1、第三章 導(dǎo)數(shù)與微分這一章和下一章兩章是關(guān)于一元函數(shù)的微分學(xué)部分。本章主要討論導(dǎo)數(shù)的概念、性質(zhì)、運算。對于函數(shù)的微分，在理論上和系統(tǒng)上都是更主要的概念，但卻用的篇幅不多，似乎有點宣賓奪主。若注意到函數(shù)的可微性和可導(dǎo)性等價，函數(shù)微分性的許多內(nèi)容都是基于導(dǎo)數(shù)的。第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念一、問題的提出歷史上，建立微積分的兩個重要人物；英國的Newton和德國的Leibniz，他們雖然地處兩地沒有來往，分別從不同的物理和幾何的角度提出了同一個問題，就是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的概念。1、英國的Newton從物理的角度提出質(zhì)點運動的瞬時速度。運動學(xué)中質(zhì)點位移S是時間的函數(shù)。在勻速運動時，時段上的平均速度。而在變速運動時，顯然

2、速度也是時間的函數(shù)。那么時點的瞬時速度該如何刻劃呢？Newton用極限的思想將其定義為：2、德國的Leibniz從幾何的角度提出平面曲線的切線的問題。平面幾何曲線在一點處切線該如何刻劃？切線是條直線，在一點處只要知道其斜率就可確定。可見這個問題的關(guān)鍵是定義切線的斜率。在曲線上任意取一個動點，則M、P兩點確定了原曲線的一條割線。它的斜率為：。當(dāng)動點M沿曲線向P點逼近的極限位置就是P點處的切線，它的斜率應(yīng)為：。二、導(dǎo)數(shù)的概念1、函數(shù)在一點處導(dǎo)數(shù)的定義。定義：對于在其定義域內(nèi)一點處給一自變量增量 對應(yīng)得到函數(shù)增量,若在下與之比的極限存在，則稱此極限值為在點導(dǎo)數(shù)值，稱在點可導(dǎo)，記為：。說明：1）導(dǎo)數(shù)即

3、是“差商的極限”。2）極限值是一個確定的實數(shù)。點的導(dǎo)數(shù)值的表達有幾種形式：，或，等，2、區(qū)域上的導(dǎo)函數(shù)定義：若函數(shù)在D上點是可導(dǎo)為的導(dǎo)函數(shù)。3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 在點導(dǎo)數(shù)值就是曲線在點的切線的斜率。三、函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性之關(guān)系1、定理：可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)未必可導(dǎo)。第二節(jié) 求導(dǎo)運算微分法思路。先按定義尋求基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，再討論函數(shù)運算的求導(dǎo)法則，綜合即可解決任意初等函數(shù)的求導(dǎo)問題。1、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)有冪、指、對、三角、反三角五大類若干函數(shù)，求導(dǎo)公式為：1） ，補充：，2） 顯然 3），顯然 4）5）6）7）8）9）10），11），二、求導(dǎo)運算關(guān)于函數(shù)運算的性質(zhì)、關(guān)于四則運

4、算定理：若函數(shù)都可導(dǎo)，則 說明：特別是乘法： 、反函數(shù)求導(dǎo)法則定理：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與原來函數(shù)的導(dǎo)數(shù)互為倒數(shù)，即的反函數(shù)為，則 、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理：復(fù)合函數(shù)，則 或 推廣：如果一個函數(shù)有三次復(fù)合，若，則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為所以常把它稱為鏈鎖規(guī)則。例：解：可看成 則：4、總結(jié) 這一套體系我們稱為微分法。由此體會到對于初等函數(shù)做求導(dǎo)運算有多方便。它把求導(dǎo)這種求型極限的問題轉(zhuǎn)換成了利用基本公式表結(jié)合運算法則的相對簡單且機械的演算問題，稍加練習(xí)后就能熟練。熟記基本導(dǎo)數(shù)表及運算法則是最基本的，這里的難點是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的靈活運用。5、初等函數(shù)的求導(dǎo)運算舉例例1： 解：例2： 解：例3： 解：例4： 解：第

5、三節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)函數(shù)可導(dǎo)，則其導(dǎo)函數(shù)是一個新的函數(shù)。若仍然可導(dǎo)，又可對其求導(dǎo)數(shù)，即是原來的二階導(dǎo)數(shù)，以次類推可得n階導(dǎo)數(shù)。在實際問題中，高階導(dǎo)數(shù)是很普遍。例如運動學(xué)中，位移是時間的函數(shù),其速度函數(shù)為其導(dǎo)數(shù)。而加速度就是位移的二階導(dǎo)數(shù)。 第四節(jié) 微分這一節(jié)的主要內(nèi)容是：1）微分的概念，微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。2）微分的運算。一、微分的概念定義：若函數(shù)在有定義點近旁取，其函數(shù)增量能分解成關(guān)于的線性主部與其高階無窮小之和，即（A是與無關(guān)的常數(shù)），則稱在點可微，稱線性主部為在點的微分，記為。二、微分和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系定理：可微性等價于可導(dǎo)性。且：三、微分的運算 由前面的分析，微分運算就是在求導(dǎo)運算基礎(chǔ)上的一種書寫形

