，函數單調遞減； 時，此時，函數 單調遞增； 時，此時，函數單調遞減； iii) 當時，g(x)開口向上且在（0，）有兩根 時，此時，函數單調遞減； 時，此時，函數 單調遞增； 時，此時，函數單調遞減；5.設，討論函數的單調性 解：函數的定義域為(x>0)令,則與同號 （1）當時，在定義域上為增函數 (2) 當時, 當時，g(x)開口向上，圖象在x軸上方，所以所以，則在上單調遞增 當,此時令，解得由于，因此可進一步分類討論如下：i) 當時， ; 則在上單調遞增，在上單調遞減 ii)當時，或; 則在，上單調遞增，在上單調遞減綜上所述，f(x)的單調區間根據參數討論情況如下表：增減增增增增 （其中)6.已知函數()=(1+)-+(0)，求()的單調區間. 解：，.（1） 當時，.所以，在區間上，；在區間上，. 故的單調遞增區間是，單調遞減區