6、式，所以初等函數(shù)的微分法可以平行地推廣過來。對應(yīng)基本導(dǎo)數(shù)表可得基本微分表以及相應(yīng)的函數(shù)運算的微分法則。但要強調(diào)說明的是，認識這些基本公式時，從學(xué)習(xí)的角度，必須要求大家能逆向記憶。要求大家還要熟練地由右至左記憶，例如， 答案： 或 在這里記憶上多花點力氣，為今后在積分的運算時奠定好基礎(chǔ)。第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用三、函數(shù)的動態(tài)研究內(nèi)容：1、函數(shù)的單調(diào)性和極值性 2、函數(shù)的凹凸性和拐點 3。函數(shù)的漸近線 一、函數(shù)的單調(diào)性1、函數(shù)單調(diào)的判別定理：若在D上可微，在D上遞增（遞減）的充要條件是：（）。2、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用證明不等式例：試證不等式：證明：設(shè)，則注意在時，所以，即在時嚴格增。又所以 證畢。二、函數(shù)的

7、極值性定義：若，都有，則稱為的極大值點，為極大值。f（x1）f（x2） x1 x2同理,若，則為極小值點, 為極小值。說明：函數(shù)的極值從幾何上看是 平面曲線沿Y方向上下波動的峰(極大值)和谷(極小值)，見圖極值概念是局部性概念。某極小值完全可能大于另一個極大值。而極值點處正好是曲線由增到減(或由減到增)的分界點，所以討論函數(shù)的極值性有廣泛的意義。函數(shù)的極值實現(xiàn)在其極值點處，可見討論函數(shù)極值性的主要矛盾集中在求極值點上。極值點的求取和判別1）駐點(或稱穩(wěn)定點)的定義定義：若在上可導(dǎo)且，則稱為的駐點。但注意：駐點和極值點并不等價。駐點可以不是極值點，例：在點處，。所以是駐點。但由立方拋物線上可見點

8、不是極值點。另外，極值點也可以不是駐點，例：在點處不可微是尖角點根本談不上求導(dǎo)，但它確是函數(shù)的極小值點。4、極值點的判別1）必要條件：無之必不然，有之未必然。充分條件：有之必然，無之未必不然。充要條件：有之必然，無之必不然，。2）極值點的求取：極值點的必要條件是： 極值點駐點不可微點 即若是的極值點且處函數(shù)可微，它必是駐點。而極值點也可在不可微的尖角處實現(xiàn)。另一方面，駐點可能不是極值點，不可微點也可能不是尖角點。必要條件是大大縮小了尋找的范圍。以下我們僅在這個小范圍上用充分條件去驗證了。3)定理：若在上可微，動點由左到右過點時，的符號右正到負，則為極大值點。若的符號由負到正，則為極小值點。定理

9、： 若在上二階可微, 當(dāng)時, 為極大值點。當(dāng)時, 為極小值點。四、函數(shù)的凹凸性和拐點曲線的變化不僅僅是增減，更細致一點；到底動點運動軌跡是凸的增減呢還是凹的增減？1、曲線凹凸的判別若曲線在上每點的二階導(dǎo)數(shù)都存在，則為凸，為凹。2、拐點的概念定義：曲線凹凸的分界點被稱為拐點。拐點的判別若點處的二階導(dǎo)存在；3、舉例例1： 可驗知在點處，所以點處為的極小值點。例2： 可驗知在處，所以為的拐點。六、函數(shù)的作圖函數(shù)作圖的一般步驟：對于函數(shù)1、由函數(shù)解析式本身要討論1）確定定義域D2）若定義域D關(guān)于原點對稱，有必要討論奇偶性，奇（偶）函數(shù)的對稱性可以簡化作圖討論過程。2、由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值。3、由其二階導(dǎo)函數(shù)，可討論函數(shù)的凹凸性和拐點。運用舉例：例：全面討論函數(shù)，并作圖。解：1）定義域為全體實數(shù)。是偶函數(shù)，y=0 是水平漸近線。 2）可得唯一駐點；3）x0y1 極大拐點+由此可得圖形；二、最值問題1、函數(shù)的最值和極值的區(qū)別極值概念是一個局部性概念，而最值是一個整體性概念。 2、最值問題討論最值點的求取最值點可能出現(xiàn)在定義區(qū)間的端點（界點）處，例如嚴格單調(diào)函數(shù)。（嚴格增函數(shù)左端點